Блок 5 · Тема 30 з 42

Відстані та кути у просторі — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 44 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Відстань від точки до прямої
Відстань між прямими
Відстань між площинами
Кути у просторі. Двогранний кут

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
ABCD — квадрат зі стороною 4√2 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата, AM = 3 см. Знайдіть відстань від точки M до прямої BD.
- А 5 см
- Б √41 см
- В 4 см
- Г 7 см
- Д √73 см
2одна правильна відповідь
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від вершини A₁ до прямої BC.
- А 4 см
- Б 4√3 см
- В 4√2 см
- Г 2√2 см
- Д 8 см
3одна правильна відповідь
Трикутник ABC рівносторонній зі стороною 6 см. Відрізок DA перпендикулярний до площини трикутника, DA = 3 см. Знайдіть відстань від точки D до прямої BC.
- А 3√5 см
- Б 3√3 см
- В 3 + 3√3 см
- Г 6 см
- Д 3√2 см
4одна правильна відповідь
Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими BD і CC₁.
- А 6 см
- Б 3√2 см
- В 6√2 см
- Г 3 см
- Д 6√3 см
5одна правильна відповідь
Відрізок завдовжки 18 см з’єднує точки двох паралельних площин і утворює з кожною з них кут 30°. Знайдіть відстань між площинами.
- А 9√3 см
- Б 18 см
- В 6√3 см
- Г 36 см
- Д 9 см
6одна правильна відповідь
Площини α і β паралельні. Точка M лежить між ними на відстані 4 см від площини α. Пряма, що проходить через M, перетинає α в точці A, а β — у точці B, причому MA = 6 см, MB = 9 см. Знайдіть відстань між площинами α і β.
- А 15 см
- Б 10 см
- В 6 см
- Г 13 см
- Д 20/3 см
7одна правильна відповідь
Із точки, віддаленої від площини на 4√3 см, проведено до цієї площини похилу завдовжки 8 см. Знайдіть кут між похилою і площиною.
- А 30°
- Б 45°
- В 60°
- Г 90°
- Д 120°
8одна правильна відповідь
Квадрати ABCD і ABMK зі стороною 4 см лежать у різних площинах, двогранний кут між якими при ребрі AB дорівнює 120°. Знайдіть відстань DK.
- А 4 см
- Б 4√2 см
- В 8 см
- Г 4√3 см
- Д 2√3 см
9на відповідність
На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між парою елементів куба (1–4) та кутом між ними (А–Д).
- 1) прямі AB і CC₁
- 2) прямі A₁B і B₁C
- 3) пряма AB₁ і площина ABC
- 4) прямі AD₁ і BC₁
- А) 0°
- Б) 45°
- В) 60°
- Г) 90°
- Д) 120°
10на відповідність
ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед (рисунок), AB = 6 см, BC = 8 см, AA₁ = 15 см. Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та відстанню між ними (А–Д).
- 1) AA₁ і CC₁
- 2) AB і CC₁
- 3) AB і C₁D₁
- 4) AA₁ і BD
- А) 4,8 см
- Б) 6 см
- В) 8 см
- Г) 10 см
- Д) 17 см
11коротка відповідь
ABCD — прямокутник, AB = 15 см, AD = 20 см. Відрізок AS перпендикулярний до площини прямокутника, AS = 9 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої BD у сантиметрах.
Відстань у сантиметрах
12коротка відповідь
Два відрізки завдовжки 13 см і 15 см з’єднують точки двох паралельних площин. Їхні проекції на одну з площин відносяться як 5 : 9. Знайдіть відстань між площинами в сантиметрах.
Відстань у сантиметрах
13коротка відповідь
Пряма a лежить у площині α. Пряма b паралельна площині α й віддалена від неї на 12 см, а її проекція на площину α паралельна прямій a й віддалена від неї на 5 см. Знайдіть відстань між прямими a і b у сантиметрах.
Відстань у сантиметрах
14коротка відповідь
Через катет AC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) проведено площину α. AB = 10 см, AC = 8 см, а вершина B віддалена від площини α на 3 см. Знайдіть двогранний кут між площиною трикутника і площиною α. Відповідь дайте в градусах.
Кут у градусах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Відстані та кути у просторі — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. ABCD — квадрат зі стороною 4√2 см. Відрізок AM перпендикулярний до площини квадрата, AM = 3 см. Знайдіть відстань від точки M до прямої BD.

А) 5 см
Б) √41 см
В) 4 см
Г) 7 см
Д) √73 см

Завдання 2. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від вершини A₁ до прямої BC.

