Блок 7 · Тема 37 з 42

Проміжки монотонності та екстремуми функції — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 63 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Проміжки монотонності та екстремуми функції
Дослідження функції за допомогою похідної та побудова її графіка
Найбільше і найменше значення функції на проміжку

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, на якому функція f(x) = x³ − 12x спадає.
- А (−∞; −2]
- Б [−2√3; 2√3]
- В [−2; 2]
- Г (−∞; 4]
- Д [2; +∞)
2одна правильна відповідь
Знайдіть точку мінімуму функції f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4.
- А −23
- Б −1
- В 1
- Г 3
- Д 9
3одна правильна відповідь
Похідна функції f має вигляд f′(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 5). Скільки точок екстремуму має функція f?
- А 0
- Б 1
- В 2
- Г 3
- Д 4
4одна правильна відповідь
Яка з наведених функцій зростає на всій числовій прямій?
- А y = x² + 2x
- Б y = x³ − 3x
- В y = 5 − 2x
- Г y = 1 − x³
- Д y = x³ + 3x − 1
5одна правильна відповідь
Скільки коренів має рівняння x³ − 3x = 2?
- А один
- Б два
- В три
- Г жодного
- Д безліч
6одна правильна відповідь
Знайдіть найбільше значення функції f(x) = x³ − 3x + 2 на відрізку [0; 2].
- А 0
- Б 1
- В 2
- Г 4
- Д 7
7одна правильна відповідь
Яке з тверджень про функцію f(x) = x³ − 6x² + 9x правильне?
- А x = 3 — точка максимуму функції
- Б найбільше значення функції дорівнює 4
- В графік функції не має спільних точок з віссю абсцис
- Г функція має три точки екстремуму
- Д функція спадає на проміжку [1; 3]
8одна правильна відповідь
Похідна функції f дорівнює f′(x) = (x − 3)(x + 1). На якому з проміжків функція f зростає?
- А (−∞; −1]
- Б [−3; 1]
- В [−1; 3]
- Г (−∞; 3]
- Д [−1; +∞)
9на відповідність
Установіть відповідність між функцією (1–4) та її точкою максимуму (А–Д).
- 1) y = 6x − x²
- 2) y = x³ − 3x
- 3) y = 12x − x³
- 4) y = x³ + 3x²
- А) −2
- Б) −1
- В) 1
- Г) 2
- Д) 3
10на відповідність
Для функції f(x) = x⁴ − 8x² + 3 установіть відповідність між характеристикою (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) точка максимуму
- 2) додатна точка мінімуму
- 3) значення функції в точці максимуму
- 4) найменше значення функції
- А) −13
- Б) −2
- В) 0
- Г) 2
- Д) 3
11коротка відповідь
Знайдіть довжину проміжку спадання функції f(x) = x³ − 3x² − 24x + 7.
Довжина проміжку
12коротка відповідь
Знайдіть найменше значення функції f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1 на відрізку [−1; 2].
Найменше значення функції
13коротка відповідь
З квадратного аркуша картону зі стороною 24 см у кутах вирізають чотири однакові квадрати, а краї, що залишилися, загинають догори — виходить відкрита коробка. Яким є найбільший можливий об’єм такої коробки (у см³)?
Об’єм у кубічних сантиметрах
14коротка відповідь
Функція f(x) = x³ + ax² + 24x має точку мінімуму x = 4. Знайдіть значення функції в її точці максимуму.
Значення функції

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Проміжки монотонності та екстремуми функції — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Укажіть проміжок, на якому функція f(x) = x³ − 12x спадає.

А) (−∞; −2]
Б) [−2√3; 2√3]
В) [−2; 2]
Г) (−∞; 4]
Д) [2; +∞)

Завдання 2. Знайдіть точку мінімуму функції f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4.

А) −23
Б) −1
В) 1
Г) 3
Д) 9

Завдання 3. Похідна функції f має вигляд f′(x) = (x + 2)(x − 1)²(x − 5). Скільки точок екстремуму має функція f?

