Блок 6 · Тема 35 з 42

Піраміда — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 33 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Елементи піраміди. Задачі на їх знаходження
Площа бічної та повної поверхні піраміди
Об’єм піраміди

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Піраміда має 16 ребер. Скільки вершин має ця піраміда?
- А 8
- Б 9
- В 10
- Г 16
- Д 17
2одна правильна відповідь
Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть апофему піраміди.
- А 4 см
- Б 2√7 см
- В 6 см
- Г 8 см
- Д 2√34 см
3одна правильна відповідь
Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.
- А 4 см
- Б 4√2 см
- В 4√3 см
- Г 8√3 см
- Д 16 см
4одна правильна відповідь
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.
- А 5 см
- Б 5√3 см
- В 10 см
- Г 5√6 см
- Д 10√3 см
5одна правильна відповідь
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а апофема — 7 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
- А 112 см²
- Б 144 см²
- В 176 см²
- Г 224 см²
- Д 288 см²
6одна правильна відповідь
Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, а висота піраміди дорівнює 5 см. Знайдіть об’єм піраміди.
- А 10 см³
- Б 20 см³
- В 30 см³
- Г 35 см³
- Д 60 см³
7одна правильна відповідь
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 4 см. Знайдіть об’єм піраміди.
- А 6√3 см³
- Б 9√3 см³
- В 12√3 см³
- Г 18√3 см³
- Д 36√3 см³
8одна правильна відповідь
Усі ребра правильного тетраедра дорівнюють 2 см. Знайдіть площу його повної поверхні.
- А √3 см²
- Б 3√3 см²
- В 4√3 см²
- Г 8√3 см²
- Д 16√3 см²
9на відповідність
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а висота — 3 см. Установіть відповідність між елементом піраміди (1–4) та його довжиною (А–Д).
- 1) апофема
- 2) бічне ребро
- 3) діагональ основи
- 4) проекція бічного ребра на площину основи
- А) 4 см
- Б) 5 см
- В) 4√2 см
- Г) √41 см
- Д) 8√2 см
10на відповідність
Установіть відповідність між правильною пірамідою (1–4) та площею її бічної поверхні (А–Д).
- 1) чотирикутна, сторона основи 4 см, апофема 5 см
- 2) трикутна, сторона основи 6 см, апофема 4 см
- 3) шестикутна, сторона основи 2 см, апофема 5 см
- 4) трикутна, усі ребра дорівнюють 4 см
- А) 12√3 см²
- Б) 30 см²
- В) 36 см²
- Г) 40 см²
- Д) 80 см²
11коротка відповідь
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6√3 см, а висота піраміди — 8 см. Знайдіть довжину бічного ребра (у см).
Довжина в сантиметрах
12коротка відповідь
Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
Площа бічної поверхні в см²
13коротка відповідь
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, а апофема — 13 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди (у см²).
Площа повної поверхні в см²
14коротка відповідь
Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см, а кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).
Об’єм у кубічних сантиметрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Піраміда — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Піраміда має 16 ребер. Скільки вершин має ця піраміда?

А) 8
Б) 9
В) 10
Г) 16
Д) 17

Завдання 2. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть апофему піраміди.

А) 4 см
Б) 2√7 см
В) 6 см
Г) 8 см
Д) 2√34 см

Завдання 3. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.

А) 4 см
Б) 4√2 см
В) 4√3 см
Г) 8√3 см
Д) 16 см

Завдання 4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.

А) 5 см
Б) 5√3 см
В) 10 см
Г) 5√6 см
Д) 10√3 см

Завдання 5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а апофема — 7 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

А) 112 см²
Б) 144 см²
В) 176 см²
Г) 224 см²
Д) 288 см²

Завдання 6. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, а висота піраміди дорівнює 5 см. Знайдіть об’єм піраміди.

А) 10 см³
Б) 20 см³
В) 30 см³
Г) 35 см³
Д) 60 см³

Завдання 7. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 4 см. Знайдіть об’єм піраміди.

А) 6√3 см³
Б) 9√3 см³
В) 12√3 см³
Г) 18√3 см³
Д) 36√3 см³

Завдання 8. Усі ребра правильного тетраедра дорівнюють 2 см. Знайдіть площу його повної поверхні.

А) √3 см²
Б) 3√3 см²
В) 4√3 см²
Г) 8√3 см²
Д) 16√3 см²

Завдання 9. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а висота — 3 см. Установіть відповідність між елементом піраміди (1–4) та його довжиною (А–Д).

1) апофема
2) бічне ребро
3) діагональ основи
4) проекція бічного ребра на площину основи

А) 4 см
Б) 5 см
В) 4√2 см
Г) √41 см
Д) 8√2 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між правильною пірамідою (1–4) та площею її бічної поверхні (А–Д).

