Блок 6 · Тема 33 з 42

Логарифм. Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 62 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Поняття логарифма
Логарифмічна функція: властивості і графік
Перетворення логарифмічних виразів
Логарифмічні рівняння

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Обчисліть log₂ (1/16).
- А −8
- Б −4
- В −1/4
- Г 4
- Д 8
2одна правильна відповідь
Знайдіть x, якщо log₄ x = 1,5.
- А 2
- Б 5,5
- В 6
- Г 8
- Д 16
3одна правильна відповідь
Знайдіть область визначення функції y = log₂ (6 − 2x).
- А (−∞; 3)
- Б (−∞; 3]
- В (3; +∞)
- Г (−3; +∞)
- Д (0; 3)
4одна правильна відповідь
Яка з точок належить графіку функції y = log₀,₅ x?
- А (2; 1)
- Б (4; −2)
- В (0,5; −1)
- Г (1; 0,5)
- Д (8; 3)
5одна правильна відповідь
Обчисліть log₆ 4 + log₆ 9.
- А log₆ 13
- Б 1
- В 2
- Г 13
- Д 36
6одна правильна відповідь
Обчисліть log₄ 32.
- А 1,25
- Б 2
- В 2,5
- Г 5
- Д 8
7одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння log₃ (2x − 1) = 2.
- А 1,5
- Б 3,5
- В 4,5
- Г 5
- Д 14
8одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння lg x + lg (x − 3) = 1.
- А 5
- Б −2
- В −2; 5
- Г 2; −5
- Д коренів немає
9на відповідність
Установіть відповідність між логарифмічним виразом (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) log₂ 12 − log₂ 3
- 2) lg 0,001
- 3) log₄ 8
- 4) log₂₅ 5
- А) −3
- Б) 0,5
- В) 1,5
- Г) 2
- Д) 3
10на відповідність
Установіть відповідність між логарифмічним рівнянням (1–4) та його коренем (А–Д).
- 1) log₂ x = −1
- 2) lg (x + 4) = 1
- 3) log₃ (2x + 3) = 2
- 4) logₓ 16 = 2
- А) −4
- Б) 0,5
- В) 3
- Г) 4
- Д) 6
11коротка відповідь
Знайдіть найменше значення функції y = log₀,₂₅ x на відрізку [2; 64].
Найменше значення функції
12коротка відповідь
Рівень гучності звуку L (у децибелах) обчислюють за формулою L = 10 · lg (I/I₀), де I — інтенсивність звуку, а I₀ — стала. Гучність шумної вулиці — 80 дБ, а тихої розмови — 50 дБ. У скільки разів інтенсивність звуку шумної вулиці більша за інтенсивність звуку розмови?
У скільки разів
13коротка відповідь
Знайдіть добуток коренів рівняння (log₃ x)² − 3 log₃ x + 2 = 0.
Добуток коренів
14коротка відповідь
Обчисліть log₇ 25 · log₅ 49.
Значення виразу

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Логарифм. Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Обчисліть log₂ (1/16).

А) −8
Б) −4
В) −1/4
Г) 4
Д) 8

Завдання 2. Знайдіть x, якщо log₄ x = 1,5.

А) 2
Б) 5,5
В) 6
Г) 8
Д) 16

Завдання 3. Знайдіть область визначення функції y = log₂ (6 − 2x).

А) (−∞; 3)
Б) (−∞; 3]
В) (3; +∞)
Г) (−3; +∞)
Д) (0; 3)

Завдання 4. Яка з точок належить графіку функції y = log₀,₅ x?

А) (2; 1)
Б) (4; −2)
В) (0,5; −1)
Г) (1; 0,5)
Д) (8; 3)

Завдання 5. Обчисліть log₆ 4 + log₆ 9.

А) log₆ 13
Б) 1
В) 2
Г) 13
Д) 36

Завдання 6. Обчисліть log₄ 32.

А) 1,25
Б) 2
В) 2,5
Г) 5
Д) 8

Завдання 7. Розв’яжіть рівняння log₃ (2x − 1) = 2.

А) 1,5
Б) 3,5
В) 4,5
Г) 5
Д) 14

Завдання 8. Розв’яжіть рівняння lg x + lg (x − 3) = 1.

А) 5
Б) −2
В) −2; 5
Г) 2; −5
Д) коренів немає

Завдання 9. Установіть відповідність між логарифмічним виразом (1–4) та його значенням (А–Д).

1) log₂ 12 − log₂ 3
2) lg 0,001
3) log₄ 8
4) log₂₅ 5

А) −3
Б) 0,5
В) 1,5
Г) 2
Д) 3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між логарифмічним рівнянням (1–4) та його коренем (А–Д).

1) log₂ x = −1
2) lg (x + 4) = 1
3) log₃ (2x + 3) = 2
4) logₓ 16 = 2

А) −4
Б) 0,5
В) 3
Г) 4
Д) 6

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Знайдіть найменше значення функції y = log₀,₂₅ x на відрізку [2; 64].

