Блок 7 · Тема 39 з 42

Конус. Куля. Сфера — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 63 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Конус
Куля
Сфера
Взаємне розміщення кулі і площини
Практична частина

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Твірна конуса дорівнює 17 см, а радіус основи — 8 см. Знайдіть висоту конуса.
- А 3 см
- Б 8,5 см
- В 9 см
- Г 15 см
- Д 25 см
2одна правильна відповідь
Площа осьового перерізу конуса дорівнює 48 см², а висота конуса — 8 см. Знайдіть радіус основи.
- А 3 см
- Б 6 см
- В 8 см
- Г 12 см
- Д 24 см
3одна правильна відповідь
Твірна конуса дорівнює 8 см і нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть радіус основи конуса.
- А 2√3 см
- Б 4 см
- В 8√3/3 см
- Г 4√3 см
- Д 8√3 см
4одна правильна відповідь
Радіус основи конуса дорівнює 5 см, а висота — 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.
- А 65π см²
- Б 90π см²
- В 100π см²
- Г 130π см²
- Д 169π см²
5одна правильна відповідь
Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник, а висота конуса дорівнює 9 см. Знайдіть об’єм конуса.
- А 27π см³
- Б 81π см³
- В 243π см³
- Г 486π см³
- Д 729π см³
6одна правильна відповідь
Площа поверхні кулі дорівнює 64π см². Знайдіть об’єм кулі.
- А 64π/3 см³
- Б 64π см³
- В 256π/3 см³
- Г 256π см³
- Д 2048π/3 см³
7одна правильна відповідь
Кулю радіуса 13 см перетнули площиною, віддаленою від центра кулі на 5 см. Знайдіть площу перерізу.
- А 12π см²
- Б 24π см²
- В 64π см²
- Г 144π см²
- Д 169π см²
8одна правильна відповідь
Площина дотикається до кулі радіуса 6 см у точці A. Точка B лежить у цій площині на відстані 8 см від точки A. Знайдіть відстань від точки B до центра кулі.
- А 2 см
- Б 2√7 см
- В 10 см
- Г 12 см
- Д 14 см
9на відповідність
Радіус основи конуса дорівнює 3 см, а висота — 4 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А–Д). Довжини подано в сантиметрах, площі — у квадратних сантиметрах, об’єм — у кубічних.
- 1) об’єм конуса
- 2) твірна конуса
- 3) площа осьового перерізу
- 4) площа бічної поверхні
- А) 5
- Б) 12
- В) 12π
- Г) 15π
- Д) 24π
10на відповідність
Установіть відповідність між умовою (1–4) та радіусом кулі, про яку в ній ідеться (А–Д).
- 1) об’єм кулі дорівнює 36π см³
- 2) площа поверхні кулі дорівнює 100π см²
- 3) площа великого круга дорівнює 16π см²
- 4) переріз кулі площиною, віддаленою від центра на 8 см, має площу 36π см²
- А) 3 см
- Б) 4 см
- В) 5 см
- Г) 6 см
- Д) 10 см
11коротка відповідь
Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з центральним кутом 120° і радіусом 15 см. Знайдіть радіус основи конуса (у см).
Радіус у сантиметрах
12коротка відповідь
Прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см обертають навколо меншого катета. Знайдіть об’єм утвореного конуса (у см³). У відповідь запишіть значення V/π.
Значення V/π
13коротка відповідь
У циліндричну посудину з радіусом основи 4 см налито воду. У неї повністю занурили металеву кулю радіуса 3 см, і вода не перелилася. На скільки сантиметрів піднявся рівень води?
Підйом рівня в сантиметрах
14коротка відповідь
Площина, перпендикулярна до діаметра кулі, ділить цей діаметр на відрізки 4 см і 16 см. Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною (у см²). У відповідь запишіть значення S/π.
Значення S/π

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Конус. Куля. Сфера — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Твірна конуса дорівнює 17 см, а радіус основи — 8 см. Знайдіть висоту конуса.

А) 3 см
Б) 8,5 см
В) 9 см
Г) 15 см
Д) 25 см

Завдання 2. Площа осьового перерізу конуса дорівнює 48 см², а висота конуса — 8 см. Знайдіть радіус основи.

А) 3 см
Б) 6 см
В) 8 см
Г) 12 см
Д) 24 см

Завдання 3. Твірна конуса дорівнює 8 см і нахилена до площини основи під кутом 30°. Знайдіть радіус основи конуса.

А) 2√3 см
Б) 4 см
В) 8√3/3 см
Г) 4√3 см
Д) 8√3 см

Завдання 4. Радіус основи конуса дорівнює 5 см, а висота — 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

А) 65π см²
Б) 90π см²
В) 100π см²
Г) 130π см²
Д) 169π см²

Завдання 5. Осьовий переріз конуса — прямокутний трикутник, а висота конуса дорівнює 9 см. Знайдіть об’єм конуса.

