Блок 6 · Тема 36 з 42

Похідна: означення, таблиця похідних, правила знаходження — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 61 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Означення похідної, таблиця похідних, правила знаходження похідних
Значення похідної функції в точці
Геометричний і фізичний зміст похідної
Рівняння дотичної до графіка функції

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Знайдіть значення похідної функції f(x) = x³ − 2x у точці x₀ = 2.
- А 4
- Б 6
- В 8
- Г 10
- Д 12
2одна правильна відповідь
Знайдіть похідну функції f(x) = x² · sin x.
- А 2x · cos x
- Б 2x · sin x + x² · cos x
- В 2x · sin x − x² · cos x
- Г x² · cos x
- Д 2x · sin x
3одна правильна відповідь
Знайдіть похідну функції f(x) = (3x − 1)⁵.
- А 5(3x − 1)⁴
- Б 3(3x − 1)⁴
- В 15(3x − 1)⁴
- Г 15(3x − 1)⁵
- Д (3x − 1)⁶/18
4одна правильна відповідь
Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ − 3t² + 4, де s — координата тіла в метрах, t — час у секундах. Знайдіть швидкість тіла в момент t = 2 с.
- А 8 м/с
- Б 12 м/с
- В 16 м/с
- Г 18 м/с
- Д 24 м/с
5одна правильна відповідь
Під яким кутом до додатного напряму осі Ox нахилена дотична до графіка функції f(x) = x² − 5x + 1 у точці x₀ = 2?
- А 30°
- Б 45°
- В 60°
- Г 120°
- Д 135°
6одна правильна відповідь
Знайдіть f′(2), якщо f(x) = (2x + 1)/(x − 1).
- А −3
- Б −1/3
- В 2
- Г 3
- Д 5
7одна правильна відповідь
Укажіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² − 3x у точці з абсцисою x₀ = 1.
- А y = −x − 1
- Б y = −x − 2
- В y = x − 3
- Г y = −x + 1
- Д y = 2x − 3
8одна правильна відповідь
Дотична до графіка функції f(x) = x² + 4x паралельна прямій y = 2x − 7. Знайдіть абсцису точки дотику.
- А −5,5
- Б −3
- В −2
- Г −1
- Д 3
9на відповідність
Установіть відповідність між функцією (1–4) та її похідною (А–Д).
- 1) f(x) = x⁴
- 2) f(x) = sin x
- 3) f(x) = √x
- 4) f(x) = cos x
- А) 1/(2√x)
- Б) 4x³
- В) cos x
- Г) −sin x
- Д) x⁵/5
10на відповідність
Установіть відповідність між функцією (1–4) та значенням її похідної в точці x₀ = 1 (А–Д).
- 1) f(x) = x⁵
- 2) f(x) = 4√x
- 3) f(x) = 1/x
- 4) f(x) = (x + 1)²
- А) −1
- Б) 1
- В) 2
- Г) 4
- Д) 5
11коротка відповідь
До графіка функції y = x² проведено дотичну в точці x₀ = 3. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної.
Кутовий коефіцієнт k
12коротка відповідь
Знайдіть f′(4), якщо f(x) = √(x² + 9).
Значення f′(4)
13коротка відповідь
М’яч підкинули вертикально вгору, і його висота змінюється за законом h(t) = 1,5 + 12t − 5t², де h — у метрах, t — у секундах. Знайдіть швидкість м’яча (у м/с) через 0,8 с після кидка.
Швидкість у м/с
14коротка відповідь
До графіка функції f(x) = x³ − x проведено дотичну в точці з абсцисою x₀ = 2. Знайдіть ординату точки перетину цієї дотичної з віссю Oy.
Ордината точки перетину

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Похідна: означення, таблиця похідних, правила знаходження — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Знайдіть значення похідної функції f(x) = x³ − 2x у точці x₀ = 2.

А) 4
Б) 6
В) 8
Г) 10
Д) 12

Завдання 2. Знайдіть похідну функції f(x) = x² · sin x.

А) 2x · cos x
Б) 2x · sin x + x² · cos x
В) 2x · sin x − x² · cos x
Г) x² · cos x
Д) 2x · sin x

Завдання 3. Знайдіть похідну функції f(x) = (3x − 1)⁵.

А) 5(3x − 1)⁴
Б) 3(3x − 1)⁴
В) 15(3x − 1)⁴
Г) 15(3x − 1)⁵
Д) (3x − 1)⁶/18

Завдання 4. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t³ − 3t² + 4, де s — координата тіла в метрах, t — час у секундах. Знайдіть швидкість тіла в момент t = 2 с.

А) 8 м/с
Б) 12 м/с
В) 16 м/с
Г) 18 м/с
Д) 24 м/с

Завдання 5. Під яким кутом до додатного напряму осі Ox нахилена дотична до графіка функції f(x) = x² − 5x + 1 у точці x₀ = 2?

А) 30°
Б) 45°
В) 60°
Г) 120°
Д) 135°

Завдання 6. Знайдіть f′(2), якщо f(x) = (2x + 1)/(x − 1).

