Блок 7 · Тема 42 з 42

Координати і вектори у просторі — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 50 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Координати вектора у просторі
Модуль вектора
Колінеарні вектори
Скалярний добуток векторів

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Дано точки A(2; −1; 4) і B(5; 3; −2). Знайдіть координати вектора AB.
- А (3; 4; −6)
- Б (−3; −4; 6)
- В (3; 2; −6)
- Г (7; 2; 2)
- Д (3,5; 1; 1)
2одна правильна відповідь
Точка M(1; 2; −2) — середина відрізка AB, де A(−3; 4; 1). Знайдіть координати точки B.
- А (−7; 6; 4)
- Б (−1; 3; −0,5)
- В (4; −2; −3)
- Г (5; 0; −3)
- Д (5; 0; −5)
3одна правильна відповідь
Знайдіть модуль вектора a(2; −3; 6).
- А 5
- Б √31
- В 7
- Г 11
- Д 49
4одна правильна відповідь
Знайдіть відстань між точками M(−2; 3; 0) і N(2; −1; 2).
- А 2√2
- Б 2√6
- В 6
- Г 10
- Д 36
5одна правильна відповідь
При якому значенні m вектори a(2; −4; m) і b(−3; 6; 9) колінеарні?
- А −13,5
- Б −6
- В 10/3
- Г 6
- Д 13,5
6одна правильна відповідь
Який із векторів колінеарний вектору a(2; −1; 3)?
- А (4; −2; −6)
- Б (2; 1; 3)
- В (−2; −1; −3)
- Г (−6; 3; −9)
- Д (6; −3; 6)
7одна правильна відповідь
При якому значенні n вектори a(n; 2; −1) і b(3; n; 4) перпендикулярні?
- А −0,8
- Б 2/3
- В 0,8
- Г 1,25
- Д 4
8одна правильна відповідь
Знайдіть кут між векторами a(2; −2; 0) і b(0; 2; −2).
- А 30°
- Б 45°
- В 60°
- Г 120°
- Д 150°
9на відповідність
Дано точки A(1; 2; −2) і B(3; −4; 1). Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) координати вектора AB
- 2) довжина відрізка AB
- 3) координати середини відрізка AB
- 4) відстань від точки A до початку координат
- А) (2; −6; 3)
- Б) (2; −1; −0,5)
- В) 3
- Г) 7
- Д) (4; −2; −1)
10на відповідність
Дано вектори a(2; −1; 2) і b(1; 2; −2). Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) a · b
- 2) |a + b|
- 3) |a − b|
- 4) (a + b) · (a − b)
- А) −4
- Б) 0
- В) 4
- Г) √10
- Д) √26
11коротка відповідь
Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо A(1; −2; 3), B(−1; 0; 4), C(5; 2; 1).
Периметр трикутника
12коротка відповідь
Вектори a(4; −2; m) і b(n; 3; 9) колінеарні. Знайдіть m + n.
Значення m + n
13коротка відповідь
Довжини векторів a і b дорівнюють 2 і 3, а кут між ними — 60°. Знайдіть скалярний добуток (a + 2b) · b.
Значення скалярного добутку
14коротка відповідь
Дано точки A(1; −1; 2), B(4; 3; 2) і C(1; 2; 6). Знайдіть косинус кута BAC.
Косинус десятковим дробом

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Координати і вектори у просторі — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Дано точки A(2; −1; 4) і B(5; 3; −2). Знайдіть координати вектора AB.

А) (3; 4; −6)
Б) (−3; −4; 6)
В) (3; 2; −6)
Г) (7; 2; 2)
Д) (3,5; 1; 1)

Завдання 2. Точка M(1; 2; −2) — середина відрізка AB, де A(−3; 4; 1). Знайдіть координати точки B.

А) (−7; 6; 4)
Б) (−1; 3; −0,5)
В) (4; −2; −3)
Г) (5; 0; −3)
Д) (5; 0; −5)

Завдання 3. Знайдіть модуль вектора a(2; −3; 6).

А) 5
Б) √31
В) 7
Г) 11
Д) 49

Завдання 4. Знайдіть відстань між точками M(−2; 3; 0) і N(2; −1; 2).

А) 2√2
Б) 2√6
В) 6
Г) 10
Д) 36

Завдання 5. При якому значенні m вектори a(2; −4; m) і b(−3; 6; 9) колінеарні?

А) −13,5
Б) −6
В) 10/3
Г) 6
Д) 13,5

Завдання 6. Який із векторів колінеарний вектору a(2; −1; 3)?

А) (4; −2; −6)
Б) (2; 1; 3)
В) (−2; −1; −3)
Г) (−6; 3; −9)
Д) (6; −3; 6)

Завдання 7. При якому значенні n вектори a(n; 2; −1) і b(3; n; 4) перпендикулярні?

А) −0,8
Б) 2/3
В) 0,8
Г) 1,25
Д) 4

Завдання 8. Знайдіть кут між векторами a(2; −2; 0) і b(0; 2; −2).

А) 30°
Б) 45°
В) 60°
Г) 120°
Д) 150°

Завдання 9. Дано точки A(1; 2; −2) і B(3; −4; 1). Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).

