Блок 4 · Тема 22 з 42

Числові послідовності. Арифметична і геометрична прогресії — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 48 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Числові послідовності
Арифметична прогресія та її властивості
Геометрична прогресія та її властивості

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Послідовність задано формулою n-го члена aₙ = n² − 3n. Знайдіть a₅.
- А 4
- Б 7
- В 10
- Г 22
- Д 40
2одна правильна відповідь
Послідовність задано умовами b₁ = 2, bₙ₊₁ = 3bₙ − 1. Знайдіть b₄.
- А 11
- Б 14
- В 23
- Г 41
- Д 122
3одна правильна відповідь
В арифметичній прогресії a₁ = 7, d = −3. Знайдіть a₁₂.
- А −29
- Б −26
- В −23
- Г 40
- Д 43
4одна правильна відповідь
В арифметичній прогресії a₃ = 11, a₈ = 31. Знайдіть різницю прогресії.
- А 10/3
- Б 4
- В 5
- Г 10
- Д 20
5одна правильна відповідь
Знайдіть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 4; 7; 10; … .
- А 61
- Б 620
- В 650
- Г 680
- Д 1300
6одна правильна відповідь
У геометричній прогресії b₁ = 3, q = −2. Знайдіть b₅.
- А −96
- Б −48
- В −24
- Г 48
- Д 96
7одна правильна відповідь
Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії 2; 6; 18; … .
- А 242
- Б 486
- В 728
- Г 1456
- Д 1458
8одна правильна відповідь
Числа 4; x; 25 є трьома послідовними членами геометричної прогресії з додатними членами. Знайдіть x.
- А 10
- Б 12,5
- В 14,5
- Г 21
- Д 100
9на відповідність
Установіть відповідність між послідовністю (1–4) та її характеристикою (А–Д).
- 1) 5; 8; 11; 14; …
- 2) 3; 6; 12; 24; …
- 3) 16; 8; 4; 2; …
- 4) 1; 4; 9; 16; …
- А) не є ні арифметичною, ні геометричною прогресією
- Б) геометрична прогресія зі знаменником 1/2
- В) арифметична прогресія з різницею 3
- Г) арифметична прогресія з різницею −8
- Д) геометрична прогресія зі знаменником 2
10на відповідність
Арифметичну прогресію задано першим членом a₁ = 2 і різницею d = 5. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) десятий член a₁₀
- 2) сума перших десяти членів S₁₀
- 3) різниця a₂₀ − a₁₀
- 4) номер члена, що дорівнює 72
- А) 15
- Б) 47
- В) 50
- Г) 245
- Д) 52
11коротка відповідь
Послідовність задано формулою aₙ = 3n − 40. Скільки від’ємних членів має ця послідовність?
Кількість членів
12коротка відповідь
Першого дня Олена вивчила 18 нових англійських слів, а кожного наступного дня — на 2 слова більше, ніж попереднього. Скільки слів вона вивчила за перші 15 днів?
Кількість слів
13коротка відповідь
У нескінченно спадній геометричній прогресії b₂ = 6, b₃ = 2. Знайдіть суму цієї прогресії.
Сума прогресії
14коротка відповідь
Аркуш паперу завтовшки 0,1 мм склали навпіл, потім ще раз навпіл, і так 6 разів поспіль. Якою (у мм) стала товщина складеного аркуша?
Товщина в міліметрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Числові послідовності. Арифметична і геометрична прогресії — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Послідовність задано формулою n-го члена aₙ = n² − 3n. Знайдіть a₅.

А) 4
Б) 7
В) 10
Г) 22
Д) 40

Завдання 2. Послідовність задано умовами b₁ = 2, bₙ₊₁ = 3bₙ − 1. Знайдіть b₄.

А) 11
Б) 14
В) 23
Г) 41
Д) 122

Завдання 3. В арифметичній прогресії a₁ = 7, d = −3. Знайдіть a₁₂.

А) −29
Б) −26
В) −23
Г) 40
Д) 43

Завдання 4. В арифметичній прогресії a₃ = 11, a₈ = 31. Знайдіть різницю прогресії.

А) 10/3
Б) 4
В) 5
Г) 10
Д) 20

Завдання 5. Знайдіть суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 4; 7; 10; … .

А) 61
Б) 620
В) 650
Г) 680
Д) 1300

Завдання 6. У геометричній прогресії b₁ = 3, q = −2. Знайдіть b₅.

А) −96
Б) −48
В) −24
Г) 48
Д) 96

Завдання 7. Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії 2; 6; 18; … .

А) 242
Б) 486
В) 728
Г) 1456
Д) 1458

Завдання 8. Числа 4; x; 25 є трьома послідовними членами геометричної прогресії з додатними членами. Знайдіть x.

А) 10
Б) 12,5
В) 14,5
Г) 21
Д) 100

Завдання 9. Установіть відповідність між послідовністю (1–4) та її характеристикою (А–Д).

