Блок 4 · Тема 24 з 42

Степінь з раціональним показником. Степенева функція — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 65 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Поняття степеня з раціональним показником
Властивості степеня з раціональним показником
Степенева функція: властивості і графік

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Обчисліть 32³⁄⁵.
- А 1/8
- Б 2
- В 4
- Г 8
- Д 19,2
2одна правильна відповідь
Подайте вираз ∛(x²), де x > 0, у вигляді степеня з раціональним показником.
- А x²⁄³
- Б x³⁄²
- В x⁻²⁄³
- Г x⁵
- Д x⁶
3одна правильна відповідь
Який із наведених степенів з раціональним показником не означений?
- А 0³⁄⁴
- Б 8⁻¹⁄³
- В (−8)¹⁄³
- Г 0,04¹⁄²
- Д 7⁰
4одна правильна відповідь
Спростіть вираз a¹⁄² · a¹⁄³, де a > 0.
- А a¹⁄⁶
- Б a¹⁄⁵
- В a²⁄⁵
- Г a⁵⁄⁶
- Д a³⁄²
5одна правильна відповідь
Обчисліть 5¹⁄³ · 25¹⁄³.
- А 5²⁄⁹
- Б 30¹⁄³
- В 5
- Г 25
- Д 125
6одна правильна відповідь
Обчисліть (2⁻¹ + 4¹⁄²)⁻¹.
- А −2,5
- Б 0,4
- В 1
- Г 2,5
- Д 4
7одна правильна відповідь
Знайдіть область визначення функції y = (x + 3)⁻¹⁄².
- А [−3; +∞)
- Б (−3; +∞)
- В (−∞; −3)
- Г (3; +∞)
- Д (−∞; +∞)
8одна правильна відповідь
Яка з функцій спадає на проміжку (0; +∞)?
- А y = x²
- Б y = x¹⁄³
- В y = x³
- Г y = x⁻²
- Д y = x³⁄²
9на відповідність
Установіть відповідність між степенем з раціональним показником (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) 16³⁄⁴
- 2) 81⁻¹⁄⁴
- 3) 0,008¹⁄³
- 4) (1/9)⁻¹⁄²
- А) 1/3
- Б) 0,2
- В) 3
- Г) 8
- Д) −3
10на відповідність
Установіть відповідність між виразом зі степенями з дробовими показниками (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А–Д), якщо a > 0.
- 1) a¹⁄² · a¹⁄⁴
- 2) a³⁄⁴ : a¹⁄⁴
- 3) (a³⁄⁴)²
- 4) (a⁻¹⁄³)³ · a²
- А) a¹⁄²
- Б) a³⁄⁴
- В) a
- Г) a³⁄²
- Д) a¹⁄⁸
11коротка відповідь
Обчисліть 9³⁄² − 8²⁄³ · 16¹⁄⁴.
Значення виразу
12коротка відповідь
Обчисліть 5⁷⁄⁴ · 5¹⁄⁴ : 5⁻¹.
Значення виразу
13коротка відповідь
Графік функції y = xᵖ проходить через точку (16; 8). Знайдіть p.
Показник p
14коротка відповідь
Скільки цілих розв’язків має нерівність x³⁄² < 8?
Кількість цілих розв’язків

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Степінь з раціональним показником. Степенева функція — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Обчисліть 32³⁄⁵.

А) 1/8
Б) 2
В) 4
Г) 8
Д) 19,2

Завдання 2. Подайте вираз ∛(x²), де x > 0, у вигляді степеня з раціональним показником.

А) x²⁄³
Б) x³⁄²
В) x⁻²⁄³
Г) x⁵
Д) x⁶

Завдання 3. Який із наведених степенів з раціональним показником не означений?

А) 0³⁄⁴
Б) 8⁻¹⁄³
В) (−8)¹⁄³
Г) 0,04¹⁄²
Д) 7⁰

Завдання 4. Спростіть вираз a¹⁄² · a¹⁄³, де a > 0.

А) a¹⁄⁶
Б) a¹⁄⁵
В) a²⁄⁵
Г) a⁵⁄⁶
Д) a³⁄²

Завдання 5. Обчисліть 5¹⁄³ · 25¹⁄³.

А) 5²⁄⁹
Б) 30¹⁄³
В) 5
Г) 25
Д) 125

Завдання 6. Обчисліть (2⁻¹ + 4¹⁄²)⁻¹.

А) −2,5
Б) 0,4
В) 1
Г) 2,5
Д) 4

Завдання 7. Знайдіть область визначення функції y = (x + 3)⁻¹⁄².

А) [−3; +∞)
Б) (−3; +∞)
В) (−∞; −3)
Г) (3; +∞)
Д) (−∞; +∞)

Завдання 8. Яка з функцій спадає на проміжку (0; +∞)?

А) y = x²
Б) y = x¹⁄³
В) y = x³
Г) y = x⁻²
Д) y = x³⁄²

Завдання 9. Установіть відповідність між степенем з раціональним показником (1–4) та його значенням (А–Д).