1) чотирикутна, сторона основи 4 см, апофема 5 см
2) трикутна, сторона основи 6 см, апофема 4 см
3) шестикутна, сторона основи 2 см, апофема 5 см
4) трикутна, усі ребра дорівнюють 4 см

А) 12√3 см²
Б) 30 см²
В) 36 см²
Г) 40 см²
Д) 80 см²

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6√3 см, а висота піраміди — 8 см. Знайдіть довжину бічного ребра (у см).

Відповідь:

Завдання 12. Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²).

Відповідь:

Завдання 13. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, а апофема — 13 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди (у см²).

Відповідь:

Завдання 14. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см, а кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Б	Г	В	Б	В	Б	А	В	1Б 2Г 3Д 4В	1Г 2В 3Б 4А	10	48	360	1536

1. Б У n-кутної піраміди n ребер основи і n бічних ребер — разом 2n. 2n = 16, тому n = 8: в основі восьмикутник. Вершин: 8 вершин основи і ще вершина піраміди — 9.

2. Г Бічна грань — рівнобедрений трикутник з бічними сторонами 10 см і основою 12 см. Апофема — висота цієї грані, проведена до сторони основи; вона ділить сторону навпіл. За теоремою Піфагора: √(10² − 6²) = √64 = 8 см.

3. В Висота піраміди, бічне ребро і його проекція на основу утворюють прямокутний трикутник, гіпотенуза якого — бічне ребро. Висота лежить проти кута 60°: h = 8 · sin 60° = 8 · √3/2. h = 4√3 см.

4. Б Кут нахилу бічної грані — це кут між апофемою і відрізком від центра квадрата до середини сторони. Цей відрізок дорівнює половині сторони: 10 : 2 = 5 см. З прямокутного трикутника: h = 5 · tg 60° = 5√3 см.

5. В Площа бічної поверхні правильної піраміди: S_біч = ½ · P_осн · l = ½ · 32 · 7 = 112 см². Площа основи — квадрата: 8² = 64 см². S_повн = 112 + 64 = 176 см².

6. Б Площа основи: 3 · 4 = 12 см². Об’єм піраміди: V = ⅓ · S_осн · h = ⅓ · 12 · 5 = 20 см³.

7. А Основа висоти — центр рівностороннього трикутника; відстань від нього до вершини основи — радіус описаного кола R = 6/√3 = 2√3 см. Висота піраміди: h = √(4² − (2√3)²) = √(16 − 12) = 2 см. Площа основи: (√3/4) · 6² = 9√3 см². V = ⅓ · 9√3 · 2 = 6√3 см³.

8. В Правильний тетраедр має чотири грані — рівносторонні трикутники зі стороною 2 см. Площа однієї грані: (√3/4) · 2² = √3 см². S = 4 · √3 = 4√3 см².

9. 1Б 2Г 3Д 4В Від центра квадрата до середини сторони 8 : 2 = 4 см, тому апофема дорівнює √(3² + 4²) = 5 см — Б. Діагональ основи: 8√2 см — Д; її половина 4√2 см — це проекція бічного ребра — В. Бічне ребро: √(3² + (4√2)²) = √(9 + 32) = √41 см — Г.

10. 1Г 2В 3Б 4А Для правильної піраміди S_біч = ½ · P_осн · l, де l — апофема. Чотирикутна: ½ · 16 · 5 = 40 см² — Г; трикутна: ½ · 18 · 4 = 36 см² — В. Шестикутна: ½ · 12 · 5 = 30 см² — Б. Якщо всі ребра по 4 см, бічні грані — рівносторонні трикутники: 3 · (√3/4) · 4² = 12√3 см² — А.

11. 10 Основа висоти — центр правильного трикутника. Відстань від нього до вершини — радіус описаного кола R = a/√3 = 6√3/√3 = 6 см. Бічне ребро — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами h = 8 см і R = 6 см. √(8² + 6²) = √100 = 10 см.

12. 48 Якщо всі бічні грані нахилені під одним кутом, висота падає в центр вписаного кола основи, а висоти всіх бічних граней рівні. Гіпотенуза основи: √(6² + 8²) = 10 см, радіус вписаного кола r = (6 + 8 − 10) : 2 = 2 см. Висота бічної грані l = r : cos 60° = 2 : ½ = 4 см. S_біч = ½ · P_осн · l = ½ · 24 · 4 = 48 см².

13. 360 Висота, апофема і відрізок від центра основи до середини сторони утворюють прямокутний трикутник: √(13² − 12²) = 5 см. Сторона основи вдвічі більша: 10 см, площа основи 100 см². S_біч = ½ · 40 · 13 = 260 см². S_повн = 260 + 100 = 360 см².

14. 1536 Рівні бічні ребра означають, що висота падає в центр описаного кола основи — точку перетину діагоналей прямокутника. Діагональ основи √(12² + 16²) = 20 см, її половина — 10 см. Висота: √(26² − 10²) = √576 = 24 см. V = ⅓ · 12 · 16 · 24 = 1536 см³.