Блок 6 · Тема 34 з 42

Логарифмічні нерівності — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 61 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Логарифмічні рівняння
Логарифмічні нерівності
Показникові та логарифмічні рівняння і нерівності з параметром

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність log₂ x > 3.
- А (0; 8)
- Б (3; +∞)
- В (6; +∞)
- Г (8; +∞)
- Д (9; +∞)
2одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність log₀,₅ (x − 1) ⩾ −2.
- А (1; 5]
- Б [5; +∞)
- В (−∞; 5]
- Г (1; 1,25]
- Д [1,25; +∞)
3одна правильна відповідь
Скільки цілих розв’язків має нерівність log₃ (x + 2) < 2?
- А 5
- Б 7
- В 8
- Г 9
- Д безліч
4одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність lg (2x − 4) ⩽ lg (x + 1).
- А (−∞; 5]
- Б (2; 5]
- В (−1; 5]
- Г [5; +∞)
- Д (2; +∞)
5одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння log₄ (x² − 6x) = log₄ (2x − 7).
- А 1
- Б 7
- В 1; 7
- Г 8
- Д коренів немає
6одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння log₂ x + log₄ x = 6.
- А 4
- Б 8
- В 16
- Г 64
- Д 256
7одна правильна відповідь
Укажіть усі значення параметра a, при яких рівняння 3ˣ = a − 2 має корінь.
- А (0; +∞)
- Б (2; +∞)
- В [2; +∞)
- Г (−∞; 2)
- Д (−2; +∞)
8одна правильна відповідь
При яких значеннях параметра a рівняння 0,5ˣ = a має від’ємний корінь?
- А (−∞; 0)
- Б (0; 1)
- В (0; +∞)
- Г (1; +∞)
- Д (−∞; 1)
9на відповідність
Установіть відповідність між логарифмічною нерівністю (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).
- 1) log₃ x < 2
- 2) log₀,₂ x < −1
- 3) lg x > −1
- 4) log₀,₅ x > 1
- А) (0; 0,5)
- Б) (0; 9)
- В) (0,1; +∞)
- Г) (5; +∞)
- Д) (0; 5)
10на відповідність
Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).
- 1) log₂ (x²) = 2
- 2) 2 log₂ x = 2
- 3) log₃ (x − 5) = log₃ (1 − x)
- 4) log₅ (5ˣ) = x
- А) жодного
- Б) один
- В) два
- Г) три
- Д) безліч
11коротка відповідь
Знайдіть суму всіх цілих розв’язків нерівності log₀,₂ (x − 2) ⩾ −1.
Сума цілих розв’язків
12коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння log₂ (2ˣ − 7) = 3 − x.
Корінь рівняння
13коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння lg (x + 6) − lg (2x − 3) = lg 2.
Значення x
14коротка відповідь
Скільки існує цілих значень параметра a, при яких рівняння 4ˣ − 6 · 2ˣ + a = 0 має два різні корені?
Кількість значень a

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Логарифмічні нерівності — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Розв’яжіть нерівність log₂ x > 3.

А) (0; 8)
Б) (3; +∞)
В) (6; +∞)
Г) (8; +∞)
Д) (9; +∞)

Завдання 2. Розв’яжіть нерівність log₀,₅ (x − 1) ⩾ −2.

А) (1; 5]
Б) [5; +∞)
В) (−∞; 5]
Г) (1; 1,25]
Д) [1,25; +∞)

Завдання 3. Скільки цілих розв’язків має нерівність log₃ (x + 2) < 2?

А) 5
Б) 7
В) 8
Г) 9
Д) безліч

Завдання 4. Розв’яжіть нерівність lg (2x − 4) ⩽ lg (x + 1).

А) (−∞; 5]
Б) (2; 5]
В) (−1; 5]
Г) [5; +∞)
Д) (2; +∞)

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння log₄ (x² − 6x) = log₄ (2x − 7).

А) 1
Б) 7
В) 1; 7
Г) 8
Д) коренів немає

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння log₂ x + log₄ x = 6.

А) 4
Б) 8
В) 16
Г) 64
Д) 256

Завдання 7. Укажіть усі значення параметра a, при яких рівняння 3ˣ = a − 2 має корінь.

А) (0; +∞)
Б) (2; +∞)
В) [2; +∞)
Г) (−∞; 2)
Д) (−2; +∞)

Завдання 8. При яких значеннях параметра a рівняння 0,5ˣ = a має від’ємний корінь?

А) (−∞; 0)
Б) (0; 1)
В) (0; +∞)
Г) (1; +∞)
Д) (−∞; 1)

Завдання 9. Установіть відповідність між логарифмічною нерівністю (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).

1) log₃ x < 2
2) log₀,₂ x < −1
3) lg x > −1
4) log₀,₅ x > 1

А) (0; 0,5)
Б) (0; 9)
В) (0,1; +∞)
Г) (5; +∞)
Д) (0; 5)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).

1) log₂ (x²) = 2
2) 2 log₂ x = 2
3) log₃ (x − 5) = log₃ (1 − x)
4) log₅ (5ˣ) = x

А) жодного
Б) один
В) два
Г) три
Д) безліч

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Знайдіть суму всіх цілих розв’язків нерівності log₀,₂ (x − 2) ⩾ −1.

Відповідь:

Завдання 12. Розв’яжіть рівняння log₂ (2ˣ − 7) = 3 − x.

