Блок 5 · Тема 25 з 42

Координати і вектори на площині — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 49 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Координати вектора
Модуль вектора
Колінеарні вектори
Скалярний добуток векторів

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Дано точки A(3; −1) і B(−2; 4). Знайдіть координати вектора AB.
- А (5; −5)
- Б (1; 3)
- В (−5; 5)
- Г (−5; 3)
- Д (0,5; 1,5)
2одна правильна відповідь
Дано вектори a(2; −3) і b(−1; 4). Знайдіть координати вектора 2a − 3b.
- А (1; 6)
- Б (7; −18)
- В (7; 6)
- Г (5; −10)
- Д (−7; 18)
3одна правильна відповідь
Дано вектори a(3; −7) і b(2; −5). Знайдіть модуль вектора a + b.
- А 17
- Б 7
- В √119
- Г 169
- Д 13
4одна правильна відповідь
Точка M — середина відрізка AB, де A(−3; 5) і B(7; −1). Знайдіть довжину вектора OM, де O — початок координат.
- А 2√2
- Б 4√2
- В √34
- Г 8
- Д 2
5одна правильна відповідь
При якому значенні k вектори a(3; −5) і b(k; 15) колінеарні?
- А 9
- Б −1
- В 25
- Г −9
- Д −25
6одна правильна відповідь
Знайдіть скалярний добуток векторів a(3; −2) і b(4; 5).
- А 22
- Б (12; −10)
- В −2
- Г 2
- Д −22
7одна правильна відповідь
Знайдіть кут між векторами a(1; 2) і b(3; 1).
- А 30°
- Б 45°
- В 60°
- Г 90°
- Д 135°
8одна правильна відповідь
Укажіть вектор, колінеарний вектору m(−3; 6).
- А (2; −1)
- Б (−6; −12)
- В (1; −2)
- Г (3; 6)
- Д (6; 3)
9на відповідність
Дано вектори a(−4; 3) і b(1; −2). Установіть відповідність між вектором (1–4) та його модулем (А–Д).
- 1) a
- 2) b
- 3) a + b
- 4) a − b
- А) √5
- Б) 5
- В) √10
- Г) 2√5
- Д) 5√2
10на відповідність
Дано вектори a(2; −1), b(−3; 4) і c(1; 2). Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) a · b
- 2) a · c
- 3) b · c
- 4) (a + c) · b
- А) −10
- Б) −5
- В) 0
- Г) 5
- Д) 10
11коротка відповідь
ABCD — паралелограм, A(−2; 1), B(3; 4), C(6; −1). Знайдіть суму координат вершини D.
Сума абсциси й ординати точки D
12коротка відповідь
Вектори p(x; 2) і q(8; x) колінеарні й протилежно напрямлені. Знайдіть x.
Значення x
13коротка відповідь
При якому значенні m вектори a(m; 3) і b(4; −2) перпендикулярні?
Значення m
14коротка відповідь
|a| = 3, |b| = 5, кут між векторами a і b дорівнює 60°. Знайдіть |a + b|.
Довжина вектора a + b

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Координати і вектори на площині — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Дано точки A(3; −1) і B(−2; 4). Знайдіть координати вектора AB.

А) (5; −5)
Б) (1; 3)
В) (−5; 5)
Г) (−5; 3)
Д) (0,5; 1,5)

Завдання 2. Дано вектори a(2; −3) і b(−1; 4). Знайдіть координати вектора 2a − 3b.

А) (1; 6)
Б) (7; −18)
В) (7; 6)
Г) (5; −10)
Д) (−7; 18)

Завдання 3. Дано вектори a(3; −7) і b(2; −5). Знайдіть модуль вектора a + b.

А) 17
Б) 7
В) √119
Г) 169
Д) 13

Завдання 4. Точка M — середина відрізка AB, де A(−3; 5) і B(7; −1). Знайдіть довжину вектора OM, де O — початок координат.

А) 2√2
Б) 4√2
В) √34
Г) 8
Д) 2

Завдання 5. При якому значенні k вектори a(3; −5) і b(k; 15) колінеарні?

А) 9
Б) −1
В) 25
Г) −9
Д) −25

Завдання 6. Знайдіть скалярний добуток векторів a(3; −2) і b(4; 5).

А) 22
Б) (12; −10)
В) −2
Г) 2
Д) −22

Завдання 7. Знайдіть кут між векторами a(1; 2) і b(3; 1).

А) 30°
Б) 45°
В) 60°
Г) 90°
Д) 135°

Завдання 8. Укажіть вектор, колінеарний вектору m(−3; 6).

А) (2; −1)
Б) (−6; −12)
В) (1; −2)
Г) (3; 6)
Д) (6; 3)

Завдання 9. Дано вектори a(−4; 3) і b(1; −2). Установіть відповідність між вектором (1–4) та його модулем (А–Д).