А) 4 см
Б) 4√3 см
В) 4√2 см
Г) 2√2 см
Д) 8 см

Завдання 3. Трикутник ABC рівносторонній зі стороною 6 см. Відрізок DA перпендикулярний до площини трикутника, DA = 3 см. Знайдіть відстань від точки D до прямої BC.

А) 3√5 см
Б) 3√3 см
В) 3 + 3√3 см
Г) 6 см
Д) 3√2 см

Завдання 4. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ дорівнює 6 см. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими BD і CC₁.

А) 6 см
Б) 3√2 см
В) 6√2 см
Г) 3 см
Д) 6√3 см

Завдання 5. Відрізок завдовжки 18 см з’єднує точки двох паралельних площин і утворює з кожною з них кут 30°. Знайдіть відстань між площинами.

А) 9√3 см
Б) 18 см
В) 6√3 см
Г) 36 см
Д) 9 см

Завдання 6. Площини α і β паралельні. Точка M лежить між ними на відстані 4 см від площини α. Пряма, що проходить через M, перетинає α в точці A, а β — у точці B, причому MA = 6 см, MB = 9 см. Знайдіть відстань між площинами α і β.

А) 15 см
Б) 10 см
В) 6 см
Г) 13 см
Д) 20/3 см

Завдання 7. Із точки, віддаленої від площини на 4√3 см, проведено до цієї площини похилу завдовжки 8 см. Знайдіть кут між похилою і площиною.

А) 30°
Б) 45°
В) 60°
Г) 90°
Д) 120°

Завдання 8. Квадрати ABCD і ABMK зі стороною 4 см лежать у різних площинах, двогранний кут між якими при ребрі AB дорівнює 120°. Знайдіть відстань DK.

А) 4 см
Б) 4√2 см
В) 8 см
Г) 4√3 см
Д) 2√3 см

Завдання 9. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між парою елементів куба (1–4) та кутом між ними (А–Д).

1) прямі AB і CC₁
2) прямі A₁B і B₁C
3) пряма AB₁ і площина ABC
4) прямі AD₁ і BC₁

А) 0°
Б) 45°
В) 60°
Г) 90°
Д) 120°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямокутний паралелепіпед (рисунок), AB = 6 см, BC = 8 см, AA₁ = 15 см. Установіть відповідність між парою прямих (1–4) та відстанню між ними (А–Д).

1) AA₁ і CC₁
2) AB і CC₁
3) AB і C₁D₁
4) AA₁ і BD

А) 4,8 см
Б) 6 см
В) 8 см
Г) 10 см
Д) 17 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. ABCD — прямокутник, AB = 15 см, AD = 20 см. Відрізок AS перпендикулярний до площини прямокутника, AS = 9 см. Знайдіть відстань від точки S до прямої BD у сантиметрах.

Відповідь:

Завдання 12. Два відрізки завдовжки 13 см і 15 см з’єднують точки двох паралельних площин. Їхні проекції на одну з площин відносяться як 5 : 9. Знайдіть відстань між площинами в сантиметрах.

Відповідь:

Завдання 13. Пряма a лежить у площині α. Пряма b паралельна площині α й віддалена від неї на 12 см, а її проекція на площину α паралельна прямій a й віддалена від неї на 5 см. Знайдіть відстань між прямими a і b у сантиметрах.

Відповідь:

Завдання 14. Через катет AC прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°) проведено площину α. AB = 10 см, AC = 8 см, а вершина B віддалена від площини α на 3 см. Знайдіть двогранний кут між площиною трикутника і площиною α. Відповідь дайте в градусах.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	А	В	Г	Б	Д	Б	В	Г	1Г 2В 3Б 4А	1Г 2В 3Д 4А	15	12	13	30

1. А Нехай O — точка перетину діагоналей квадрата; AO ⊥ BD, бо діагоналі квадрата перпендикулярні. AO — проекція похилої MO на площину квадрата, тож за теоремою про три перпендикуляри MO ⊥ BD, і шукана відстань дорівнює MO. Діагональ AC = 4√2 · √2 = 8 см, тому AO = 4 см і MO = √(3² + 4²) = 5 см.

2. В Ребро BC перпендикулярне до грані ABB₁A₁, тому BC ⊥ A₁B. Отже, A₁B — перпендикуляр до прямої BC, і шукана відстань дорівнює A₁B. A₁B — діагональ квадрата зі стороною 4 см: A₁B = 4√2 см.

