Блок 2 · Тема 11 з 42

Дробові раціональні рівняння. Біквадратні рівняння — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 64 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Розв’язування рівнянь розкладанням многочлена на множники
Метод заміни змінної
Текстові задачі, що зводяться до квадратних і дробових рівнянь
Найпростіші рівняння з параметром

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 12/x = x − 1.
- А 4
- Б −3
- В −4; 3
- Г −3; 4
- Д 3; 4
2одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння x³ − 3x² − 4x + 12 = 0.
- А 3
- Б 2; 3
- В −2; 3
- Г −3; −2; 2
- Д −2; 2; 3
3одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння x⁴ − 5x² − 36 = 0.
- А 3
- Б −3; 3
- В −4; 9
- Г −3; −2; 2; 3
- Д −9; 4
4одна правильна відповідь
Два насоси, працюючи разом, відкачують воду з котловану за 6 год. Перший насос, працюючи сам, упорався б із цим на 5 год швидше, ніж другий. За скільки годин відкачає воду другий насос, працюючи сам?
- А 8,5 год
- Б 10 год
- В 11 год
- Г 12 год
- Д 15 год
5одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 6/(x² − 1) − 3/(x − 1) = 1.
- А −4; 1
- Б −4
- В 1
- Г 4
- Д −1; 4
6одна правильна відповідь
Знайдіть суму всіх різних коренів рівняння (x² − 36)(x² − 4x − 12) = 0.
- А −2
- Б 0
- В 2
- Г 4
- Д 10
7одна правильна відповідь
Знайдіть найбільший корінь рівняння (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0.
- А −3
- Б 1
- В 2
- Г 3
- Д 6
8одна правильна відповідь
Укажіть усі значення a, при яких рівняння (x² − 4x + a)/(x − 1) = 0 має рівно один корінь.
- А лише 4
- Б лише 3
- В 3 і 4
- Г a < 4
- Д a > 4
9на відповідність
Установіть відповідність між біквадратним рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).
- 1) x⁴ − 10x² + 9 = 0
- 2) x⁴ + 3x² − 4 = 0
- 3) x⁴ + 5x² + 6 = 0
- 4) x⁴ − 9x² = 0
- А) жодного
- Б) один
- В) два
- Г) три
- Д) чотири
10на відповідність
Установіть відповідність між дробовим рівнянням (1–4) та його коренями (А–Д).
- 1) (x² − 9)/(x − 3) = 0
- 2) (x + 3)/(x² − 9) = 0
- 3) (x² − 9)/(x² + 9) = 0
- 4) (x² + 3x)/(x + 3) = 0
- А) −3
- Б) 3
- В) −3 і 3
- Г) коренів немає
- Д) 0
11коротка відповідь
Велотуристи мали проїхати 72 км. Вони їхали зі швидкістю, на 6 км/год більшою, ніж планували, і тому прибули на 1 год раніше. З якою швидкістю (у км/год) вони насправді їхали?
Швидкість у км/год
12коротка відповідь
Основа теплиці — прямокутник площею 84 м², довжина якого на 5 м більша за ширину. Знайдіть периметр основи теплиці (у метрах).
Периметр у метрах
13коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.
Ціле число
14коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння x³ + 4x² − 9x − 36 = 0. У відповідь запишіть суму квадратів усіх його коренів.
Ціле число

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Дробові раціональні рівняння. Біквадратні рівняння — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Розв’яжіть рівняння 12/x = x − 1.

А) 4
Б) −3
В) −4; 3
Г) −3; 4
Д) 3; 4

Завдання 2. Розв’яжіть рівняння x³ − 3x² − 4x + 12 = 0.

А) 3
Б) 2; 3
В) −2; 3
Г) −3; −2; 2
Д) −2; 2; 3

Завдання 3. Розв’яжіть рівняння x⁴ − 5x² − 36 = 0.

А) 3
Б) −3; 3
В) −4; 9
Г) −3; −2; 2; 3
Д) −9; 4

Завдання 4. Два насоси, працюючи разом, відкачують воду з котловану за 6 год. Перший насос, працюючи сам, упорався б із цим на 5 год швидше, ніж другий. За скільки годин відкачає воду другий насос, працюючи сам?

А) 8,5 год
Б) 10 год
В) 11 год
Г) 12 год
Д) 15 год

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 6/(x² − 1) − 3/(x − 1) = 1.

А) −4; 1
Б) −4
В) 1
Г) 4
Д) −1; 4

Завдання 6. Знайдіть суму всіх різних коренів рівняння (x² − 36)(x² − 4x − 12) = 0.

А) −2
Б) 0
В) 2
Г) 4
Д) 10

Завдання 7. Знайдіть найбільший корінь рівняння (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0.

А) −3
Б) 1
В) 2
Г) 3
Д) 6

Завдання 8. Укажіть усі значення a, при яких рівняння (x² − 4x + a)/(x − 1) = 0 має рівно один корінь.

А) лише 4
Б) лише 3
В) 3 і 4
Г) a < 4
Д) a > 4

Завдання 9. Установіть відповідність між біквадратним рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).

1) x⁴ − 10x² + 9 = 0
2) x⁴ + 3x² − 4 = 0
3) x⁴ + 5x² + 6 = 0
4) x⁴ − 9x² = 0

А) жодного
Б) один
В) два
Г) три
Д) чотири

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між дробовим рівнянням (1–4) та його коренями (А–Д).