1) координати вектора AB
2) довжина відрізка AB
3) координати середини відрізка AB
4) відстань від точки A до початку координат

А) (2; −6; 3)
Б) (2; −1; −0,5)
В) 3
Г) 7
Д) (4; −2; −1)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Дано вектори a(2; −1; 2) і b(1; 2; −2). Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).

1) a · b
2) |a + b|
3) |a − b|
4) (a + b) · (a − b)

А) −4
Б) 0
В) 4
Г) √10
Д) √26

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Знайдіть периметр трикутника ABC, якщо A(1; −2; 3), B(−1; 0; 4), C(5; 2; 1).

Відповідь:

Завдання 12. Вектори a(4; −2; m) і b(n; 3; 9) колінеарні. Знайдіть m + n.

Відповідь:

Завдання 13. Довжини векторів a і b дорівнюють 2 і 3, а кут між ними — 60°. Знайдіть скалярний добуток (a + 2b) · b.

Відповідь:

Завдання 14. Дано точки A(1; −1; 2), B(4; 3; 2) і C(1; 2; 6). Знайдіть косинус кута BAC.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	А	Д	В	В	Б	Г	В	Г	1А 2Г 3Б 4В	1А 2Г 3Д 4Б	16	−12	21	0,48

1. А Від координат кінця B віднімаємо відповідні координати початку A. 5 − 2 = 3, 3 − (−1) = 4, −2 − 4 = −6. Вектор AB має координати (3; 4; −6).

2. Д Кожна координата середини — півсума відповідних координат кінців. Тому кожна координата B дорівнює подвоєній координаті M мінус координата A. x = 2 · 1 − (−3) = 5, y = 2 · 2 − 4 = 0, z = 2 · (−2) − 1 = −5.

3. В Модуль вектора — корінь із суми квадратів його координат. |a| = √(2² + (−3)² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49. |a| = 7.

4. В Вектор MN = (2 − (−2); −1 − 3; 2 − 0) = (4; −4; 2). MN = √(16 + 16 + 4) = √36. MN = 6.

5. Б Колінеарні вектори мають пропорційні координати: −3/2 = 6/(−4) = 9/m. Перші два відношення дорівнюють −1,5, отже 9/m = −1,5. m = 9 : (−1,5) = −6.

6. Г Колінеарний вектор дорівнює k · a для деякого числа k ≠ 0, тобто всі координати множаться на одне й те саме k. (−6; 3; −9) = −3 · (2; −1; 3): усі три відношення дорівнюють −3. В інших варіантах відношення координат різні, наприклад для (4; −2; −6) це 2, 2 і −2.

7. В Вектори перпендикулярні, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю. a · b = n · 3 + 2 · n + (−1) · 4 = 5n − 4. 5n − 4 = 0, n = 0,8.

8. Г a · b = 2 · 0 + (−2) · 2 + 0 · (−2) = −4. |a| = √(4 + 4 + 0) = 2√2, |b| = √(0 + 4 + 4) = 2√2. cos φ = −4/(2√2 · 2√2) = −4/8 = −1/2, отже φ = 120°.

9. 1А 2Г 3Б 4В AB = (3 − 1; −4 − 2; 1 − (−2)) = (2; −6; 3). |AB| = √(4 + 36 + 9) = √49 = 7. Середина: ((1 + 3)/2; (2 − 4)/2; (−2 + 1)/2) = (2; −1; −0,5). |OA| = √(1 + 4 + 4) = 3.

10. 1А 2Г 3Д 4Б a · b = 2 · 1 + (−1) · 2 + 2 · (−2) = 2 − 2 − 4 = −4. a + b = (3; 1; 0), |a + b| = √(9 + 1 + 0) = √10. a − b = (1; −3; 4), |a − b| = √(1 + 9 + 16) = √26. (a + b) · (a − b) = 3 · 1 + 1 · (−3) + 0 · 4 = 0: вектори a і b мають однакову довжину 3, тому |a|² − |b|² = 0.

11. 16 AB = √((−2)² + 2² + 1²) = √9 = 3. AC = √(4² + 4² + (−2)²) = √36 = 6. BC = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7. P = 3 + 6 + 7 = 16.

12. −12 Колінеарність означає b = k · a. З других координат: 3 = k · (−2), тож k = −1,5. Перші координати: n = −1,5 · 4 = −6. Треті координати: 9 = −1,5 · m, тож m = −6. m + n = −6 + (−6) = −12.

13. 21 Розкриваємо дужки: (a + 2b) · b = a · b + 2 · (b · b). a · b = |a| · |b| · cos 60° = 2 · 3 · 1/2 = 3. b · b = |b|² = 9, тож 2 · 9 = 18. Разом: 3 + 18 = 21.

14. 0,48 Кут BAC — це кут між векторами AB і AC. AB = (3; 4; 0), AC = (0; 3; 4); довжина кожного з них √(9 + 16) = 5. AB · AC = 3 · 0 + 4 · 3 + 0 · 4 = 12. cos A = 12/(5 · 5) = 0,48.