3. Г Нехай K — середина BC; медіана AK рівностороннього трикутника є і висотою, тож AK ⊥ BC. За теоремою про три перпендикуляри DK ⊥ BC, тому шукана відстань дорівнює DK. AK = 6√3/2 = 3√3 см, DK = √(3² + (3√3)²) = √36 = 6 см.

4. Б Нехай O — центр грані ABCD. CO ⊥ BD, бо діагоналі квадрата перпендикулярні, і CO ⊥ CC₁, бо ребро CC₁ перпендикулярне до площини основи. Отже, CO — спільний перпендикуляр мимобіжних прямих, і відстань між ними дорівнює CO. CO — половина діагоналі квадрата: CO = 6√2/2 = 3√2 см.

5. Д Перпендикуляр, опущений з одного кінця відрізка на іншу площину, дорівнює відстані між площинами. Відрізок — гіпотенуза прямокутного трикутника, а перпендикуляр — катет, що лежить навпроти кута 30°. d = 18 · sin 30° = 18 · 1/2 = 9 см

6. Б Проведемо через M спільний перпендикуляр до площин; він разом із MA і MB утворює два подібні прямокутні трикутники. Відстані від M до площин пропорційні відрізкам MA і MB: відстань до β дорівнює 4 · 9/6 = 6 см. Відстань між площинами: 4 + 6 = 10 см.

7. В Кут між похилою і площиною — це кут між похилою та її проекцією на площину. Перпендикуляр 4√3 см лежить навпроти шуканого кута, а похила 8 см — гіпотенуза: sin φ = 4√3/8 = √3/2. φ = 60°

8. Г AD ⊥ AB і AK ⊥ AB як сторони квадратів, тож ∠DAK — лінійний кут двогранного кута: ∠DAK = 120°. За теоремою косинусів: DK² = 4² + 4² − 2 · 4 · 4 · cos 120° = 16 + 16 + 16 = 48. DK = √48 = 4√3 см

9. 1Г 2В 3Б 4А AB і CC₁ мимобіжні; CC₁ ∥ BB₁, а BB₁ ⊥ AB, тому кут дорівнює 90°. A₁B ∥ D₁C, а трикутник B₁CD₁ рівносторонній — його сторони є діагоналями граней, тож кут між A₁B і B₁C дорівнює 60°. Проекція AB₁ на площину ABC — ребро AB, а ∠B₁AB = 45° як кут між діагоналлю і стороною квадрата. AD₁ ∥ BC₁, бо ABC₁D₁ — прямокутник, а кут між паралельними прямими вважають рівним 0°.

10. 1Г 2В 3Д 4А AA₁ ∥ CC₁, і відстань між ними — діагональ основи AC = √(6² + 8²) = 10 см. AB і CC₁ мимобіжні; їхній спільний перпендикуляр — ребро BC = 8 см. AB ∥ C₁D₁, обидві лежать у площині ABC₁D₁, і відстань між ними — AD₁ = √(8² + 15²) = 17 см. AA₁ і BD мимобіжні; спільний перпендикуляр — висота AH трикутника ABD: AH = 6 · 8/10 = 4,8 см.

11. 15 Проведемо AH ⊥ BD у площині прямокутника; за теоремою про три перпендикуляри SH ⊥ BD, тож шукана відстань — SH. BD = √(15² + 20²) = 25 см; AH — висота прямокутного трикутника ABD: AH = 15 · 20/25 = 12 см. SH = √(9² + 12²) = √225 = 15 см

12. 12 Кожен відрізок, його проекція і відстань d між площинами утворюють прямокутний трикутник, у якому відрізок — гіпотенуза. Довший відрізок має довшу проекцію: нехай проекції 5k і 9k, тоді d² = 13² − 25k² = 15² − 81k². 56k² = 56, k = 1, отже d² = 169 − 25 = 144 і d = 12 см.

13. 13 Проекція b′ прямої b паралельна b, а за умовою b′ ∥ a, тому a ∥ b. Площина, перпендикулярна до a, перетинає a, b′ і b у точках A, B′ і B, причому BB′ = 12 см ⊥ α і AB′ = 5 см. Відстань між паралельними прямими a і b: AB = √(12² + 5²) = 13 см.

14. 30 BC = √(10² − 8²) = 6 см. Нехай H — проекція B на α. BC ⊥ AC, тож за теоремою про три перпендикуляри HC ⊥ AC, і ∠BCH — лінійний кут двогранного кута при ребрі AC. У прямокутному трикутнику BHC: sin ∠BCH = BH/BC = 3/6 = 1/2, отже ∠BCH = 30°.