1) (x² − 9)/(x − 3) = 0
2) (x + 3)/(x² − 9) = 0
3) (x² − 9)/(x² + 9) = 0
4) (x² + 3x)/(x + 3) = 0

А) −3
Б) 3
В) −3 і 3
Г) коренів немає
Д) 0

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Велотуристи мали проїхати 72 км. Вони їхали зі швидкістю, на 6 км/год більшою, ніж планували, і тому прибули на 1 год раніше. З якою швидкістю (у км/год) вони насправді їхали?

Відповідь:

Завдання 12. Основа теплиці — прямокутник площею 84 м², довжина якого на 5 м більша за ширину. Знайдіть периметр основи теплиці (у метрах).

Відповідь:

Завдання 13. Розв’яжіть рівняння (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.

Відповідь:

Завдання 14. Розв’яжіть рівняння x³ + 4x² − 9x − 36 = 0. У відповідь запишіть суму квадратів усіх його коренів.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Д	Б	Д	Б	А	В	В	1Д 2В 3А 4Г	1А 2Г 3В 4Д	24	38	3	34

1. Г Область допустимих значень: x ≠ 0. Множимо обидві частини на x: 12 = x² − x, тобто x² − x − 12 = 0. Корені: x = 4 і x = −3. Обидва відмінні від нуля, тож обидва підходять.

2. Д Групуємо доданки: x²(x − 3) − 4(x − 3) = 0. Виносимо спільний множник: (x − 3)(x² − 4) = 0, тобто (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0. Корені: 3, 2 і −2.

3. Б Заміна t = x², t ⩾ 0: t² − 5t − 36 = 0. Корені: t = 9 і t = −4. Значення t = −4 не підходить, бо x² не буває від’ємним. x² = 9, тобто x = −3 або x = 3.

4. Д Нехай перший насос сам відкачує воду за x год, тоді другий — за x + 5 год. За 1 год вони виконують 1/x і 1/(x + 5) усієї роботи. Разом за 1 год вони виконують 1/6 роботи: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Множимо на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), тобто x² − 7x − 30 = 0. Корені: x = 10 і x = −3. Час додатний, тож x = 10, а другий насос сам працюватиме 10 + 5 = 15 год.

5. Б ОДЗ: x² − 1 ≠ 0, тобто x ≠ 1 і x ≠ −1. Множимо на (x − 1)(x + 1): 6 − 3(x + 1) = x² − 1. x² + 3x − 4 = 0, корені 1 і −4. x = 1 не входить в ОДЗ, тому залишається x = −4.

6. А x² − 36 = 0 дає x = 6 і x = −6. x² − 4x − 12 = 0 дає x = 6 і x = −2. Різні корені: −6, −2 і 6. Їх сума: −6 − 2 + 6 = −2.

7. В Заміна t = x² + x: t² − 8t + 12 = 0, звідки t = 2 або t = 6. x² + x = 2: x² + x − 2 = 0, корені 1 і −2. x² + x = 6: x² + x − 6 = 0, корені 2 і −3. Найбільший із коренів 1, −2, 2, −3 — це 2.

8. В Рівняння рівносильне системі: x² − 4x + a = 0 і x ≠ 1. Перший випадок: чисельник має один корінь, тобто D = 16 − 4a = 0, a = 4. Тоді x = 2 ≠ 1 — підходить. Другий випадок: чисельник має два корені, але один із них дорівнює 1: 1 − 4 + a = 0, a = 3. Тоді корені 1 і 3, а залишається лише x = 3. При інших a < 4 коренів два, а при a > 4 — жодного.

9. 1Д 2В 3А 4Г 1: t² − 10t + 9 = 0, t = 1 і t = 9 — обидва додатні, тому x = ±1 і x = ±3: чотири корені. 2: t² + 3t − 4 = 0, t = 1 і t = −4; підходить лише t = 1, тому x = ±1: два корені. 3: t² + 5t + 6 = 0, t = −2 і t = −3 — обидва від’ємні, коренів немає. 4: x²(x² − 9) = 0, тому x = 0 або x = ±3: три корені.

10. 1А 2Г 3В 4Д Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні. 1: x² = 9 дає ±3, але при x = 3 знаменник дорівнює нулю — лишається −3. 2: чисельник дорівнює нулю лише при x = −3, але тоді й знаменник дорівнює нулю — коренів немає. 3: x = ±3, а знаменник x² + 9 нулем не буває — обидва корені підходять. 4: x(x + 3) = 0 дає 0 і −3, але x = −3 сторонній — лишається 0.

11. 24 Нехай запланована швидкість v км/год, тоді фактична — v + 6. Різниця в часі: 72/v − 72/(v + 6) = 1. Множимо на v(v + 6): 72(v + 6) − 72v = v² + 6v, тобто v² + 6v − 432 = 0. Корені: v = 18 і v = −24. Швидкість додатна, тож v = 18, а фактична швидкість — 18 + 6 = 24 км/год.

12. 38 Нехай ширина x м, тоді довжина x + 5 м, а площа x(x + 5) = 84. x² + 5x − 84 = 0, D = 25 + 336 = 361, x = (−5 + 19)/2 = 7; другий корінь −12 від’ємний. Довжина 12 м, периметр 2 · (7 + 12) = 38 м.

13. 3 Заміна t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0, звідки t = 3 або t = −1. x² − 2x = 3: x² − 2x − 3 = 0, корені 3 і −1. x² − 2x = −1: x² − 2x + 1 = 0, тобто (x − 1)² = 0, корінь 1. Корені рівняння: −1, 1 і 3. Їх сума дорівнює 3.

14. 34 Групуємо: x²(x + 4) − 9(x + 4) = (x + 4)(x² − 9) = 0. Корені: −4, 3 і −3. Сума квадратів: 16 + 9 + 9 = 34.