Блок 3 · Тема 18 з 42

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 61 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Функції y = k/x, y = x², y = √x
Квадратична функція y = ax² + bx + c, a ≠ 0
Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Графік функції y = k/x проходить через точку A(−3; 4). Знайдіть k.
- А −12
- Б −4/3
- В −3/4
- Г 1
- Д 12
2одна правильна відповідь
Знайдіть область значень функції y = x² на відрізку [−2; 3].
- А [−4; 9]
- Б [0; 9]
- В [4; 9]
- Г [0; 3]
- Д [−2; 3]
3одна правильна відповідь
Через яку з точок проходить графік функції y = √x?
- А (−4; 2)
- Б (2; 4)
- В (4; −2)
- Г (9; 81)
- Д (0,25; 0,5)
4одна правильна відповідь
Знайдіть координати вершини параболи y = 2x² − 12x + 13.
- А (3; 13)
- Б (−3; 67)
- В (6; 13)
- Г (3; −5)
- Д (−5; 3)
5одна правильна відповідь
На рисунку зображено графік функції y = ax² + bx + c. Визначте знаки коефіцієнтів a і c.
- А a < 0, c > 0
- Б a < 0, c < 0
- В a > 0, c > 0
- Г a > 0, c < 0
- Д a < 0, c = 0
6одна правильна відповідь
Знайдіть область значень функції y = −2x² − 4x + 3.
- А (−∞; −3]
- Б (−∞; −1]
- В (−∞; 3]
- Г (−∞; 5]
- Д [5; +∞)
7одна правильна відповідь
Графік функції y = x² зсунули на 3 одиниці праворуч і на 2 одиниці вниз. Графік якої функції отримали?
- А y = (x + 3)² − 2
- Б y = (x − 3)² + 2
- В y = (x − 3)² − 2
- Г y = (x − 2)² − 3
- Д y = (x + 3)² + 2
8одна правильна відповідь
Як отримати графік функції y = √(x + 4) − 1 із графіка функції y = √x?
- А зсунути на 4 одиниці праворуч і на 1 одиницю вниз
- Б зсунути на 4 одиниці ліворуч і на 1 одиницю вгору
- В зсунути на 4 одиниці ліворуч і на 1 одиницю вниз
- Г зсунути на 1 одиницю ліворуч і на 4 одиниці вниз
- Д зсунути на 4 одиниці праворуч і на 1 одиницю вгору
9на відповідність
Установіть відповідність між квадратичною функцією (1–4) та її нулями (А–Д).
- 1) y = x² − 10x + 21
- 2) y = x² + 2x − 8
- 3) y = −x² + 16
- 4) y = 4x² + 12x
- А) −4 і 2
- Б) 3 і 7
- В) −4 і 4
- Г) −3 і 0
- Д) −2 і 4
10на відповідність
Установіть відповідність між функцією (1–4) та перетворенням, яке переводить графік функції y = f(x) у її графік (А–Д).
- 1) y = f(−x)
- 2) y = f(x) + 3
- 3) y = −f(x)
- 4) y = f(x + 3)
- А) паралельне перенесення на 3 одиниці вгору
- Б) паралельне перенесення на 3 одиниці ліворуч
- В) паралельне перенесення на 3 одиниці праворуч
- Г) симетрія відносно осі абсцис
- Д) симетрія відносно осі ординат
11коротка відповідь
Знайдіть абсцису точки перетину графіків функцій y = √x і y = x − 6.
Абсциса точки перетину
12коротка відповідь
Вершина параболи y = x² + bx + c лежить у точці (3; −2). Знайдіть c.
Значення c
13коротка відповідь
Парабола y = ax² + 4x − 1 дотикається до осі абсцис. Знайдіть a.
Значення a
14коротка відповідь
Графік функції y = f(x) проходить через точку A(2; −5). Через яку точку обов’язково проходить графік функції y = f(x − 3) + 4? У відповідь запишіть суму координат цієї точки.
Сума координат

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Графік функції y = k/x проходить через точку A(−3; 4). Знайдіть k.

