Блок 5 · Тема 26 з 42

Ірраціональні рівняння — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 59 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Найпростіші ірраціональні рівняння
Рівняння, що містять два і більше коренів
Практична частина

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x − 3) = 5.
- А 8
- Б 13
- В 22
- Г 28
- Д 2
2одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння ∛(2x + 1) = −3.
- А −14
- Б −5
- В 13
- Г 4
- Д коренів немає
3одна правильна відповідь
Про яке з рівнянь можна одразу сказати, що воно не має коренів?
- А √(x − 4) = 0
- Б ∛(x − 1) = −2
- В √(x + 7) = −2
- Г √(5 − x) = 3
- Д √(x² + 1) = 1
4одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x² − 9) = 4.
- А 5
- Б −5; 5
- В −√13; √13
- Г −√7; √7
- Д 25
5одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння √(10 − 3x) = x − 2.
- А −2; 3
- Б −2
- В 3
- Г 2; −3
- Д коренів немає
6одна правильна відповідь
Скільки коренів має рівняння (x + 4)(x − 6)√(x − 1) = 0?
- А 1
- Б 2
- В 3
- Г 4
- Д жодного
7одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння √(2x + 5) = √(x − 4).
- А −9
- Б 9
- В −1
- Г −1/3
- Д коренів немає
8одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x + 1) · √(x − 2) = 2.
- А 3
- Б −2; 3
- В −2
- Г 2; −3
- Д 2
9на відповідність
Установіть відповідність між рівнянням із коренем n-го степеня (1–4) та його розв’язком (А–Д).
- 1) √(x + 1) = 3
- 2) ∛(x − 2) = 2
- 3) √(2x − 3) = √(x + 1)
- 4) ⁴√(x + 4) = 2
- А) 4
- Б) 8
- В) 10
- Г) 12
- Д) 2
10на відповідність
Кожне з рівнянь (1–4) має рівно один корінь. Установіть відповідність між рівнянням та його коренем (А–Д).
- 1) √(x + 2) = x
- 2) √(3 − 2x) = −x
- 3) √(x + 11) = x − 1
- 4) x + √x = 6
- А) −3
- Б) −1
- В) 2
- Г) 4
- Д) 5
11коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння x − √(x + 1) = 5. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.
Корінь або сума коренів
12коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x + 5) + √(x − 3) = 4.
Значення x
13коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x + 2) + √(x − 1) = √(4x + 1).
Значення x
14коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння √(x − 1) + ⁴√(x − 1) = 6.
Значення x

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Ірраціональні рівняння — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Розв’яжіть рівняння √(x − 3) = 5.

А) 8
Б) 13
В) 22
Г) 28
Д) 2

Завдання 2. Розв’яжіть рівняння ∛(2x + 1) = −3.

А) −14
Б) −5
В) 13
Г) 4
Д) коренів немає

Завдання 3. Про яке з рівнянь можна одразу сказати, що воно не має коренів?

А) √(x − 4) = 0
Б) ∛(x − 1) = −2
В) √(x + 7) = −2
Г) √(5 − x) = 3
Д) √(x² + 1) = 1

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння √(x² − 9) = 4.

А) 5
Б) −5; 5
В) −√13; √13
Г) −√7; √7
Д) 25

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння √(10 − 3x) = x − 2.

А) −2; 3
Б) −2
В) 3
Г) 2; −3
Д) коренів немає

Завдання 6. Скільки коренів має рівняння (x + 4)(x − 6)√(x − 1) = 0?

А) 1
Б) 2
В) 3
Г) 4
Д) жодного

Завдання 7. Розв’яжіть рівняння √(2x + 5) = √(x − 4).

А) −9
Б) 9
В) −1
Г) −1/3
Д) коренів немає

Завдання 8. Розв’яжіть рівняння √(x + 1) · √(x − 2) = 2.

А) 3
Б) −2; 3
В) −2
Г) 2; −3
Д) 2

Завдання 9. Установіть відповідність між рівнянням із коренем n-го степеня (1–4) та його розв’язком (А–Д).

1) √(x + 1) = 3
2) ∛(x − 2) = 2
3) √(2x − 3) = √(x + 1)
4) ⁴√(x + 4) = 2

А) 4
Б) 8
В) 10
Г) 12
Д) 2

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Кожне з рівнянь (1–4) має рівно один корінь. Установіть відповідність між рівнянням та його коренем (А–Д).

1) √(x + 2) = x
2) √(3 − 2x) = −x
3) √(x + 11) = x − 1
4) x + √x = 6

А) −3
Б) −1
В) 2
Г) 4
Д) 5

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Розв’яжіть рівняння x − √(x + 1) = 5. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.

