Блок 4 · Тема 19 з 42

Многокутники — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 40 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Властивості многокутників. Основні формули
Площі многокутників та їх застосування
Подібні трикутники та їх властивості

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Основа альтанки має форму опуклого семикутника. Знайдіть суму внутрішніх кутів цього семикутника.
- А 540°
- Б 720°
- В 900°
- Г 1080°
- Д 1260°
2одна правильна відповідь
Кожен внутрішній кут правильного многокутника дорівнює 156°. Скільки сторін має цей многокутник?
- А 10
- Б 12
- В 13
- Г 15
- Д 24
3одна правильна відповідь
Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу паралелограма.
- А 20 см²
- Б 40 см²
- В 40√2 см²
- Г 40√3 см²
- Д 80 см²
4одна правильна відповідь
Знайдіть площу правильного шестикутника зі стороною 4 см.
- А 4√3 см²
- Б 16√3 см²
- В 24√3 см²
- Г 48 см²
- Д 48√3 см²
5одна правильна відповідь
Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу чотирикутника.
- А 15 см²
- Б 30 см²
- В 30√3 см²
- Г 60 см²
- Д 120 см²
6одна правильна відповідь
Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 6 см і 8 см. Найбільша сторона подібного йому трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть найменшу сторону другого трикутника.
- А 4 см
- Б 6 см
- В 8 см
- Г 9 см
- Д 18 см
7одна правильна відповідь
У трикутнику ABC пряма, паралельна стороні AC, перетинає сторону AB у точці M, а сторону BC — у точці N. BM = 4 см, MA = 6 см, AC = 15 см. Знайдіть довжину відрізка MN.
- А 6 см
- Б 7,5 см
- В 9 см
- Г 10 см
- Д 22,5 см
8одна правильна відповідь
Периметри двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3. Площа меншого трикутника дорівнює 18 см². Знайдіть площу більшого трикутника.
- А 8 см²
- Б 12 см²
- В 27 см²
- Г 40,5 см²
- Д 60,75 см²
9на відповідність
Установіть відповідність між характеристикою правильного восьмикутника (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) сума внутрішніх кутів
- 2) градусна міра внутрішнього кута
- 3) градусна міра зовнішнього кута
- 4) кількість діагоналей
- А) 20
- Б) 45°
- В) 135°
- Г) 1080°
- Д) 1440°
10на відповідність
Установіть відповідність між фігурою (1–4) та її площею в квадратних сантиметрах (А–Д).
- 1) трикутник, дві сторони якого дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними — 150°
- 2) ромб із діагоналями 6 см і 8 см
- 3) паралелограм зі стороною 8 см і висотою 6 см, проведеною до цієї сторони
- 4) трапеція з основами 6 см і 8 см та висотою 4 см
- А) 12
- Б) 24
- В) 28
- Г) 48
- Д) 56
11коротка відповідь
Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника на 900° більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки сторін має цей многокутник?
Кількість сторін
12коротка відповідь
Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а його площа — 48 см². Знайдіть меншу висоту паралелограма (у см).
Довжина висоти в сантиметрах
13коротка відповідь
Діагоналі трапеції ABCD з основами BC і AD перетинаються в точці O. BC = 6 см, AD = 15 см, AC = 14 см. Знайдіть довжину відрізка AO (у см).
Довжина AO в сантиметрах
14коротка відповідь
Людина зростом 1,8 м стоїть на відстані 6 м від стовпа з ліхтарем і відкидає тінь завдовжки 3 м. На якій висоті (у м) розташований ліхтар?
Висота в метрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Многокутники — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Основа альтанки має форму опуклого семикутника. Знайдіть суму внутрішніх кутів цього семикутника.

А) 540°
Б) 720°
В) 900°
Г) 1080°
Д) 1260°

Завдання 2. Кожен внутрішній кут правильного многокутника дорівнює 156°. Скільки сторін має цей многокутник?

А) 10
Б) 12
В) 13
Г) 15
Д) 24

Завдання 3. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 10 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу паралелограма.

А) 20 см²
Б) 40 см²
В) 40√2 см²
Г) 40√3 см²
Д) 80 см²

Завдання 4. Знайдіть площу правильного шестикутника зі стороною 4 см.

А) 4√3 см²
Б) 16√3 см²
В) 24√3 см²
Г) 48 см²
Д) 48√3 см²

Завдання 5. Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють 10 см і 12 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу чотирикутника.

А) 15 см²
Б) 30 см²
В) 30√3 см²
Г) 60 см²
Д) 120 см²

Завдання 6. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 6 см і 8 см. Найбільша сторона подібного йому трикутника дорівнює 12 см. Знайдіть найменшу сторону другого трикутника.

А) 4 см
Б) 6 см
В) 8 см
Г) 9 см
Д) 18 см

Завдання 7. У трикутнику ABC пряма, паралельна стороні AC, перетинає сторону AB у точці M, а сторону BC — у точці N. BM = 4 см, MA = 6 см, AC = 15 см. Знайдіть довжину відрізка MN.

А) 6 см
Б) 7,5 см
В) 9 см
Г) 10 см
Д) 22,5 см

Завдання 8. Периметри двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3. Площа меншого трикутника дорівнює 18 см². Знайдіть площу більшого трикутника.

А) 8 см²
Б) 12 см²
В) 27 см²
Г) 40,5 см²
Д) 60,75 см²

Завдання 9. Установіть відповідність між характеристикою правильного восьмикутника (1–4) та її значенням (А–Д).