Відповідь:

Завдання 12. Рівень гучності звуку L (у децибелах) обчислюють за формулою L = 10 · lg (I/I₀), де I — інтенсивність звуку, а I₀ — стала. Гучність шумної вулиці — 80 дБ, а тихої розмови — 50 дБ. У скільки разів інтенсивність звуку шумної вулиці більша за інтенсивність звуку розмови?

Відповідь:

Завдання 13. Знайдіть добуток коренів рівняння (log₃ x)² − 3 log₃ x + 2 = 0.

Відповідь:

Завдання 14. Обчисліть log₇ 25 · log₅ 49.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Б	Г	А	Б	В	В	Г	А	1Г 2А 3В 4Б	1Б 2Д 3В 4Г	−3	1000	27	4

1. Б log₂ (1/16) — це показник степеня, до якого треба піднести 2, щоб дістати 1/16. 1/16 = 1/2⁴ = 2⁻⁴. Отже, log₂ (1/16) = −4.

2. Г За означенням логарифма x — це 4 у степені 1,5. 1,5 = 3/2, тому x = (√4)³ = 2³ = 8.

3. А Логарифм існує лише для додатного аргументу: 6 − 2x > 0. −2x > −6; ділимо на −2 і змінюємо знак: x < 3.

4. Б Точка (x₀; y₀) лежить на графіку, якщо y₀ = log₀,₅ x₀, тобто 0,5 у степені y₀ дорівнює x₀. Перевіряємо: 0,5⁻² = 2² = 4, тому точка (4; −2) підходить. Інші не підходять: log₀,₅ 2 = −1, log₀,₅ 0,5 = 1, log₀,₅ 1 = 0, log₀,₅ 8 = −3.

5. В Сума логарифмів з однаковою основою дорівнює логарифму добутку: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9). log₆ 36 = 2, бо 6² = 36.

6. В Обидва числа — степені двійки: 4 = 2², 32 = 2⁵. За формулою переходу до нової основи log₄ 32 = log₂ 32 : log₂ 4 = 5 : 2. 5 : 2 = 2,5.

7. Г За означенням логарифма 2x − 1 = 3² = 9. 2x = 10, x = 5. Перевіряємо ОДЗ: 2 · 5 − 1 = 9 > 0.

8. А ОДЗ: x > 0 і x − 3 > 0, тобто x > 3. Сума логарифмів — логарифм добутку: lg (x(x − 3)) = 1, тому x(x − 3) = 10. x² − 3x − 10 = 0, корені x = 5 і x = −2. x = −2 не входить в ОДЗ, лишається x = 5.

9. 1Г 2А 3В 4Б Різниця логарифмів — логарифм частки: log₂ (12 : 3) = log₂ 4 = 2 — Г. 0,001 = 10⁻³, тому lg 0,001 = −3 — А. 4 = 2², 8 = 2³, тому log₄ 8 = 3 : 2 = 1,5 — В. 5 = √25, тобто 25 у степені 0,5, тому log₂₅ 5 = 0,5 — Б.

10. 1Б 2Д 3В 4Г log₂ x = −1 ⇔ x = 2⁻¹ = 0,5 — Б. lg (x + 4) = 1 ⇔ x + 4 = 10, x = 6 — Д. log₃ (2x + 3) = 2 ⇔ 2x + 3 = 9, x = 3 — В. logₓ 16 = 2 ⇔ x² = 16, де x > 0 і x ≠ 1, тому x = 4 — Г.

11. −3 Основа 0,25 менша за 1, тому функція y = log₀,₂₅ x спадає. Спадна функція набуває найменшого значення на правому кінці відрізка, тобто при x = 64. log₀,₂₅ 64 = −3, бо 0,25⁻³ = 4³ = 64.

12. 1000 Для вулиці 10 · lg (I₁/I₀) = 80, звідки lg (I₁/I₀) = 8, тобто I₁ = 10⁸ · I₀. Для розмови 10 · lg (I₂/I₀) = 50, звідки I₂ = 10⁵ · I₀. I₁ : I₂ = 10⁸ : 10⁵ = 10³ = 1000.

13. 27 Позначимо t = log₃ x. Дістаємо t² − 3t + 2 = 0, звідки t = 1 або t = 2. log₃ x = 1 дає x = 3, log₃ x = 2 дає x = 9; обидва корені додатні. Добуток коренів: 3 · 9 = 27.

14. 4 Виносимо показники: log₇ 25 = log₇ 5² = 2 log₇ 5, а log₅ 49 = log₅ 7² = 2 log₅ 7. Добуток дорівнює 4 · log₇ 5 · log₅ 7. За формулою переходу до основи 7: log₅ 7 = 1 : log₇ 5, тому log₇ 5 · log₅ 7 = 1. Отже, значення виразу дорівнює 4.