Блок 7 · Тема 38 з 42

Тіла і поверхні обертання. Циліндр — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 63 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Тіла і поверхні обертання
Циліндр та його елементи
Практична частина

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Прямокутну трапецію обертають навколо прямої, що містить її бічну сторону, перпендикулярну до основ. Яке тіло утворюється?
- А циліндр
- Б конус
- В зрізаний конус
- Г куля
- Д циліндр і конус зі спільною основою
2одна правильна відповідь
Квадрат зі стороною 6 см обертають навколо прямої, що проходить через середини двох його протилежних сторін. Знайдіть об’єм утвореного тіла.
- А 18π см³
- Б 27π см³
- В 36π см³
- Г 54π см³
- Д 216π см³
3одна правильна відповідь
Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 48 см², а його висота — 8 см. Знайдіть площу основи циліндра.
- А 9 см²
- Б 3π см²
- В 6π см²
- Г 9π см²
- Д 36π см²
4одна правильна відповідь
Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з площиною основи кут 60°, а висота циліндра дорівнює 6√3 см. Знайдіть радіус основи.
- А 3 см
- Б 3√3 см
- В 6 см
- Г 9 см
- Д 18 см
5одна правильна відповідь
Радіус основи циліндра дорівнює 5 см, а висота — 10 см. Паралельно осі циліндра на відстані 3 см від неї проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу.
- А 30 см²
- Б 40 см²
- В 60 см²
- Г 80 см²
- Д 100 см²
6одна правильна відповідь
Циліндричний бак без кришки має радіус основи 5 дм і висоту 6 дм. Знайдіть площу його поверхні — бічної поверхні разом із дном.
- А 60π дм²
- Б 85π дм²
- В 110π дм²
- Г 120π дм²
- Д 160π дм²
7одна правильна відповідь
Об’єм циліндра дорівнює 45π см³, а висота — 5 см. Знайдіть діаметр основи циліндра.
- А 3 см
- Б 4,5 см
- В 6 см
- Г 9 см
- Д 18 см
8одна правильна відповідь
Радіус основи першого циліндра втричі більший, ніж радіус основи другого, а висота першого втричі менша, ніж висота другого. У скільки разів об’єм першого циліндра більший за об’єм другого?
- А об’єми рівні
- Б у 3 рази
- В у 6 разів
- Г у 9 разів
- Д у 27 разів
9на відповідність
Висота циліндра дорівнює 8 см, а радіус основи — 3 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А–Д). Довжини подано в сантиметрах, площі — у квадратних сантиметрах, об’єм — у кубічних.
- 1) площа осьового перерізу
- 2) діагональ осьового перерізу
- 3) площа бічної поверхні
- 4) об’єм циліндра
- А) 10
- Б) 48
- В) 48π
- Г) 66π
- Д) 72π
10на відповідність
Прямокутник ABCD зі сторонами AB = 3 см і BC = 5 см обертають спочатку навколо прямої AB, а потім навколо прямої BC. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) об’єм тіла, утвореного обертанням навколо AB, у см³
- 2) об’єм тіла, утвореного обертанням навколо BC, у см³
- 3) площа повної поверхні тіла, утвореного обертанням навколо AB, у см²
- 4) площа повної поверхні тіла, утвореного обертанням навколо BC, у см²
- А) 30π
- Б) 45π
- В) 48π
- Г) 75π
- Д) 80π
11коротка відповідь
Висота циліндра на 4 см більша за радіус його основи, а площа повної поверхні дорівнює 96π см². Знайдіть висоту циліндра (у см).
Висота в сантиметрах
12коротка відповідь
Каструля має форму циліндра з діаметром дна 20 см. У неї налили воду до висоти 15 см. Скільки літрів води в каструлі? Вважайте, що π = 3,14.
Об’єм у літрах
13коротка відповідь
Прямокутний аркуш паперу розміром 31,4 см × 20 см згорнули в бічну поверхню циліндра так, що сторона 31,4 см утворила коло основи, а краї зійшлися без накладання. Знайдіть радіус основи циліндра (у см). Вважайте, що π = 3,14.
Радіус у сантиметрах
14коротка відповідь
Металева труба завдовжки 2 м має зовнішній діаметр 10 см і внутрішній діаметр 8 см. Знайдіть об’єм металу труби (у см³). У відповідь запишіть значення V/π.
Значення V/π

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Тіла і поверхні обертання. Циліндр — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Прямокутну трапецію обертають навколо прямої, що містить її бічну сторону, перпендикулярну до основ. Яке тіло утворюється?