А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 3
Д) 4

Завдання 4. Яка з наведених функцій зростає на всій числовій прямій?

А) y = x² + 2x
Б) y = x³ − 3x
В) y = 5 − 2x
Г) y = 1 − x³
Д) y = x³ + 3x − 1

Завдання 5. Скільки коренів має рівняння x³ − 3x = 2?

А) один
Б) два
В) три
Г) жодного
Д) безліч

Завдання 6. Знайдіть найбільше значення функції f(x) = x³ − 3x + 2 на відрізку [0; 2].

А) 0
Б) 1
В) 2
Г) 4
Д) 7

Завдання 7. Яке з тверджень про функцію f(x) = x³ − 6x² + 9x правильне?

А) x = 3 — точка максимуму функції
Б) найбільше значення функції дорівнює 4
В) графік функції не має спільних точок з віссю абсцис
Г) функція має три точки екстремуму
Д) функція спадає на проміжку [1; 3]

Завдання 8. Похідна функції f дорівнює f′(x) = (x − 3)(x + 1). На якому з проміжків функція f зростає?

А) (−∞; −1]
Б) [−3; 1]
В) [−1; 3]
Г) (−∞; 3]
Д) [−1; +∞)

Завдання 9. Установіть відповідність між функцією (1–4) та її точкою максимуму (А–Д).

1) y = 6x − x²
2) y = x³ − 3x
3) y = 12x − x³
4) y = x³ + 3x²

А) −2
Б) −1
В) 1
Г) 2
Д) 3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Для функції f(x) = x⁴ − 8x² + 3 установіть відповідність між характеристикою (1–4) та її значенням (А–Д).

1) точка максимуму
2) додатна точка мінімуму
3) значення функції в точці максимуму
4) найменше значення функції

А) −13
Б) −2
В) 0
Г) 2
Д) 3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Знайдіть довжину проміжку спадання функції f(x) = x³ − 3x² − 24x + 7.

Відповідь:

Завдання 12. Знайдіть найменше значення функції f(x) = 2x³ + 3x² − 12x + 1 на відрізку [−1; 2].

Відповідь:

Завдання 13. З квадратного аркуша картону зі стороною 24 см у кутах вирізають чотири однакові квадрати, а краї, що залишилися, загинають догори — виходить відкрита коробка. Яким є найбільший можливий об’єм такої коробки (у см³)?

Відповідь:

Завдання 14. Функція f(x) = x³ + ax² + 24x має точку мінімуму x = 4. Знайдіть значення функції в її точці максимуму.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Г	В	Д	Б	Г	Д	А	1Д 2Б 3Г 4А	1В 2Г 3Д 4А	6	−6	1024	20

1. В Знаходимо похідну: f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Нулі похідної — x = −2 і x = 2. Між ними f′(x) < 0, а зовні f′(x) > 0. Функція спадає на проміжку, де f′(x) < 0, разом із його кінцями: [−2; 2].

2. Г f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3). Критичні точки: x = −1 і x = 3. Знаки похідної: «+» до −1, «−» між −1 і 3, «+» після 3. У точці x = 3 похідна змінює знак з «−» на «+», тому це точка мінімуму.

3. В Нулі похідної: x = −2, x = 1 і x = 5. Множник (x − 1)² невід’ємний, тому при переході через x = 1 знак похідної не змінюється. Знаки f′: «+» до −2, «−» на (−2; 1) і на (1; 5), «+» після 5. Знак змінюється лише в точках −2 (максимум) і 5 (мінімум) — це дві точки екстремуму.

4. Д Функція зростає на всій прямій, якщо її похідна додатна скрізь, крім, можливо, окремих точок. Для y = x³ + 3x − 1 маємо y′ = 3x² + 3 — це число завжди не менше за 3, тобто додатне. Похідні y′ = 2x + 2 і y′ = 3x² − 3 бувають від’ємними, а y = 5 − 2x та y = 1 − x³ спадають.