А) −12
Б) −4/3
В) −3/4
Г) 1
Д) 12

Завдання 2. Знайдіть область значень функції y = x² на відрізку [−2; 3].

А) [−4; 9]
Б) [0; 9]
В) [4; 9]
Г) [0; 3]
Д) [−2; 3]

Завдання 3. Через яку з точок проходить графік функції y = √x?

А) (−4; 2)
Б) (2; 4)
В) (4; −2)
Г) (9; 81)
Д) (0,25; 0,5)

Завдання 4. Знайдіть координати вершини параболи y = 2x² − 12x + 13.

А) (3; 13)
Б) (−3; 67)
В) (6; 13)
Г) (3; −5)
Д) (−5; 3)

Завдання 5. На рисунку зображено графік функції y = ax² + bx + c. Визначте знаки коефіцієнтів a і c.

А) a < 0, c > 0
Б) a < 0, c < 0
В) a > 0, c > 0
Г) a > 0, c < 0
Д) a < 0, c = 0

Завдання 6. Знайдіть область значень функції y = −2x² − 4x + 3.

А) (−∞; −3]
Б) (−∞; −1]
В) (−∞; 3]
Г) (−∞; 5]
Д) [5; +∞)

Завдання 7. Графік функції y = x² зсунули на 3 одиниці праворуч і на 2 одиниці вниз. Графік якої функції отримали?

А) y = (x + 3)² − 2
Б) y = (x − 3)² + 2
В) y = (x − 3)² − 2
Г) y = (x − 2)² − 3
Д) y = (x + 3)² + 2

Завдання 8. Як отримати графік функції y = √(x + 4) − 1 із графіка функції y = √x?

А) зсунути на 4 одиниці праворуч і на 1 одиницю вниз
Б) зсунути на 4 одиниці ліворуч і на 1 одиницю вгору
В) зсунути на 4 одиниці ліворуч і на 1 одиницю вниз
Г) зсунути на 1 одиницю ліворуч і на 4 одиниці вниз
Д) зсунути на 4 одиниці праворуч і на 1 одиницю вгору

Завдання 9. Установіть відповідність між квадратичною функцією (1–4) та її нулями (А–Д).

1) y = x² − 10x + 21
2) y = x² + 2x − 8
3) y = −x² + 16
4) y = 4x² + 12x

А) −4 і 2
Б) 3 і 7
В) −4 і 4
Г) −3 і 0
Д) −2 і 4

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між функцією (1–4) та перетворенням, яке переводить графік функції y = f(x) у її графік (А–Д).

1) y = f(−x)
2) y = f(x) + 3
3) y = −f(x)
4) y = f(x + 3)

А) паралельне перенесення на 3 одиниці вгору
Б) паралельне перенесення на 3 одиниці ліворуч
В) паралельне перенесення на 3 одиниці праворуч
Г) симетрія відносно осі абсцис
Д) симетрія відносно осі ординат

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Знайдіть абсцису точки перетину графіків функцій y = √x і y = x − 6.

Відповідь:

Завдання 12. Вершина параболи y = x² + bx + c лежить у точці (3; −2). Знайдіть c.

Відповідь:

Завдання 13. Парабола y = ax² + 4x − 1 дотикається до осі абсцис. Знайдіть a.

Відповідь:

Завдання 14. Графік функції y = f(x) проходить через точку A(2; −5). Через яку точку обов’язково проходить графік функції y = f(x − 3) + 4? У відповідь запишіть суму координат цієї точки.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	А	Б	Д	Г	Б	Г	В	В	1Б 2А 3В 4Г	1Д 2А 3Г 4Б	9	7	−4	4

1. А Точка належить графіку, тому її координати задовольняють рівняння: 4 = k/(−3). k = 4 · (−3) = −12.

2. Б Відрізок [−2; 3] містить нуль, а x² ⩾ 0, тож найменше значення 0 досягається при x = 0. Найбільше значення — у точці, найвіддаленішій від нуля: 3² = 9, а (−2)² = 4 менше. Між 0 і 9 функція набуває всіх значень, тож область значень — [0; 9].

