Блок 6 · Тема 31 з 42

Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 50 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Показникова функція: властивості і графік
Показникові рівняння
Комбіновані показникові рівняння

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Яка з наведених функцій спадає на всій області визначення?
- А y = 4ˣ
- Б y = (3/2)ˣ
- В y = (√2)ˣ
- Г y = (2/5)ˣ
- Д y = (π/3)ˣ
2одна правильна відповідь
Графік функції y = aˣ проходить через точку A(−2; 9). Знайдіть основу a.
- А 1/9
- Б 1/3
- В 3
- Г 9
- Д 81
3одна правильна відповідь
Відомо, що m < n. Яка з нерівностей є правильною?
- А 0,6ᵐ < 0,6ⁿ
- Б 3ᵐ > 3ⁿ
- В (√5)ᵐ > (√5)ⁿ
- Г 2⁻ᵐ < 2⁻ⁿ
- Д (1/2)ᵐ > (1/2)ⁿ
4одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 3²ˣ⁻¹ = 1/27.
- А −2
- Б −1,5
- В −1
- Г 1
- Д 2
5одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 25ˣ = (1/5)ˣ⁻⁶.
- А −6
- Б −2
- В 2
- Г 3
- Д 6
6одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 2ˣ⁺³ − 2ˣ = 56.
- А 2
- Б 3
- В 4
- Г 7
- Д 8
7одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 4ˣ − 2ˣ⁺¹ − 8 = 0.
- А 2
- Б 4
- В −1; 2
- Г −2; 4
- Д коренів немає
8одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність (1/3)ˣ⁻¹ > 9.
- А (−∞; −3)
- Б (−∞; −1)
- В (−∞; 3)
- Г (−1; +∞)
- Д (3; +∞)
9на відповідність
Установіть відповідність між показниковою нерівністю (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).
- 1) 2ˣ > 16
- 2) (1/2)ˣ ⩾ 4
- 3) 3ˣ < 1
- 4) 7ˣ > −7
- А) (−∞; −2]
- Б) [−2; +∞)
- В) (−∞; 0)
- Г) (4; +∞)
- Д) (−∞; +∞)
10на відповідність
Установіть відповідність між показниковою функцією (1–4) та множиною її значень (А–Д).
- 1) y = 5ˣ⁻³
- 2) y = 5ˣ − 3
- 3) y = −5ˣ
- 4) y = 5ˣ + 2
- А) (−∞; 0)
- Б) (0; +∞)
- В) (2; +∞)
- Г) (−3; +∞)
- Д) (3; +∞)
11коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння 4ˣ⁻¹ = 32.
Значення x
12коротка відповідь
Кількість бактерій у чашці Петрі подвоюється щогодини. На початку спостереження в чашці було 300 бактерій. Через скільки годин їх стане 9600?
Кількість годин
13коротка відповідь
Знайдіть суму коренів рівняння 9ˣ − 12 · 3ˣ + 27 = 0.
Сума коренів
14коротка відповідь
Скільки цілих чисел задовольняє нерівність 1/8 ⩽ 4ˣ < 32?
Кількість цілих чисел

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Показникова функція. Показникові рівняння і нерівності — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Яка з наведених функцій спадає на всій області визначення?

А) y = 4ˣ
Б) y = (3/2)ˣ
В) y = (√2)ˣ
Г) y = (2/5)ˣ
Д) y = (π/3)ˣ

Завдання 2. Графік функції y = aˣ проходить через точку A(−2; 9). Знайдіть основу a.

А) 1/9
Б) 1/3
В) 3
Г) 9
Д) 81

Завдання 3. Відомо, що m < n. Яка з нерівностей є правильною?

А) 0,6ᵐ < 0,6ⁿ
Б) 3ᵐ > 3ⁿ
В) (√5)ᵐ > (√5)ⁿ
Г) 2⁻ᵐ < 2⁻ⁿ
Д) (1/2)ᵐ > (1/2)ⁿ

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння 3²ˣ⁻¹ = 1/27.

А) −2
Б) −1,5
В) −1
Г) 1
Д) 2

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 25ˣ = (1/5)ˣ⁻⁶.

А) −6
Б) −2
В) 2
Г) 3
Д) 6

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння 2ˣ⁺³ − 2ˣ = 56.

А) 2
Б) 3
В) 4
Г) 7
Д) 8

Завдання 7. Розв’яжіть рівняння 4ˣ − 2ˣ⁺¹ − 8 = 0.

А) 2
Б) 4
В) −1; 2
Г) −2; 4
Д) коренів немає

Завдання 8. Розв’яжіть нерівність (1/3)ˣ⁻¹ > 9.

А) (−∞; −3)
Б) (−∞; −1)
В) (−∞; 3)
Г) (−1; +∞)
Д) (3; +∞)

Завдання 9. Установіть відповідність між показниковою нерівністю (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).

1) 2ˣ > 16
2) (1/2)ˣ ⩾ 4
3) 3ˣ < 1
4) 7ˣ > −7

А) (−∞; −2]
Б) [−2; +∞)
В) (−∞; 0)
Г) (4; +∞)
Д) (−∞; +∞)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між показниковою функцією (1–4) та множиною її значень (А–Д).

1) y = 5ˣ⁻³
2) y = 5ˣ − 3
3) y = −5ˣ
4) y = 5ˣ + 2

А) (−∞; 0)
Б) (0; +∞)
В) (2; +∞)
Г) (−3; +∞)
Д) (3; +∞)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Розв’яжіть рівняння 4ˣ⁻¹ = 32.

Відповідь:

Завдання 12. Кількість бактерій у чашці Петрі подвоюється щогодини. На початку спостереження в чашці було 300 бактерій. Через скільки годин їх стане 9600?