5. Б Розглянемо функцію f(x) = x³ − 3x. Її похідна f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). x = −1 — точка максимуму, f(−1) = 2; x = 1 — точка мінімуму, f(1) = −2. Пряма y = 2 проходить через вершину максимуму: дотикається до графіка в точці x = −1 і перетинає його ще раз праворуч від x = 1. Отже, коренів два: x = −1 і x = 2.

6. Г f′(x) = 3x² − 3 = 0 при x = ±1; відрізку [0; 2] належить лише x = 1. Обчислюємо значення в критичній точці та на кінцях: f(0) = 2, f(1) = 0, f(2) = 8 − 6 + 2 = 4. Найбільше з них — 4.

7. Д f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Знаки: «+» до 1, «−» між 1 і 3, «+» після 3. Отже, функція спадає на [1; 3], x = 1 — точка максимуму (f(1) = 4), x = 3 — точка мінімуму (f(3) = 0). Точок екстремуму дві. Найбільшого значення функція не має: уже f(5) = 20, а далі значення необмежено зростають. Число 4 — лише максимум у точці x = 1. Графік проходить через точки (0; 0) і (3; 0), тобто має спільні точки з віссю абсцис.

8. А Нулі похідної: x = −1 і x = 3. Графік f′ — парабола з вітками вгору, тому f′(x) > 0 зовні від коренів і f′(x) < 0 між ними. Отже, f зростає на (−∞; −1] і на [3; +∞), а спадає на [−1; 3]. Серед варіантів повністю в зоні зростання лежить лише (−∞; −1].

9. 1Д 2Б 3Г 4А y = 6x − x²: y′ = 6 − 2x змінює знак з «+» на «−» у точці x = 3. y = x³ − 3x: y′ = 3(x − 1)(x + 1); максимум у x = −1, мінімум у x = 1. y = 12x − x³: y′ = 3(2 − x)(2 + x); з «+» на «−» знак змінюється в точці x = 2. y = x³ + 3x²: y′ = 3x(x + 2); максимум у x = −2, мінімум у x = 0.

10. 1В 2Г 3Д 4А f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2); критичні точки −2, 0 і 2. Знаки f′: «−» до −2, «+» на (−2; 0), «−» на (0; 2), «+» після 2. Отже, x = 0 — точка максимуму, x = ±2 — точки мінімуму. f(0) = 3, f(±2) = 16 − 32 + 3 = −13. При великих |x| функція необмежено зростає, тому її найменше значення — −13, досягнуте в обох точках мінімуму.

11. 6 f′(x) = 3x² − 6x − 24 = 3(x² − 2x − 8) = 3(x − 4)(x + 2). f′(x) < 0 між коренями, тож функція спадає на [−2; 4]. Довжина проміжку: 4 − (−2) = 6.

12. −6 f′(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x + 2)(x − 1). Відрізку [−1; 2] належить лише критична точка x = 1. f(−1) = −2 + 3 + 12 + 1 = 14, f(1) = 2 + 3 − 12 + 1 = −6, f(2) = 16 + 12 − 24 + 1 = 5. Найменше з трьох значень — −6.

13. 1024 Нехай сторона вирізаного квадрата x см, де 0 < x < 12. Дно коробки — квадрат зі стороною 24 − 2x, висота — x. V(x) = x(24 − 2x)². Похідна: V′(x) = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x). На (0; 12) похідна дорівнює нулю лише при x = 4 і змінює знак з «+» на «−» — це точка максимуму. V(4) = 4 · 16² = 4 · 256 = 1024 см³.

14. 20 У точці мінімуму похідна дорівнює нулю: f′(x) = 3x² + 2ax + 24, f′(4) = 48 + 8a + 24 = 0, звідси a = −9. Тоді f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4). Знаки: «+», «−», «+», тож x = 4 справді мінімум, а x = 2 — максимум. f(2) = 8 − 36 + 48 = 20.