1) 5; 8; 11; 14; …
2) 3; 6; 12; 24; …
3) 16; 8; 4; 2; …
4) 1; 4; 9; 16; …

А) не є ні арифметичною, ні геометричною прогресією
Б) геометрична прогресія зі знаменником 1/2
В) арифметична прогресія з різницею 3
Г) арифметична прогресія з різницею −8
Д) геометрична прогресія зі знаменником 2

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Арифметичну прогресію задано першим членом a₁ = 2 і різницею d = 5. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).

1) десятий член a₁₀
2) сума перших десяти членів S₁₀
3) різниця a₂₀ − a₁₀
4) номер члена, що дорівнює 72

А) 15
Б) 47
В) 50
Г) 245
Д) 52

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Послідовність задано формулою aₙ = 3n − 40. Скільки від’ємних членів має ця послідовність?

Відповідь:

Завдання 12. Першого дня Олена вивчила 18 нових англійських слів, а кожного наступного дня — на 2 слова більше, ніж попереднього. Скільки слів вона вивчила за перші 15 днів?

Відповідь:

Завдання 13. У нескінченно спадній геометричній прогресії b₂ = 6, b₃ = 2. Знайдіть суму цієї прогресії.

Відповідь:

Завдання 14. Аркуш паперу завтовшки 0,1 мм склали навпіл, потім ще раз навпіл, і так 6 разів поспіль. Якою (у мм) стала товщина складеного аркуша?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Г	Б	Б	В	Г	В	А	1В 2Д 3Б 4А	1Б 2Г 3В 4А	13	480	27	6,4

1. В Підставляємо n = 5 у формулу: a₅ = 5² − 3 · 5. 25 − 15 = 10

2. Г Кожен наступний член дістаємо з попереднього: b₂ = 3 · 2 − 1 = 5. b₃ = 3 · 5 − 1 = 14 b₄ = 3 · 14 − 1 = 41

3. Б Формула n-го члена: aₙ = a₁ + (n − 1)d. a₁₂ = 7 + 11 · (−3) = 7 − 33 = −26

4. Б Від a₃ до a₈ — 8 − 3 = 5 кроків, тобто a₈ = a₃ + 5d. 31 = 11 + 5d, звідси 5d = 20 і d = 4.

5. В Різниця прогресії d = 7 − 4 = 3, двадцятий член a₂₀ = 4 + 19 · 3 = 61. S₂₀ = (a₁ + a₂₀)/2 · 20 = (4 + 61) : 2 · 20 = 65 · 10 = 650.

6. Г Формула n-го члена: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. b₅ = 3 · (−2)⁴ = 3 · 16 = 48 — парний степінь прибирає мінус.

7. В Знаменник прогресії q = 6 : 2 = 3. S₆ = b₁(q⁶ − 1)/(q − 1) = 2 · (729 − 1) : 2 = 728.

8. А Квадрат кожного члена геометричної прогресії, крім першого, дорівнює добутку сусідніх членів: x² = 4 · 25 = 100. Члени додатні, тому x = √100 = 10.

9. 1В 2Д 3Б 4А 5; 8; 11; 14: кожен член на 3 більший за попередній — арифметична прогресія з d = 3. 3; 6; 12; 24: кожен член удвічі більший за попередній — геометрична прогресія з q = 2. 16; 8; 4; 2: кожен член удвічі менший — геометрична прогресія з q = 1/2; різниці −8, −4, −2 не сталі. 1; 4; 9; 16 — квадрати натуральних чисел: ні різниці 3, 5, 7, ні частки 4 і 2,25 не сталі.

10. 1Б 2Г 3В 4А a₁₀ = a₁ + 9d = 2 + 45 = 47 S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · 10 = (2 + 47) · 5 = 245 Від a₁₀ до a₂₀ — 10 кроків, тому a₂₀ − a₁₀ = 10d = 50. 2 + 5(n − 1) = 72, звідси n − 1 = 14 і n = 15.

11. 13 Член від’ємний, якщо 3n − 40 < 0, тобто n < 40/3. 40/3 лежить між 13 і 14, тож умову задовольняють натуральні n = 1, 2, …, 13. Перевірка меж: a₁₃ = 39 − 40 = −1 < 0, а a₁₄ = 42 − 40 = 2 > 0.

12. 480 Щоденні кількості слів утворюють арифметичну прогресію: a₁ = 18, d = 2. П’ятнадцятого дня: a₁₅ = 18 + 14 · 2 = 46 слів. S₁₅ = (18 + 46) : 2 · 15 = 32 · 15 = 480

13. 27 Знаменник: q = b₃ : b₂ = 2 : 6 = 1/3, і |q| < 1. Перший член: b₁ = b₂ : q = 6 : (1/3) = 18. S = b₁/(1 − q) = 18 : (2/3) = 27

14. 6,4 Кожне складання подвоює товщину, тож товщини утворюють геометричну прогресію зі знаменником 2: 0,1; 0,2; 0,4; … Початковий аркуш — перший член прогресії, тому після 6 складань маємо сьомий член: b₇ = 0,1 · 2⁶. 0,1 · 64 = 6,4 мм