1) a
2) b
3) a + b
4) a − b

А) √5
Б) 5
В) √10
Г) 2√5
Д) 5√2

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Дано вектори a(2; −1), b(−3; 4) і c(1; 2). Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).

1) a · b
2) a · c
3) b · c
4) (a + c) · b

А) −10
Б) −5
В) 0
Г) 5
Д) 10

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. ABCD — паралелограм, A(−2; 1), B(3; 4), C(6; −1). Знайдіть суму координат вершини D.

Відповідь:

Завдання 12. Вектори p(x; 2) і q(8; x) колінеарні й протилежно напрямлені. Знайдіть x.

Відповідь:

Завдання 13. При якому значенні m вектори a(m; 3) і b(4; −2) перпендикулярні?

Відповідь:

Завдання 14. |a| = 3, |b| = 5, кут між векторами a і b дорівнює 60°. Знайдіть |a + b|.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Б	Д	А	Г	Г	Б	В	1Б 2А 3В 4Д	1А 2В 3Г 4Б	−3	−4	1,5	7

1. В Координати вектора дорівнюють різниці координат його кінця і початку: від B віднімаємо A. Абсциса: −2 − 3 = −5 Ордината: 4 − (−1) = 4 + 1 = 5

2. Б Множимо вектори на числа: 2a = (4; −6), 3b = (−3; 12). Віднімаємо відповідні координати: 4 − (−3) = 7 і −6 − 12 = −18. Отже, 2a − 3b = (7; −18).

3. Д Спершу знаходимо координати суми: a + b = (3 + 2; −7 + (−5)) = (5; −12). Модуль — корінь із суми квадратів координат: √(5² + (−12)²) = √(25 + 144) = √169. √169 = 13

4. А Координати середини — півсуми координат кінців: x = (−3 + 7)/2 = 2, y = (5 + (−1))/2 = 2. Вектор OM має ті самі координати, що й точка M: OM(2; 2). |OM| = √(2² + 2²) = √8 = 2√2

5. Г Колінеарні вектори мають пропорційні координати: k/3 = 15/(−5). Права частина дорівнює −3, тому k = 3 · (−3) = −9. Перевірка: b(−9; 15) = −3 · a, тобто вектори протилежно напрямлені, але колінеарні.

6. Г Скалярний добуток — сума добутків відповідних координат. a · b = 3 · 4 + (−2) · 5 = 12 − 10 = 2

7. Б Скалярний добуток: a · b = 1 · 3 + 2 · 1 = 5. Модулі: |a| = √(1 + 4) = √5, |b| = √(9 + 1) = √10. cos φ = 5/(√5 · √10) = 5/√50 = 5/(5√2) = √2/2, тому φ = 45°.

8. В Шукаємо вектор, координати якого пропорційні −3 і 6, тобто друга координата дорівнює першій, помноженій на −2. Для (1; −2): 1 · (−2) = −2 — підходить, і m = −3 · (1; −2). Решта не підходить: у (2; −1), (−6; −12), (3; 6) і (6; 3) відношення координат інші.

9. 1Б 2А 3В 4Д |a| = √(16 + 9) = 5 і |b| = √(1 + 4) = √5. a + b = (−3; 1), тому |a + b| = √(9 + 1) = √10. a − b = (−5; 5), тому |a − b| = √(25 + 25) = √50 = 5√2.

10. 1А 2В 3Г 4Б a · b = 2 · (−3) + (−1) · 4 = −6 − 4 = −10 a · c = 2 · 1 + (−1) · 2 = 0 — вектори a і c перпендикулярні. b · c = −3 · 1 + 4 · 2 = 5 a + c = (3; 1), тому (a + c) · b = 3 · (−3) + 1 · 4 = −5.

11. −3 У паралелограмі ABCD вектори AB і DC рівні. AB = (3 − (−2); 4 − 1) = (5; 3), тому D = C − AB = (6 − 5; −1 − 3) = (1; −4). Сума координат: 1 + (−4) = −3

12. −4 Умова колінеарності: x/8 = 2/x, звідси x² = 16 і x = 4 або x = −4. При x = 4: p(4; 2), q(8; 4) = 2p — вектори напрямлені однаково, не підходить. При x = −4: p(−4; 2), q(8; −4) = −2p — множник від’ємний, вектори протилежно напрямлені.

13. 1,5 Вектори перпендикулярні, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю. a · b = 4m + 3 · (−2) = 4m − 6 4m − 6 = 0, звідси m = 1,5

14. 7 Квадрат модуля дорівнює скалярному квадрату: |a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|². a · b = |a| · |b| · cos 60° = 3 · 5 · 1/2 = 7,5 |a + b|² = 9 + 15 + 25 = 49, тому |a + b| = 7.