Відповідь:

Завдання 12. Розв’яжіть рівняння √(x + 5) + √(x − 3) = 4.

Відповідь:

Завдання 13. Розв’яжіть рівняння √(x + 2) + √(x − 1) = √(4x + 1).

Відповідь:

Завдання 14. Розв’яжіть рівняння √(x − 1) + ⁴√(x − 1) = 6.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	А	В	Б	В	Б	Д	А	1Б 2В 3А 4Г	1В 2А 3Д 4Г	8	4	2	17

1. Г Права частина невід’ємна, тому підносимо обидві частини до квадрата: x − 3 = 25. x = 25 + 3 = 28

2. А Корінь непарного степеня може бути від’ємним, тому підносимо обидві частини до куба: 2x + 1 = (−3)³ = −27. 2x = −28, x = −14

3. В Арифметичний квадратний корінь завжди невід’ємний, тож √(x + 7) не може дорівнювати −2. Решта рівнянь має корені: x = 4, x = −7, x = −4 і x = 0 відповідно.

4. Б Підносимо до квадрата: x² − 9 = 16. x² = 25, звідси x = 5 або x = −5. Обидва числа дають √(25 − 9) = √16 = 4, тож обидва є коренями.

5. В Підносимо до квадрата: 10 − 3x = x² − 4x + 4, тобто x² − x − 6 = 0. Корені квадратного рівняння: x = 3 і x = −2. Перевірка: при x = 3 маємо √1 = 1 = 3 − 2; при x = −2 маємо √16 = 4, а x − 2 = −4, тож −2 — сторонній корінь.

6. Б Область допустимих значень: x − 1 ⩾ 0, тобто x ⩾ 1. Добуток дорівнює нулю, коли один із множників нуль: x = −4, x = 6 або x = 1. x = −4 не входить в ОДЗ — √(−5) не існує. Лишаються два корені: 1 і 6.

7. Д Прирівнюємо підкореневі вирази: 2x + 5 = x − 4, звідси x = −9. Перевіряємо ОДЗ: при x = −9 маємо x − 4 = −13 < 0, тож √(x − 4) не існує. Інших кандидатів немає, отже, рівняння коренів не має.

8. А ОДЗ: x + 1 ⩾ 0 і x − 2 ⩾ 0, тобто x ⩾ 2. На ОДЗ √(x + 1) · √(x − 2) = √((x + 1)(x − 2)), тому (x + 1)(x − 2) = 4, x² − x − 6 = 0. x = 3 або x = −2; число −2 не входить в ОДЗ, лишається x = 3.

9. 1Б 2В 3А 4Г x + 1 = 3² = 9, тому x = 8. x − 2 = 2³ = 8, тому x = 10. 2x − 3 = x + 1, тому x = 4; перевірка: √5 = √5. x + 4 = 2⁴ = 16, тому x = 12.

10. 1В 2А 3Д 4Г x + 2 = x² дає x = 2 або x = −1; при x = −1 права частина від’ємна, лишається 2. 3 − 2x = x² дає x = 1 або x = −3; при x = 1 права частина −x від’ємна, лишається −3. x + 11 = (x − 1)² дає x = 5 або x = −2; при x = −2 права частина від’ємна, лишається 5. √x = 6 − x дає x = 4 або x = 9; при x = 9 права частина від’ємна, лишається 4.

11. 8 Відокремлюємо корінь: √(x + 1) = x − 5, причому x − 5 ⩾ 0. Підносимо до квадрата: x + 1 = x² − 10x + 25, тобто x² − 11x + 24 = 0, звідси x = 3 або x = 8. x = 3 не задовольняє умову x ⩾ 5: √4 = 2, а 3 − 5 = −2. Корінь один — 8.

12. 4 ОДЗ: x ⩾ 3. Підносимо до квадрата: 2x + 2 + 2√((x + 5)(x − 3)) = 16, звідки √((x + 5)(x − 3)) = 7 − x. Ще раз до квадрата (за умови x ⩽ 7): x² + 2x − 15 = 49 − 14x + x², тому 16x = 64 і x = 4. Перевірка: √9 + √1 = 3 + 1 = 4.

13. 2 ОДЗ: x ⩾ 1. Підносимо до квадрата: 2x + 1 + 2√((x + 2)(x − 1)) = 4x + 1, тобто √((x + 2)(x − 1)) = x. Знову до квадрата: x² + x − 2 = x², звідси x = 2. Перевірка: √4 + √1 = 3 і √9 = 3.

14. 17 Позначимо t = ⁴√(x − 1), де t ⩾ 0; тоді √(x − 1) = t². Маємо t² + t − 6 = 0, звідси t = 2 або t = −3; від’ємне значення відкидаємо. ⁴√(x − 1) = 2, тому x − 1 = 2⁴ = 16 і x = 17.