1) сума внутрішніх кутів
2) градусна міра внутрішнього кута
3) градусна міра зовнішнього кута
4) кількість діагоналей

А) 20
Б) 45°
В) 135°
Г) 1080°
Д) 1440°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між фігурою (1–4) та її площею в квадратних сантиметрах (А–Д).

1) трикутник, дві сторони якого дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними — 150°
2) ромб із діагоналями 6 см і 8 см
3) паралелограм зі стороною 8 см і висотою 6 см, проведеною до цієї сторони
4) трапеція з основами 6 см і 8 см та висотою 4 см

А) 12
Б) 24
В) 28
Г) 48
Д) 56

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Сума внутрішніх кутів опуклого многокутника на 900° більша за суму його зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній вершині. Скільки сторін має цей многокутник?

Відповідь:

Завдання 12. Сторони паралелограма дорівнюють 8 см і 12 см, а його площа — 48 см². Знайдіть меншу висоту паралелограма (у см).

Відповідь:

Завдання 13. Діагоналі трапеції ABCD з основами BC і AD перетинаються в точці O. BC = 6 см, AD = 15 см, AC = 14 см. Знайдіть довжину відрізка AO (у см).

Відповідь:

Завдання 14. Людина зростом 1,8 м стоїть на відстані 6 м від стовпа з ліхтарем і відкидає тінь завдовжки 3 м. На якій висоті (у м) розташований ліхтар?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Г	Б	В	Б	Б	А	Г	1Г 2В 3Б 4А	1А 2Б 3Г 4В	9	4	10	5,4

1. В Діагоналі, проведені з однієї вершини, ділять опуклий n-кутник на n − 2 трикутники. Для семикутника це 7 − 2 = 5 трикутників, і сума кутів кожного з них — 180°. 5 · 180° = 900°

2. Г Зовнішній кут при кожній вершині доповнює внутрішній до 180°: 180° − 156° = 24°. Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°. Усі зовнішні кути правильного многокутника рівні, тому n = 360° : 24° = 15.

3. Б Площа паралелограма дорівнює добутку двох сусідніх сторін на синус кута між ними. sin 30° = 1/2 S = 8 · 10 · 1/2 = 40 см²

4. В Відрізки, що сполучають центр шестикутника з вершинами, ділять його на 6 рівних правильних трикутників зі стороною 4 см. Площа одного такого трикутника: a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 см². Площа шестикутника: 6 · 4√3 = 24√3 см².

5. Б Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними. S = 1/2 · 10 · 12 · sin 30° = 60 · 1/2 = 30 см²

6. Б Найбільша сторона відповідає найбільшій, тому коефіцієнт подібності k = 12 : 8 = 1,5. Усі сторони другого трикутника в 1,5 раза більші за відповідні сторони першого. Найменша сторона: 4 · 1,5 = 6 см.

7. А MN ∥ AC, тому трикутник MBN подібний до трикутника ABC: кут B спільний, а кути при паралельних прямих рівні. Коефіцієнт подібності: BM : BA = 4 : (4 + 6) = 2/5. MN = AC · 2/5 = 15 · 2/5 = 6 см.

8. Г Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності: від меншого до більшого k = 3/2. Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта: k² = 9/4. S = 18 · 9/4 = 40,5 см²

9. 1Г 2В 3Б 4А Сума внутрішніх кутів: (8 − 2) · 180° = 1080°. Кути правильного восьмикутника рівні: 1080° : 8 = 135°. Зовнішній кут доповнює внутрішній до 180°: 180° − 135° = 45°, або 360° : 8. З кожної з 8 вершин виходить 8 − 3 = 5 діагоналей, і кожну пораховано двічі: 8 · 5 : 2 = 20.

10. 1А 2Б 3Г 4В Трикутник: S = 1/2 · 6 · 8 · sin 150° = 24 · 1/2 = 12, бо sin 150° = sin 30° = 1/2. Ромб: S = d₁ · d₂/2 = 6 · 8 : 2 = 24. Паралелограм: S = a · h = 8 · 6 = 48. Трапеція: S = (a + b)/2 · h = (6 + 8) : 2 · 4 = 28.

11. 9 Сума зовнішніх кутів опуклого многокутника завжди дорівнює 360°. Отже, сума внутрішніх кутів: 360° + 900° = 1260°. (n − 2) · 180° = 1260°, звідси n − 2 = 7 і n = 9.

12. 4 Площа паралелограма — добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. Висота до сторони 12 см: 48 : 12 = 4 см; висота до сторони 8 см: 48 : 8 = 6 см. Менша з них — 4 см: вона проведена до більшої сторони.

13. 10 Кути OBC і ODA рівні як різносторонні при паралельних BC і AD, а кути BOC і DOA — вертикальні, тож трикутники BOC і DOA подібні. Коефіцієнт подібності: BC : AD = 6 : 15 = 2 : 5, тому CO : AO = 2 : 5. Діагональ AC = 14 см ділиться на 2 + 5 = 7 частин по 2 см, отже AO = 5 · 2 = 10 см.

14. 5,4 Ліхтар, маківка людини й кінець тіні лежать на одній прямій, тож маємо два подібні прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом при кінці тіні. Катет великого трикутника — уся відстань від стовпа до кінця тіні: 6 + 3 = 9 м, малого — сама тінь, 3 м. H : 1,8 = 9 : 3, звідси H = 1,8 · 3 = 5,4 м.