1) 16³⁄⁴
2) 81⁻¹⁄⁴
3) 0,008¹⁄³
4) (1/9)⁻¹⁄²

А) 1/3
Б) 0,2
В) 3
Г) 8
Д) −3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між виразом зі степенями з дробовими показниками (1–4) та тотожно рівним йому виразом (А–Д), якщо a > 0.

1) a¹⁄² · a¹⁄⁴
2) a³⁄⁴ : a¹⁄⁴
3) (a³⁄⁴)²
4) (a⁻¹⁄³)³ · a²

А) a¹⁄²
Б) a³⁄⁴
В) a
Г) a³⁄²
Д) a¹⁄⁸

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Обчисліть 9³⁄² − 8²⁄³ · 16¹⁄⁴.

Відповідь:

Завдання 12. Обчисліть 5⁷⁄⁴ · 5¹⁄⁴ : 5⁻¹.

Відповідь:

Завдання 13. Графік функції y = xᵖ проходить через точку (16; 8). Знайдіть p.

Відповідь:

Завдання 14. Скільки цілих розв’язків має нерівність x³⁄² < 8?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	А	В	Г	В	Б	Б	Г	1Г 2А 3Б 4В	1Б 2А 3Г 4В	19	125	0,75	4

1. Г За означенням aᵐ⁄ⁿ = (ⁿ√a)ᵐ: знаменник показника — степінь кореня, чисельник — показник степеня. ⁵√32 = 2, бо 2⁵ = 32. 2³ = 8

2. А За означенням ⁿ√(aᵐ) = aᵐ⁄ⁿ: показник кореня стає знаменником, показник степеня — чисельником. Тут n = 3, m = 2, тому ∛(x²) = x²⁄³.

3. В Степінь aᵐ⁄ⁿ з дробовим показником означений для a > 0, а для a = 0 — лише з додатним показником. 0³⁄⁴ = 0, 8⁻¹⁄³ = 1/2, 0,04¹⁄² = 0,2, 7⁰ = 1 — усі ці степені означені. Основа −8 від’ємна, тому (−8)¹⁄³ не означений, хоча ∛(−8) = −2 існує.

4. Г При множенні степенів з однаковою основою показники додають. Зводимо дроби до спільного знаменника: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Отже, a¹⁄² · a¹⁄³ = a⁵⁄⁶.

5. В Степені з однаковим показником перемножують, перемноживши основи: 5¹⁄³ · 25¹⁄³ = (5 · 25)¹⁄³ = 125¹⁄³. 125¹⁄³ = ∛125 = 5

6. Б 2⁻¹ = 1/2 = 0,5 і 4¹⁄² = √4 = 2. У дужках: 0,5 + 2 = 2,5. 2,5⁻¹ = 1 : 2,5 = 0,4

7. Б Показник −1/2 дробовий і від’ємний: (x + 3)⁻¹⁄² = 1/√(x + 3). Під коренем вираз невід’ємний, а в знаменнику — ненульовий, отже x + 3 > 0. x > −3, тобто x ∈ (−3; +∞).

8. Г Степенева функція y = xᵖ на проміжку (0; +∞) зростає при p > 0 і спадає при p < 0. Показники 2, 1/3, 3 і 3/2 додатні — ці функції зростають. Лише y = x⁻² = 1/x² має від’ємний показник, тому вона спадає.

9. 1Г 2А 3Б 4В 16³⁄⁴ = (∜16)³ = 2³ = 8 81⁻¹⁄⁴ = 1/∜81 = 1/3 0,008¹⁄³ = ∛0,008 = 0,2, бо 0,2³ = 0,008. (1/9)⁻¹⁄² = 9¹⁄² = √9 = 3

10. 1Б 2А 3Г 4В a¹⁄² · a¹⁄⁴: показники додають, 1/2 + 1/4 = 3/4, маємо a³⁄⁴. a³⁄⁴ : a¹⁄⁴: показники віднімають, 3/4 − 1/4 = 1/2, маємо a¹⁄². (a³⁄⁴)²: показники множать, 3/4 · 2 = 3/2, маємо a³⁄². (a⁻¹⁄³)³ = a⁻¹, і a⁻¹ · a² = a¹ = a.

11. 19 9³⁄² = (√9)³ = 3³ = 27 8²⁄³ = (∛8)² = 2² = 4, а 16¹⁄⁴ = ∜16 = 2. 27 − 4 · 2 = 27 − 8 = 19

12. 125 Основи однакові: при множенні показники додають, при діленні — віднімають. 7/4 + 1/4 − (−1) = 2 + 1 = 3 5³ = 125

13. 0,75 Підставляємо координати точки: 16ᵖ = 8. Записуємо обидва числа як степені двійки: 16 = 2⁴, 8 = 2³, тож 2⁴ᵖ = 2³. 4p = 3, звідси p = 3/4 = 0,75.

14. 4 Степінь x³⁄² з дробовим додатним показником означений лише при x ⩾ 0. Функція y = x³⁄² зростає на [0; +∞), а 8 = 4³⁄², бо (√4)³ = 8. Тому x³⁄² < 8 при 0 ⩽ x < 4. Цілі розв’язки: 0, 1, 2, 3 — їх чотири.