Блок 2 · Тема 9 з 42

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 64 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних
Теорема Вієта. Квадратний тричлен

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння 5x² = 20x.
- А −4; 4
- Б −4; 0
- В −2; 2
- Г 0; 4
- Д 4
2одна правильна відповідь
Укажіть рівняння, яке не має коренів.
- А x² − 6x + 9 = 0
- Б 2x² + 3x + 2 = 0
- В x² + 5x = 0
- Г −x² + 2x + 3 = 0
- Д 3x² − 7 = 0
3одна правильна відповідь
Укажіть квадратне рівняння, коренями якого є числа −3 і 7.
- А x² + 4x − 21 = 0
- Б x² − 4x + 21 = 0
- В x² − 10x − 21 = 0
- Г x² + 4x + 21 = 0
- Д x² − 4x − 21 = 0
4одна правильна відповідь
Розкладіть на множники квадратний тричлен 2x² − 5x − 3.
- А (x + 3)(2x − 1)
- Б (x − 3)(x + 0,5)
- В (2x − 3)(x + 1)
- Г (x − 3)(2x + 1)
- Д 2(x + 3)(x − 0,5)
5одна правильна відповідь
Знайдіть менший корінь рівняння (x + 2)(x − 3) = 14.
- А −5
- Б −4
- В −2
- Г 3
- Д 12
6одна правильна відповідь
x₁ і x₂ — корені рівняння x² − 6x + 4 = 0. Знайдіть x₁² + x₂².
- А 28
- Б 32
- В 36
- Г 44
- Д 52
7одна правильна відповідь
Скоротіть дріб (x² − 4x − 5)/(x² − 25).
- А (x + 1)/(x + 5)
- Б (x − 1)/(x + 5)
- В (x + 1)/(x − 5)
- Г (x + 5)/(x + 1)
- Д (x − 1)/(x − 5)
8одна правильна відповідь
При яких значеннях a рівняння 3x² − 6x + a = 0 має два різні корені?
- А a > 3
- Б a ⩽ 3
- В a < 3
- Г a < −3
- Д a < 12
9на відповідність
Установіть відповідність між квадратним рівнянням (1–4) та твердженням про кількість і знаки його коренів (А–Д).
- 1) x² − 8x + 16 = 0
- 2) x² + 3x + 7 = 0
- 3) x² − 2x − 15 = 0
- 4) x² − 9x + 14 = 0
- А) коренів немає
- Б) має один корінь
- В) має два додатні корені
- Г) має два від’ємні корені
- Д) має два корені різних знаків
10на відповідність
Установіть відповідність між квадратним тричленом (1–4) та його розкладом на множники (А–Д).
- 1) x² − 7x + 12
- 2) x² + x − 12
- 3) x² − x − 12
- 4) 2x² − 7x + 6
- А) (x − 4)(x + 3)
- Б) (x − 2)(2x − 3)
- В) (x + 3)(x + 4)
- Г) (x − 3)(x − 4)
- Д) (x + 4)(x − 3)
11коротка відповідь
Розв’яжіть рівняння (x + 3)² = 2x + 14. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх добуток.
Ціле число
12коротка відповідь
Один із коренів рівняння x² − 14x + q = 0 у 6 разів більший за інший. Знайдіть q.
Значення q
13коротка відповідь
При якому від’ємному значенні m рівняння 4x² + mx + 9 = 0 має єдиний корінь?
Значення m
14коротка відповідь
x₁ і x₂ — корені рівняння 2x² − 9x − 6 = 0. Знайдіть значення виразу 1/x₁ + 1/x₂.
Ціле число або десятковий дріб

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Розв’яжіть рівняння 5x² = 20x.

А) −4; 4
Б) −4; 0
В) −2; 2
Г) 0; 4
Д) 4

Завдання 2. Укажіть рівняння, яке не має коренів.

А) x² − 6x + 9 = 0
Б) 2x² + 3x + 2 = 0
В) x² + 5x = 0
Г) −x² + 2x + 3 = 0
Д) 3x² − 7 = 0

Завдання 3. Укажіть квадратне рівняння, коренями якого є числа −3 і 7.

А) x² + 4x − 21 = 0
Б) x² − 4x + 21 = 0
В) x² − 10x − 21 = 0
Г) x² + 4x + 21 = 0
Д) x² − 4x − 21 = 0

Завдання 4. Розкладіть на множники квадратний тричлен 2x² − 5x − 3.

А) (x + 3)(2x − 1)
Б) (x − 3)(x + 0,5)
В) (2x − 3)(x + 1)
Г) (x − 3)(2x + 1)
Д) 2(x + 3)(x − 0,5)

Завдання 5. Знайдіть менший корінь рівняння (x + 2)(x − 3) = 14.

А) −5
Б) −4
В) −2
Г) 3
Д) 12

Завдання 6. x₁ і x₂ — корені рівняння x² − 6x + 4 = 0. Знайдіть x₁² + x₂².

А) 28
Б) 32
В) 36
Г) 44
Д) 52

Завдання 7. Скоротіть дріб (x² − 4x − 5)/(x² − 25).

А) (x + 1)/(x + 5)
Б) (x − 1)/(x + 5)
В) (x + 1)/(x − 5)
Г) (x + 5)/(x + 1)
Д) (x − 1)/(x − 5)

Завдання 8. При яких значеннях a рівняння 3x² − 6x + a = 0 має два різні корені?