Відповідь:

Завдання 13. Знайдіть суму коренів рівняння 9ˣ − 12 · 3ˣ + 27 = 0.

Відповідь:

Завдання 14. Скільки цілих чисел задовольняє нерівність 1/8 ⩽ 4ˣ < 32?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Б	Д	В	В	Б	А	Б	1Г 2А 3В 4Д	1Б 2Г 3А 4В	3,5	5	3	4

1. Г Показникова функція y = aˣ спадає, якщо 0 < a < 1, і зростає, якщо a > 1. Порівнюємо основи з одиницею: 4 > 1, 3/2 = 1,5 > 1, √2 ≈ 1,41 > 1, а π/3 > 1, бо π > 3. Лише 2/5 = 0,4 менше за 1, тому спадає тільки y = (2/5)ˣ.

2. Б Підставляємо координати точки у формулу: a⁻² = 9. Степінь з від’ємним показником — це обернене число: a⁻² = 1/a², тому 1/a² = 9, тобто a² = 1/9. Основа показникової функції додатна, отже a = 1/3.

3. Д Для основи a > 1 функція aˣ зростає: менший показник дає менший степінь. Для 0 < a < 1 вона спадає: менший показник дає більший степінь. Основи 3 і √5 більші за 1, тому 3ᵐ < 3ⁿ і (√5)ᵐ < (√5)ⁿ — варіанти Б і В хибні. Основа 0,6 менша за 1, тому 0,6ᵐ > 0,6ⁿ — варіант А хибний. Так само 2⁻ˣ = (1/2)ˣ спадає, тож 2⁻ᵐ > 2⁻ⁿ — хибний і варіант Г. Для основи 1/2 з m < n випливає (1/2)ᵐ > (1/2)ⁿ — це правильна нерівність.

4. В Записуємо праву частину як степінь трійки: 1/27 = 1/3³ = 3⁻³. Маємо 3²ˣ⁻¹ = 3⁻³; основи однакові, тому рівні й показники: 2x − 1 = −3. 2x = −2, звідси x = −1.

5. В Зводимо обидві частини до основи 5: 25ˣ = (5²)ˣ = 5²ˣ, а (1/5)ˣ⁻⁶ = (5⁻¹)ˣ⁻⁶ = 5⁶⁻ˣ. Прирівнюємо показники: 2x = 6 − x. 3x = 6, звідси x = 2.

6. Б Розкладаємо перший степінь: 2ˣ⁺³ = 2ˣ · 2³ = 8 · 2ˣ. Виносимо 2ˣ за дужки: 2ˣ · (8 − 1) = 56, тобто 7 · 2ˣ = 56. 2ˣ = 8 = 2³, отже x = 3.

7. А Позначимо t = 2ˣ, де t > 0. Тоді 4ˣ = t², а 2ˣ⁺¹ = 2t. Дістаємо t² − 2t − 8 = 0, звідки t = 4 або t = −2. Значення t = −2 не підходить, бо 2ˣ завжди додатне. З 2ˣ = 4 маємо x = 2.

8. Б Записуємо 9 як степінь з основою 1/3: 9 = 3² = (1/3)⁻². Маємо (1/3)ˣ⁻¹ > (1/3)⁻². Основа 1/3 менша за 1, функція спадає, тому знак нерівності змінюється: x − 1 < −2. Звідси x < −1, тобто x ∈ (−∞; −1).

9. 1Г 2А 3В 4Д 2ˣ > 2⁴, основа 2 > 1, тому x > 4 — це Г. (1/2)ˣ ⩾ (1/2)⁻², основа 1/2 < 1, тому знак змінюється: x ⩽ −2 — це А. 3ˣ < 3⁰, основа 3 > 1, тому x < 0 — це В. 7ˣ > 0 при будь-якому x, тому 7ˣ > −7 виконується завжди: розв’язки — усі дійсні числа, це Д.

10. 1Б 2Г 3А 4В Множина значень функції y = 5ˣ — проміжок (0; +∞). y = 5ˣ⁻³ — зсув графіка вздовж осі Ox, він не змінює множини значень: (0; +∞) — Б. y = 5ˣ − 3 — зсув на 3 одиниці вниз: (−3; +∞) — Г; y = 5ˣ + 2 — зсув на 2 одиниці вгору: (2; +∞) — В. y = −5ˣ — симетрія відносно осі Ox: (−∞; 0) — А.

11. 3,5 Зводимо обидві частини до основи 2: 4ˣ⁻¹ = (2²)ˣ⁻¹ = 2²ˣ⁻², а 32 = 2⁵. Прирівнюємо показники: 2x − 2 = 5. 2x = 7, x = 3,5.

12. 5 Через t годин бактерій буде 300 · 2ᵗ. Складаємо рівняння 300 · 2ᵗ = 9600, звідки 2ᵗ = 9600 : 300 = 32. 32 = 2⁵, отже t = 5.

13. 3 Позначимо t = 3ˣ, t > 0. Тоді 9ˣ = t², і рівняння набуває вигляду t² − 12t + 27 = 0. Його корені t = 3 і t = 9 — обидва додатні. 3ˣ = 3 дає x = 1, а 3ˣ = 9 дає x = 2. Сума коренів: 1 + 2 = 3.

14. 4 Зводимо всі три частини до основи 2: 2⁻³ ⩽ 2²ˣ < 2⁵. Основа 2 > 1, тому знаки зберігаються: −3 ⩽ 2x < 5, тобто −1,5 ⩽ x < 2,5. Цілі числа на цьому проміжку: −1, 0, 1, 2 — їх чотири.