Блок 2 · Тема 10 з 42

Прямокутний трикутник — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 44 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника
Теорема косинусів
Теорема синусів

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 21 см. Знайдіть cos B.
- А 20/29
- Б 21/29
- В 20/21
- Г 21/20
- Д 29/21
2одна правильна відповідь
Драбину приставили до вертикальної стіни. Нижній кінець драбини стоїть на відстані 10 дм від стіни, а верхній спирається на стіну на висоті, яка на 2 дм менша за довжину драбини. Знайдіть довжину драбини.
- А 12 дм
- Б 24 дм
- В 25 дм
- Г 26 дм
- Д 52 дм
3одна правильна відповідь
Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть цю висоту.
- А 6 см
- Б 6,5 см
- В 13 см
- Г 18 см
- Д 36 см
4одна правильна відповідь
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один із його гострих кутів — 30°. Знайдіть катет, прилеглий до цього кута.
- А 6 см
- Б 4√3 см
- В 6√3 см
- Г 12√3 см
- Д 24 см
5одна правильна відповідь
Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проекція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу.
- А 2√5 см
- Б 5 см
- В 2√13 см
- Г 9 см
- Д 10 см
6одна правильна відповідь
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.
- А 3 см
- Б √39 см
- В 7 см
- Г √89 см
- Д √129 см
7одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠C = 90°, tg A = 0,75, BC = 9 см. Знайдіть AB.
- А 6,75 см
- Б 11,25 см
- В 12 см
- Г 15 см
- Д 21 см
8одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 6√2 см. Знайдіть AC.
- А 3 см
- Б 3√2 см
- В 6 см
- Г 6√2 см
- Д 12 см
9на відповідність
У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) висота CH ділить гіпотенузу на відрізки AH = 16 см і BH = 9 см. Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А–Д).
- 1) CH
- 2) AC
- 3) BC
- 4) AB
- А) 12 см
- Б) 12,5 см
- В) 15 см
- Г) 20 см
- Д) 25 см
10на відповідність
Установіть відповідність між трійкою довжин відрізків (1–4) та висновком про трикутник із такими сторонами (А–Д).
- 1) 5 см, 6 см, 7 см
- 2) 9 см, 12 см, 15 см
- 3) 5 см, 7 см, 10 см
- 4) 3 см, 4 см, 8 см
- А) тупокутний
- Б) такого трикутника не існує
- В) гострокутний
- Г) рівносторонній
- Д) прямокутний
11коротка відповідь
Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 8,5 см, а один із катетів — 8 см. Знайдіть периметр трикутника (у см).
Периметр у сантиметрах
12коротка відповідь
Пандус піднімається на висоту 0,7 м, а довжина його похилої поверхні — 2,5 м. Яку відстань по горизонталі (у метрах) займає пандус?
Відстань у метрах
13коротка відповідь
У трикутнику ABC ∠C = 90°, AB = 25 см, sin A = 0,28. Знайдіть AC (у см).
Довжина в сантиметрах
14коротка відповідь
Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.
Градусна міра кута

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Прямокутний трикутник — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 21 см. Знайдіть cos B.

А) 20/29
Б) 21/29
В) 20/21
Г) 21/20
Д) 29/21

Завдання 2. Драбину приставили до вертикальної стіни. Нижній кінець драбини стоїть на відстані 10 дм від стіни, а верхній спирається на стіну на висоті, яка на 2 дм менша за довжину драбини. Знайдіть довжину драбини.

А) 12 дм
Б) 24 дм
В) 25 дм
Г) 26 дм
Д) 52 дм

Завдання 3. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть цю висоту.

А) 6 см
Б) 6,5 см
В) 13 см
Г) 18 см
Д) 36 см

Завдання 4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один із його гострих кутів — 30°. Знайдіть катет, прилеглий до цього кута.

А) 6 см
Б) 4√3 см
В) 6√3 см
Г) 12√3 см
Д) 24 см

Завдання 5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проекція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу.

А) 2√5 см
Б) 5 см
В) 2√13 см
Г) 9 см
Д) 10 см

Завдання 6. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

А) 3 см
Б) √39 см
В) 7 см
Г) √89 см
Д) √129 см

Завдання 7. У трикутнику ABC ∠C = 90°, tg A = 0,75, BC = 9 см. Знайдіть AB.

А) 6,75 см
Б) 11,25 см
В) 12 см
Г) 15 см
Д) 21 см

Завдання 8. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 6√2 см. Знайдіть AC.