А) a > 3
Б) a ⩽ 3
В) a < 3
Г) a < −3
Д) a < 12

Завдання 9. Установіть відповідність між квадратним рівнянням (1–4) та твердженням про кількість і знаки його коренів (А–Д).

1) x² − 8x + 16 = 0
2) x² + 3x + 7 = 0
3) x² − 2x − 15 = 0
4) x² − 9x + 14 = 0

А) коренів немає
Б) має один корінь
В) має два додатні корені
Г) має два від’ємні корені
Д) має два корені різних знаків

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між квадратним тричленом (1–4) та його розкладом на множники (А–Д).

1) x² − 7x + 12
2) x² + x − 12
3) x² − x − 12
4) 2x² − 7x + 6

А) (x − 4)(x + 3)
Б) (x − 2)(2x − 3)
В) (x + 3)(x + 4)
Г) (x − 3)(x − 4)
Д) (x + 4)(x − 3)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Розв’яжіть рівняння (x + 3)² = 2x + 14. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх добуток.

Відповідь:

Завдання 12. Один із коренів рівняння x² − 14x + q = 0 у 6 разів більший за інший. Знайдіть q.

Відповідь:

Завдання 13. При якому від’ємному значенні m рівняння 4x² + mx + 9 = 0 має єдиний корінь?

Відповідь:

Завдання 14. x₁ і x₂ — корені рівняння 2x² − 9x − 6 = 0. Знайдіть значення виразу 1/x₁ + 1/x₂.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Б	Д	Г	Б	А	А	В	1Б 2А 3Д 4В	1Г 2Д 3А 4Б	−5	24	−12	−1,5

1. Г Переносимо все в ліву частину: 5x² − 20x = 0. Виносимо спільний множник: 5x(x − 4) = 0. Добуток дорівнює нулю, коли x = 0 або x = 4.

2. Б Квадратне рівняння не має коренів, коли його дискримінант D = b² − 4ac від’ємний. А: D = 36 − 36 = 0; В: D = 25 > 0; Г: D = 4 + 12 = 16 > 0; Д: D = 0 + 84 > 0. Б: D = 9 − 16 = −7 < 0 — коренів немає.

3. Д За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа x₁ і x₂ — корені рівняння x² + px + q = 0, якщо x₁ + x₂ = −p і x₁ · x₂ = q. x₁ + x₂ = −3 + 7 = 4, тому p = −4; x₁ · x₂ = −21, тому q = −21. Шукане рівняння: x² − 4x − 21 = 0.

4. Г Корені тричлена: D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4, тобто x₁ = 3 і x₂ = −0,5. ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) = 2(x − 3)(x + 0,5). Множник 2 вносимо в другу дужку: (x − 3)(2x + 1).

5. Б Розкриваємо дужки: x² − 3x + 2x − 6 = 14, тобто x² − x − 20 = 0. D = 1 + 80 = 81, x = (1 ± 9)/2, тобто x₁ = 5, x₂ = −4. Менший корінь — −4.

6. А За теоремою Вієта x₁ + x₂ = 6 і x₁ · x₂ = 4. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ 6² − 2 · 4 = 36 − 8 = 28

7. А Корені чисельника: x² − 4x − 5 = 0 при x = 5 і x = −1, тому x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1). Знаменник — різниця квадратів: x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Скорочуємо на x − 5: (x + 1)/(x + 5).

8. В Два різні корені рівняння має тоді й лише тоді, коли D > 0. D = (−6)² − 4 · 3 · a = 36 − 12a. 36 − 12a > 0, звідки a < 3.

9. 1Б 2А 3Д 4В 1: D = 64 − 64 = 0 — один корінь x = 4. 2: D = 9 − 28 < 0 — коренів немає. 3: D = 4 + 60 > 0, а добуток коренів −15 < 0 — корені різних знаків (−3 і 5). 4: D = 81 − 56 > 0, добуток 14 > 0 і сума 9 > 0 — обидва корені додатні (2 і 7).

10. 1Г 2Д 3А 4Б 1: корені 3 і 4 (сума 7, добуток 12), тому (x − 3)(x − 4). 2: корені −4 і 3 (сума −1, добуток −12), тому (x + 4)(x − 3). 3: корені 4 і −3 (сума 1, добуток −12), тому (x − 4)(x + 3). 4: D = 49 − 48 = 1, корені 2 і 1,5, тому 2(x − 2)(x − 1,5) = (x − 2)(2x − 3).

11. −5 Розкриваємо квадрат суми: x² + 6x + 9 = 2x + 14. Зводимо до стандартного вигляду: x² + 4x − 5 = 0. Корені: x₁ = 1 і x₂ = −5. Їх добуток: 1 · (−5) = −5.

12. 24 Нехай корені дорівнюють x і 6x. За теоремою Вієта x + 6x = 14, тобто x = 2. Корені: 2 і 12. q = x₁ · x₂ = 2 · 12 = 24

13. −12 Квадратне рівняння має єдиний корінь, коли D = 0. D = m² − 4 · 4 · 9 = m² − 144 = 0, звідки m = 12 або m = −12. Від’ємне значення — m = −12.

14. −1,5 Зводимо до спільного знаменника: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂). За теоремою Вієта для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a = 9/2 = 4,5 і x₁x₂ = c/a = −6/2 = −3. 4,5 : (−3) = −1,5