А) −3
Б) −1/3
В) 2
Г) 3
Д) 5

Завдання 7. Укажіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x² − 3x у точці з абсцисою x₀ = 1.

А) y = −x − 1
Б) y = −x − 2
В) y = x − 3
Г) y = −x + 1
Д) y = 2x − 3

Завдання 8. Дотична до графіка функції f(x) = x² + 4x паралельна прямій y = 2x − 7. Знайдіть абсцису точки дотику.

А) −5,5
Б) −3
В) −2
Г) −1
Д) 3

Завдання 9. Установіть відповідність між функцією (1–4) та її похідною (А–Д).

1) f(x) = x⁴
2) f(x) = sin x
3) f(x) = √x
4) f(x) = cos x

А) 1/(2√x)
Б) 4x³
В) cos x
Г) −sin x
Д) x⁵/5

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між функцією (1–4) та значенням її похідної в точці x₀ = 1 (А–Д).

1) f(x) = x⁵
2) f(x) = 4√x
3) f(x) = 1/x
4) f(x) = (x + 1)²

А) −1
Б) 1
В) 2
Г) 4
Д) 5

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. До графіка функції y = x² проведено дотичну в точці x₀ = 3. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної.

Відповідь:

Завдання 12. Знайдіть f′(4), якщо f(x) = √(x² + 9).

Відповідь:

Завдання 13. М’яч підкинули вертикально вгору, і його висота змінюється за законом h(t) = 1,5 + 12t − 5t², де h — у метрах, t — у секундах. Знайдіть швидкість м’яча (у м/с) через 0,8 с після кидка.

Відповідь:

Завдання 14. До графіка функції f(x) = x³ − x проведено дотичну в точці з абсцисою x₀ = 2. Знайдіть ординату точки перетину цієї дотичної з віссю Oy.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Б	В	Б	Д	А	А	Г	1Б 2В 3А 4Г	1Д 2В 3А 4Г	6	0,8	4	−16

1. Г Знаходимо похідну за таблицею та правилом суми: f′(x) = 3x² − 2. Підставляємо x₀ = 2: f′(2) = 3 · 2² − 2 = 12 − 2 = 10.

2. Б Це добуток двох функцій u = x² і v = sin x, тому (u · v)′ = u′ · v + u · v′. u′ = 2x, v′ = cos x. f′(x) = 2x · sin x + x² · cos x.

3. В Це складена функція: зовнішня u⁵, внутрішня u = 3x − 1. Похідна зовнішньої: 5u⁴; похідна внутрішньої: (3x − 1)′ = 3. f′(x) = 5(3x − 1)⁴ · 3 = 15(3x − 1)⁴.

4. Б Швидкість — похідна координати за часом: v(t) = s′(t) = 6t² − 6t. v(2) = 6 · 4 − 6 · 2 = 24 − 12 = 12 м/с.

5. Д Тангенс кута нахилу дотичної дорівнює значенню похідної в точці дотику: tg α = f′(x₀). f′(x) = 2x − 5, тому f′(2) = 4 − 5 = −1. tg α = −1, кут α тупий: α = 180° − 45° = 135°.

6. А За правилом частки (u/v)′ = (u′ · v − u · v′)/v². f′(x) = (2(x − 1) − (2x + 1) · 1)/(x − 1)² = −3/(x − 1)². f′(2) = −3/1² = −3.

7. А Рівняння дотичної: y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀). f(1) = 1 − 3 = −2; f′(x) = 2x − 3, тому f′(1) = −1. y = −2 − 1 · (x − 1) = −2 − x + 1 = −x − 1.

8. Г Паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти, тому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт дотичної — це f′(x₀), а f′(x) = 2x + 4. 2x₀ + 4 = 2, звідки x₀ = −1.

9. 1Б 2В 3А 4Г (x⁴)′ = 4x³ — Б. (sin x)′ = cos x — В; (cos x)′ = −sin x — Г. (√x)′ = 1/(2√x) — А.

10. 1Д 2В 3А 4Г (x⁵)′ = 5x⁴, у точці 1 це 5 — Д. (4√x)′ = 4 · 1/(2√x) = 2/√x, у точці 1 це 2 — В. (1/x)′ = −1/x², у точці 1 це −1 — А. ((x + 1)²)′ = 2(x + 1), у точці 1 це 4 — Г.

11. 6 Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в точці дотику: k = y′(x₀). y′ = 2x, тому k = 2 · 3 = 6.

12. 0,8 Зовнішня функція √u, внутрішня u = x² + 9: f′(x) = 1/(2√(x² + 9)) · 2x = x/√(x² + 9). f′(4) = 4/√(16 + 9) = 4/5 = 0,8.

13. 4 Швидкість — похідна висоти за часом: v(t) = h′(t) = 12 − 10t. v(0,8) = 12 − 10 · 0,8 = 12 − 8 = 4 м/с.

14. −16 f(2) = 8 − 2 = 6; f′(x) = 3x² − 1, тому f′(2) = 11. Рівняння дотичної: y = 6 + 11(x − 2) = 11x − 16. На осі Oy x = 0, тому y = −16.