А) циліндр
Б) конус
В) зрізаний конус
Г) куля
Д) циліндр і конус зі спільною основою

Завдання 2. Квадрат зі стороною 6 см обертають навколо прямої, що проходить через середини двох його протилежних сторін. Знайдіть об’єм утвореного тіла.

А) 18π см³
Б) 27π см³
В) 36π см³
Г) 54π см³
Д) 216π см³

Завдання 3. Площа осьового перерізу циліндра дорівнює 48 см², а його висота — 8 см. Знайдіть площу основи циліндра.

А) 9 см²
Б) 3π см²
В) 6π см²
Г) 9π см²
Д) 36π см²

Завдання 4. Діагональ осьового перерізу циліндра утворює з площиною основи кут 60°, а висота циліндра дорівнює 6√3 см. Знайдіть радіус основи.

А) 3 см
Б) 3√3 см
В) 6 см
Г) 9 см
Д) 18 см

Завдання 5. Радіус основи циліндра дорівнює 5 см, а висота — 10 см. Паралельно осі циліндра на відстані 3 см від неї проведено переріз. Знайдіть площу цього перерізу.

А) 30 см²
Б) 40 см²
В) 60 см²
Г) 80 см²
Д) 100 см²

Завдання 6. Циліндричний бак без кришки має радіус основи 5 дм і висоту 6 дм. Знайдіть площу його поверхні — бічної поверхні разом із дном.

А) 60π дм²
Б) 85π дм²
В) 110π дм²
Г) 120π дм²
Д) 160π дм²

Завдання 7. Об’єм циліндра дорівнює 45π см³, а висота — 5 см. Знайдіть діаметр основи циліндра.

А) 3 см
Б) 4,5 см
В) 6 см
Г) 9 см
Д) 18 см

Завдання 8. Радіус основи першого циліндра втричі більший, ніж радіус основи другого, а висота першого втричі менша, ніж висота другого. У скільки разів об’єм першого циліндра більший за об’єм другого?

А) об’єми рівні
Б) у 3 рази
В) у 6 разів
Г) у 9 разів
Д) у 27 разів

Завдання 9. Висота циліндра дорівнює 8 см, а радіус основи — 3 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А–Д). Довжини подано в сантиметрах, площі — у квадратних сантиметрах, об’єм — у кубічних.

1) площа осьового перерізу
2) діагональ осьового перерізу
3) площа бічної поверхні
4) об’єм циліндра

А) 10
Б) 48
В) 48π
Г) 66π
Д) 72π

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Прямокутник ABCD зі сторонами AB = 3 см і BC = 5 см обертають спочатку навколо прямої AB, а потім навколо прямої BC. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).

1) об’єм тіла, утвореного обертанням навколо AB, у см³
2) об’єм тіла, утвореного обертанням навколо BC, у см³
3) площа повної поверхні тіла, утвореного обертанням навколо AB, у см²
4) площа повної поверхні тіла, утвореного обертанням навколо BC, у см²

А) 30π
Б) 45π
В) 48π
Г) 75π
Д) 80π

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Висота циліндра на 4 см більша за радіус його основи, а площа повної поверхні дорівнює 96π см². Знайдіть висоту циліндра (у см).

Відповідь:

Завдання 12. Каструля має форму циліндра з діаметром дна 20 см. У неї налили воду до висоти 15 см. Скільки літрів води в каструлі? Вважайте, що π = 3,14.

Відповідь:

Завдання 13. Прямокутний аркуш паперу розміром 31,4 см × 20 см згорнули в бічну поверхню циліндра так, що сторона 31,4 см утворила коло основи, а краї зійшлися без накладання. Знайдіть радіус основи циліндра (у см). Вважайте, що π = 3,14.