А) 3 см
Б) 3√2 см
В) 6 см
Г) 6√2 см
Д) 12 см

Завдання 9. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) висота CH ділить гіпотенузу на відрізки AH = 16 см і BH = 9 см. Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А–Д).

1) CH
2) AC
3) BC
4) AB

А) 12 см
Б) 12,5 см
В) 15 см
Г) 20 см
Д) 25 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між трійкою довжин відрізків (1–4) та висновком про трикутник із такими сторонами (А–Д).

1) 5 см, 6 см, 7 см
2) 9 см, 12 см, 15 см
3) 5 см, 7 см, 10 см
4) 3 см, 4 см, 8 см

А) тупокутний
Б) такого трикутника не існує
В) гострокутний
Г) рівносторонній
Д) прямокутний

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 8,5 см, а один із катетів — 8 см. Знайдіть периметр трикутника (у см).

Відповідь:

Завдання 12. Пандус піднімається на висоту 0,7 м, а довжина його похилої поверхні — 2,5 м. Яку відстань по горизонталі (у метрах) займає пандус?

Відповідь:

Завдання 13. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AB = 25 см, sin A = 0,28. Знайдіть AC (у см).

Відповідь:

Завдання 14. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Б	Г	А	В	Г	В	Г	В	1А 2Г 3В 4Д	1В 2Д 3А 4Б	40	2,4	24	120

1. Б Гіпотенуза: AB = √(20² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 см. Косинус гострого кута — відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Прилеглий до кута B катет — BC. cos B = BC/AB = 21/29

2. Г Драбина, стіна й підлога утворюють прямокутний трикутник: драбина — гіпотенуза x, висота — катет x − 2, відстань до стіни — катет 10. За теоремою Піфагора x² = (x − 2)² + 10², тобто x² = x² − 4x + 4 + 100. 4x = 104, x = 26 дм.

3. А Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона ділить гіпотенузу: h² = 4 · 9. h² = 36, h = 6 см.

4. В Прилеглий катет дорівнює гіпотенузі, помноженій на косинус кута. 12 · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 см.

5. Г Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та своєю проекцією на неї: a² = c · m. 6² = c · 4, тобто 36 = 4c. c = 9 см

6. В За теоремою косинусів c² = a² + b² − 2ab · cos γ. c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 89 − 40 = 49 c = 7 см

7. Г tg A = BC/AC, тому AC = BC : tg A = 9 : 0,75 = 12 см. AB = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.

8. В За теоремою синусів BC/sin A = AC/sin B: сторони пропорційні синусам протилежних кутів. AC = BC · sin B : sin A = 6√2 · 1/2 : (√2/2) AC = 3√2 : (√2/2) = 6 см.

9. 1А 2Г 3В 4Д AB = AH + BH = 16 + 9 = 25 см. CH² = AH · BH = 16 · 9 = 144, CH = 12 см. AC² = AB · AH = 25 · 16 = 400, AC = 20 см. BC² = AB · BH = 25 · 9 = 225, BC = 15 см.

10. 1В 2Д 3А 4Б Спершу перевіряємо нерівність трикутника, потім порівнюємо квадрат найбільшої сторони із сумою квадратів двох інших — це наслідок теореми косинусів. 1: 7² = 49 < 25 + 36 = 61 — найбільший кут гострий, трикутник гострокутний. 2: 15² = 225 = 81 + 144 — трикутник прямокутний. 3: 10² = 100 > 25 + 49 = 74 — найбільший кут тупий. 4: 3 + 4 = 7 < 8 — нерівність трикутника порушена, такого трикутника немає.

11. 40 Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому гіпотенуза — 17 см. Другий катет: √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 см. Периметр: 8 + 15 + 17 = 40 см.

12. 2,4 Похила поверхня — гіпотенуза прямокутного трикутника, висота підйому й горизонтальна відстань — катети. Горизонтальний катет: √(2,5² − 0,7²) = √(6,25 − 0,49) = √5,76. √5,76 = 2,4 м

13. 24 sin A = BC/AB, тому BC = 25 · 0,28 = 7 см. AC = √(25² − 7²) = √(625 − 49) = √576 = 24 см.

14. 120 Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони, 7 см. За теоремою косинусів cos γ = (3² + 5² − 7²)/(2 · 3 · 5) = (9 + 25 − 49)/30 = −15/30 = −1/2. Кут, косинус якого дорівнює −1/2, — це 120°.