3. Д Точка (x; y) лежить на графіку y = √x, якщо x ⩾ 0 і y = √x, а отже, y ⩾ 0. √0,25 = 0,5, бо 0,5² = 0,25 і 0,5 ⩾ 0, — точка (0,25; 0,5) підходить. (−4; 2): корінь із від’ємного числа не визначений; (4; −2): арифметичний корінь не буває від’ємним; (2; 4) і (9; 81) лежать на параболі y = x², а не на графіку кореня.

4. Г Абсциса вершини: x₀ = −b/(2a) = 12 : 4 = 3. Ордината: y₀ = 2 · 3² − 12 · 3 + 13 = 18 − 36 + 13 = −5. Вершина — (3; −5).

5. Б Вітки параболи напрямлені вниз, отже, a < 0. Коефіцієнт c — це значення функції при x = 0, тобто ордината точки перетину графіка з віссю y. На рисунку парабола перетинає вісь ординат нижче від початку координат, тож c < 0.

6. Г a = −2 < 0, вітки параболи напрямлені вниз, тож функція має найбільше значення у вершині. x₀ = −b/(2a) = 4 : (−4) = −1; y₀ = −2 · (−1)² − 4 · (−1) + 3 = −2 + 4 + 3 = 5. Область значень: (−∞; 5].

7. В Зсув графіка y = f(x) на m одиниць праворуч дає y = f(x − m), тож маємо y = (x − 3)². Зсув на n одиниць униз віднімає n від функції: y = (x − 3)² − 2. Вершина параболи переходить із (0; 0) у (3; −2).

8. В y = √(x + 4) = √(x − (−4)) — це графік y = √x, зсунутий на 4 одиниці ліворуч. Доданок −1 поза коренем опускає графік на 1 одиницю вниз. Початкова точка графіка (0; 0) переходить у (−4; −1).

9. 1Б 2А 3В 4Г 1: корені x² − 10x + 21 = 0 мають суму 10 і добуток 21 — це 3 і 7. 2: корені x² + 2x − 8 = 0 мають суму −2 і добуток −8 — це −4 і 2. 3: −x² + 16 = 0, x² = 16, x = ±4. 4: 4x² + 12x = 4x(x + 3) = 0, тобто x = 0 або x = −3.

10. 1Д 2А 3Г 4Б 1: f(−x) — кожна точка (x; y) переходить у (−x; y), тобто симетрія відносно осі ординат. 2: f(x) + 3 — до кожного значення додається 3, тобто перенесення на 3 одиниці вгору. 3: −f(x) — значення змінюють знак, тобто симетрія відносно осі абсцис. 4: f(x + 3) — те саме значення досягається на 3 одиниці лівіше, тобто перенесення ліворуч.

11. 9 Прирівнюємо: √x = x − 6. Позначимо t = √x ⩾ 0, тоді t = t² − 6, тобто t² − t − 6 = 0. t = 3 або t = −2; від’ємне t не підходить, бо √x ⩾ 0. √x = 3, тож x = 9. Перевірка: √9 = 3 і 9 − 6 = 3.

12. 7 Абсциса вершини x₀ = −b/2 = 3, тож b = −6. Ордината вершини: 3² − 6 · 3 + c = −2, тобто 9 − 18 + c = −2. c = 7. Функція: y = x² − 6x + 7 = (x − 3)² − 2.

13. −4 Парабола дотикається до осі абсцис, коли рівняння ax² + 4x − 1 = 0 має рівно один корінь, тобто дискримінант дорівнює нулю. D = 4² − 4 · a · (−1) = 16 + 4a = 0. a = −4. Перевірка: −4x² + 4x − 1 = −(2x − 1)², єдиний нуль x = 0,5.

14. 4 Графік y = f(x − 3) + 4 — це графік y = f(x), зсунутий на 3 одиниці праворуч і на 4 одиниці вгору. Точка A(2; −5) переходить у точку (2 + 3; −5 + 4) = (5; −1). Перевірка: при x = 5 маємо f(5 − 3) + 4 = f(2) + 4 = −5 + 4 = −1. Сума координат: 5 + (−1) = 4.