Відповідь:

Завдання 13. Розв’яжіть рівняння lg (x + 6) − lg (2x − 3) = lg 2.

Відповідь:

Завдання 14. Скільки існує цілих значень параметра a, при яких рівняння 4ˣ − 6 · 2ˣ + a = 0 має два різні корені?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	А	В	Б	Б	В	Б	Г	1Б 2Г 3В 4А	1В 2Б 3А 4Д	25	3	4	8

1. Г Записуємо 3 як логарифм за основою 2: 3 = log₂ 2³ = log₂ 8. Основа 2 > 1, функція зростає, тому знак зберігається: x > 8. Умова x > 0 при цьому виконується автоматично.

2. А ОДЗ: x − 1 > 0, тобто x > 1. Записуємо −2 як логарифм за основою 0,5: 0,5⁻² = 4, тому −2 = log₀,₅ 4. Основа 0,5 < 1, функція спадає, тому знак змінюється: x − 1 ⩽ 4, x ⩽ 5. З урахуванням ОДЗ: 1 < x ⩽ 5.

3. В ОДЗ: x + 2 > 0, тобто x > −2. 2 = log₃ 9, основа 3 > 1, тому x + 2 < 9, x < 7. Разом: −2 < x < 7. Цілі числа: −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 — їх вісім.

4. Б ОДЗ: 2x − 4 > 0 і x + 1 > 0, тобто x > 2. Основа 10 > 1, тому аргументи порівнюємо з тим самим знаком: 2x − 4 ⩽ x + 1, x ⩽ 5. З урахуванням ОДЗ: 2 < x ⩽ 5.

5. Б Логарифми з однаковою основою рівні, коли рівні аргументи: x² − 6x = 2x − 7. x² − 8x + 7 = 0, корені x = 1 і x = 7. Перевіряємо ОДЗ: при x = 1 маємо 2x − 7 = −5 < 0 — корінь сторонній; при x = 7 обидва аргументи дорівнюють 7 > 0.

6. В Переходимо до основи 2: log₄ x = log₂ x : log₂ 4 = ½ · log₂ x. Рівняння набуває вигляду log₂ x + ½ · log₂ x = 6, тобто 1,5 · log₂ x = 6. log₂ x = 4, звідки x = 2⁴ = 16.

7. Б Функція y = 3ˣ набуває лише додатних значень, причому кожного додатного — рівно один раз. Тому рівняння має корінь тоді й лише тоді, коли a − 2 > 0. Звідси a > 2.

8. Г Корінь існує лише при a > 0, і тоді x = log₀,₅ a. Функція y = 0,5ˣ спадає, а 0,5⁰ = 1, тому при x < 0 її значення більші за 1. Отже, корінь від’ємний тоді й лише тоді, коли a > 1.

9. 1Б 2Г 3В 4А log₃ x < log₃ 9, основа 3 > 1: 0 < x < 9 — Б. log₀,₂ x < log₀,₂ 5 (бо 0,2⁻¹ = 5), основа 0,2 < 1, знак змінюється: x > 5 — Г. lg x > lg 0,1, основа 10 > 1: x > 0,1 — В. log₀,₅ x > log₀,₅ 0,5, основа 0,5 < 1, знак змінюється: 0 < x < 0,5 — А.

10. 1В 2Б 3А 4Д log₂ (x²) = 2 ⇔ x² = 4 при x ≠ 0: x = 2 або x = −2 — два корені (В). 2 log₂ x = 2 ⇔ log₂ x = 1, але тут ОДЗ x > 0, тому лише x = 2 — один корінь (Б). Аргументи x − 5 і 1 − x не можуть бути додатними одночасно (потрібно x > 5 і x < 1), тож коренів немає (А); формальний розв’язок x = 3 не входить в ОДЗ. log₅ (5ˣ) = x за означенням логарифма при будь-якому x — коренів безліч (Д).

11. 25 ОДЗ: x − 2 > 0, тобто x > 2. 0,2⁻¹ = 5, тому −1 = log₀,₂ 5. Основа 0,2 < 1, знак змінюється: x − 2 ⩽ 5, x ⩽ 7. Разом 2 < x ⩽ 7, цілі розв’язки: 3, 4, 5, 6, 7. Їх сума: 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.

12. 3 За означенням логарифма 2ˣ − 7 = 2³⁻ˣ = 8/2ˣ. Позначимо t = 2ˣ > 0: t − 7 = 8/t, тобто t² − 7t − 8 = 0, звідки t = 8 або t = −1. t = −1 не підходить, а 2ˣ = 8 дає x = 3. Перевірка: 2³ − 7 = 1 > 0 і log₂ 1 = 0 = 3 − 3.

13. 4 ОДЗ: x + 6 > 0 і 2x − 3 > 0, тобто x > 1,5. Різниця логарифмів — логарифм частки: lg ((x + 6)/(2x − 3)) = lg 2, тому (x + 6)/(2x − 3) = 2. x + 6 = 4x − 6, 3x = 12, x = 4 — входить в ОДЗ.

14. 8 Заміна t = 2ˣ, t > 0: t² − 6t + a = 0. Кожному додатному t відповідає рівно один x, тож потрібні два різні додатні корені t. Два різні корені: D = 36 − 4a > 0, тобто a < 9. Обидва корені додатні: їх сума 6 > 0, а добуток a > 0. Отже, 0 < a < 9: цілі значення 1, 2, …, 8 — їх вісім.