1. В Корені тричлена x² − 25: x² = 25, тобто x = −5 і x = 5. Вітки параболи y = x² − 25 напрямлені вгору, тож вона лежить вище від осі Ox ліворуч від −5 і праворуч від 5. Нерівність строга, тому кінці не входять: x ∈ (−∞; −5) ∪ (5; +∞).
2. Б Корені тричлена: D = 9 + 40 = 49, x₁ = (−3 − 7) : 2 = −5, x₂ = (−3 + 7) : 2 = 2. Вітки вгору, знак «<», тому розв’язки лежать між коренями: −5 < x < 2. Нерівність строга, −5 не входить, отже найменший цілий розв’язок — −4.
3. Г Тричлен — повний квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)². Квадрат будь-якого числа невід’ємний, а нулю дорівнює лише при x = 3. Отже, (x − 3)² > 0 для всіх x, крім 3: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; +∞).
4. А Нулі лівої частини: x = −1, x = 2, x = 6. Вони ділять числову пряму на чотири проміжки. Праворуч від 6 усі множники додатні, тож добуток додатний; далі знак чергується: на (2; 6) — «−», на (−1; 2) — «+», на (−∞; −1) — «−». Нерівність строга, беремо проміжки зі знаком «−» без кінців: (−∞; −1) ∪ (2; 6).
5. Б Чисельник дорівнює нулю при x = 4, знаменник — при x = −3, і там дріб не існує. Праворуч від 4 дріб додатний, на (−3; 4) — від’ємний, ліворуч від −3 — знову додатний. Нерівність нестрога: x = 4 входить, бо дріб дорівнює 0, а x = −3 — ні. Маємо (−3; 4].
6. Д Нулі лівої частини: x = 2 (множник у квадраті) і x = −1. Множник (x − 2)² невід’ємний і не змінює знака при переході через 2, тому знак добутку визначає x + 1: добуток додатний при x > −1. Нерівність строга, тому точку x = 2, де добуток дорівнює нулю, виключаємо: (−1; 2) ∪ (2; +∞).
7. В Модуль дорівнює 7, коли вираз під ним дорівнює 7 або −7. 2x − 3 = 7 дає x = 5; 2x − 3 = −7 дає x = −2. Обидва корені підходять: |10 − 3| = 7 і |−4 − 3| = 7.
8. Б |x + 2| ⩾ 3 означає, що відстань від x до −2 на числовій прямій не менша за 3. Отже, x + 2 ⩾ 3 або x + 2 ⩽ −3, тобто x ⩾ 1 або x ⩽ −5. Нерівність нестрога, тож кінці −5 і 1 входять: (−∞; −5] ∪ [1; +∞).
9. 1А 2Б 3Д 4Г x² − 4 ⩽ 0: корені ±2, вітки вгору, розв’язки між коренями — [−2; 2]. x² − 4x = x(x − 4) ⩾ 0: корені 0 і 4, розв’язки зовні від них — (−∞; 0] ∪ [4; +∞). x² + 4 > 0 при будь-якому x, бо x² ⩾ 0: розв’язки — усі дійсні числа. x² − 4x + 4 = (x − 2)² ⩽ 0 лише тоді, коли (x − 2)² = 0, тобто при x = 2.
10. 1Г 2В 3Д 4А |x| < 3: точки, віддалені від нуля менше ніж на 3, — проміжок (−3; 3). Модуль не буває від’ємним, тому |x − 3| ⩽ 0 лише при |x − 3| = 0, тобто x = 3. |x − 3| > 3: x − 3 > 3 або x − 3 < −3, тобто x > 6 або x < 0. |x + 3| < 0 не виконується ніколи: модуль завжди невід’ємний.
11. 11 Парабола y = x² + ax + 9 з вітками вгору лежить строго вище від осі Ox тоді й лише тоді, коли тричлен не має коренів, тобто D < 0. D = a² − 36 < 0, звідси a² < 36 і −6 < a < 6. Цілі значення: −5, −4, …, 4, 5 — їх 11.
12. 4 Розкладаємо чисельник: (x − 3)(x + 3)/(x − 5) ⩽ 0. Нулі чисельника — −3 і 3, нуль знаменника — 5, він виколотий. Знаки на проміжках справа наліво: на (5; +∞) — «+», на (3; 5) — «−», на (−3; 3) — «+», на (−∞; −3) — «−». Розв’язки: (−∞; −3] ∪ [3; 5). Найбільше ціле число серед них — 4.
13. 10 Нулі лівої частини: −4, 1 (множник у квадраті) і 5. Праворуч від 5 вираз додатний; через 5 знак змінюється на «−», через 1 (парна кратність) — не змінюється, через −4 — змінюється на «+». Отже, вираз недодатний на відрізку [−4; 5]; у точці 1 він дорівнює нулю й теж входить. Цілих чисел від −4 до 5 включно: 5 − (−4) + 1 = 10.
14. 3 Модуль невід’ємний, тому права частина теж: 2x − 5 ⩾ 0, тобто x ⩾ 2,5. Випадок x ⩾ 4: x − 4 = 2x − 5, звідси x = 1 — не задовольняє умову x ⩾ 4. Випадок x < 4: 4 − x = 2x − 5, звідси 3x = 9 і x = 3 — підходить, бо 3 < 4 і 3 ⩾ 2,5. Перевірка: |3 − 4| = 1 і 2 · 3 − 5 = 1. Корінь один.