Відповідь:

Завдання 14. Металева труба завдовжки 2 м має зовнішній діаметр 10 см і внутрішній діаметр 8 см. Знайдіть об’єм металу труби (у см³). У відповідь запишіть значення V/π.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Г	Г	А	Г	Б	В	Б	1Б 2А 3В 4Д	1Г 2Б 3Д 4В	8	4,71	5	1800

1. В Бічна сторона, перпендикулярна до основ, лежить на осі обертання — вона стає висотою тіла. Кожна основа трапеції перпендикулярна до осі, тому описує круг: менша основа — менший круг, більша — більший. Похила бічна сторона описує поверхню між двома кругами різних радіусів — це зрізаний конус.

2. Г Вісь ділить квадрат на два прямокутники 3 см × 6 см, і кожна їхня точка описує коло навколо осі. Утворюється циліндр: висота — сторона квадрата, h = 6 см, радіус — половина сторони, r = 3 см. V = πr²h = π · 9 · 6 = 54π см³.

3. Г Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами 2r (діаметр основи) і h (висота). 2r · 8 = 48, звідси 2r = 6 см і r = 3 см. Площа основи: πr² = 9π см².

4. А Осьовий переріз — прямокутник зі сторонами 2r і h. Кут між діагоналлю та основою лежить між діагоналлю й діаметром. У прямокутному трикутнику tg 60° = h/(2r), тобто √3 = 6√3/(2r). Звідси 2r = 6 см і r = 3 см.

5. Г Переріз — прямокутник, одна сторона якого дорівнює висоті 10 см, а друга — хорді основи. Хорда віддалена від центра основи на 3 см. Половина хорди: √(5² − 3²) = √16 = 4 см, уся хорда — 8 см. Площа перерізу: 8 · 10 = 80 см².

6. Б Бічна поверхня: 2πrh = 2π · 5 · 6 = 60π дм². Кришки немає, тож додаємо лише одне дно: πr² = 25π дм². Разом: 60π + 25π = 85π дм².

7. В V = πr²h, тож πr² · 5 = 45π. r² = 9, r = 3 см. Діаметр удвічі більший за радіус: d = 6 см.

8. Б Нехай другий циліндр має радіус r і висоту h, тоді V₂ = πr²h. У першого радіус 3r і висота h/3: V₁ = π · (3r)² · h/3 = π · 9r² · h/3 = 3πr²h. Отже, V₁ : V₂ = 3.

9. 1Б 2А 3В 4Д Осьовий переріз — прямокутник 6 см × 8 см: площа 48 см², діагональ √(36 + 64) = 10 см. Бічна поверхня: 2πrh = 2π · 3 · 8 = 48π см². Об’єм: πr²h = π · 9 · 8 = 72π см³.

10. 1Г 2Б 3Д 4В Навколо AB: сторона AB лежить на осі, тож h = 3 см, а радіус — BC = 5 см. V = π · 25 · 3 = 75π, S = 2π · 5 · (5 + 3) = 80π. Навколо BC: h = 5 см, r = 3 см. V = π · 9 · 5 = 45π, S = 2π · 3 · (3 + 5) = 48π. Бічна поверхня в обох випадках однакова: 2π · 3 · 5 = 30π — це зайве значення.

11. 8 Нехай радіус r см, тоді висота r + 4 см. S повна = 2πr(r + h) = 2πr(2r + 4) = 96π, звідси r(2r + 4) = 48, тобто r² + 2r − 24 = 0. Корені: r = 4 і r = −6; радіус додатний, тож r = 4 см. Висота: 4 + 4 = 8 см.

12. 4,71 Радіус дна — половина діаметра: r = 10 см. V = πr²h = 3,14 · 100 · 15 = 4710 см³. 1 л = 1 дм³ = 1000 см³, тож 4710 см³ = 4,71 л.

13. 5 Розгортка бічної поверхні циліндра — прямокутник, одна сторона якого дорівнює довжині кола основи, а друга — висоті. Отже, 2πr = 31,4, тобто 2 · 3,14 · r = 31,4. r = 31,4 : 6,28 = 5 см.

14. 1800 Труба — це циліндр радіуса 5 см, з якого вийнято циліндр радіуса 4 см тієї самої довжини. Довжину переводимо в сантиметри: 2 м = 200 см. V = π · 5² · 200 − π · 4² · 200 = π · (25 − 16) · 200 = 1800π см³. V/π = 1800.