А) 27π см³
Б) 81π см³
В) 243π см³
Г) 486π см³
Д) 729π см³

Завдання 6. Площа поверхні кулі дорівнює 64π см². Знайдіть об’єм кулі.

А) 64π/3 см³
Б) 64π см³
В) 256π/3 см³
Г) 256π см³
Д) 2048π/3 см³

Завдання 7. Кулю радіуса 13 см перетнули площиною, віддаленою від центра кулі на 5 см. Знайдіть площу перерізу.

А) 12π см²
Б) 24π см²
В) 64π см²
Г) 144π см²
Д) 169π см²

Завдання 8. Площина дотикається до кулі радіуса 6 см у точці A. Точка B лежить у цій площині на відстані 8 см від точки A. Знайдіть відстань від точки B до центра кулі.

А) 2 см
Б) 2√7 см
В) 10 см
Г) 12 см
Д) 14 см

Завдання 9. Радіус основи конуса дорівнює 3 см, а висота — 4 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її числовим значенням (А–Д). Довжини подано в сантиметрах, площі — у квадратних сантиметрах, об’єм — у кубічних.

1) об’єм конуса
2) твірна конуса
3) площа осьового перерізу
4) площа бічної поверхні

А) 5
Б) 12
В) 12π
Г) 15π
Д) 24π

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між умовою (1–4) та радіусом кулі, про яку в ній ідеться (А–Д).

1) об’єм кулі дорівнює 36π см³
2) площа поверхні кулі дорівнює 100π см²
3) площа великого круга дорівнює 16π см²
4) переріз кулі площиною, віддаленою від центра на 8 см, має площу 36π см²

А) 3 см
Б) 4 см
В) 5 см
Г) 6 см
Д) 10 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Розгорткою бічної поверхні конуса є сектор з центральним кутом 120° і радіусом 15 см. Знайдіть радіус основи конуса (у см).

Відповідь:

Завдання 12. Прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см обертають навколо меншого катета. Знайдіть об’єм утвореного конуса (у см³). У відповідь запишіть значення V/π.

Відповідь:

Завдання 13. У циліндричну посудину з радіусом основи 4 см налито воду. У неї повністю занурили металеву кулю радіуса 3 см, і вода не перелилася. На скільки сантиметрів піднявся рівень води?

Відповідь:

Завдання 14. Площина, перпендикулярна до діаметра кулі, ділить цей діаметр на відрізки 4 см і 16 см. Знайдіть площу перерізу кулі цією площиною (у см²). У відповідь запишіть значення S/π.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Б	Г	А	В	В	Г	В	1В 2А 3Б 4Г	1А 2В 3Б 4Д	5	128	2,25	64

1. Г Висота, радіус основи і твірна утворюють прямокутний трикутник, у якому твірна — гіпотенуза. h² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225. h = 15 см.

2. Б Осьовий переріз конуса — рівнобедрений трикутник з основою 2r (діаметр) і висотою h. S = 1/2 · 2r · h = r · h, тобто r · 8 = 48. r = 6 см.

3. Г Твірна, висота й радіус утворюють прямокутний трикутник; кут 30° — між твірною і радіусом. Радіус — катет, прилеглий до цього кута: r = l · cos 30° = 8 · √3/2. r = 4√3 см.

4. А Твірна: l = √(5² + 12²) = √169 = 13 см. S бічна = πrl = π · 5 · 13 = 65π см².

5. В Осьовий переріз — рівнобедрений трикутник, тож прямим може бути лише кут при вершині, а кути при основі — по 45°. Висота ділить переріз на два рівнобедрені прямокутні трикутники, тому r = h = 9 см. V = 1/3 · πr²h = 1/3 · π · 81 · 9 = 243π см³.

6. В Площа сфери: 4πR² = 64π, звідси R² = 16 і R = 4 см. V = 4/3 · πR³ = 4/3 · π · 64 = 256π/3 см³.

7. Г Переріз кулі площиною — круг. Його радіус r, відстань d = 5 см і радіус кулі R = 13 см утворюють прямокутний трикутник. r² = R² − d² = 169 − 25 = 144, r = 12 см. S = πr² = 144π см².

8. В Радіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної площини: OA ⊥ AB. Трикутник OAB прямокутний з катетами OA = 6 см і AB = 8 см. OB = √(36 + 64) = 10 см.

9. 1В 2А 3Б 4Г Твірна: l = √(3² + 4²) = 5 см. Осьовий переріз — трикутник з основою 6 см і висотою 4 см: площа 1/2 · 6 · 4 = 12 см². Бічна поверхня: πrl = π · 3 · 5 = 15π см². Об’єм: 1/3 · πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π см³.

10. 1А 2В 3Б 4Д 4/3 · πR³ = 36π, тож R³ = 27 і R = 3 см. 4πR² = 100π, тож R² = 25 і R = 5 см. Великий круг має радіус кулі: πR² = 16π, R = 4 см. Радіус перерізу r = 6 см, бо πr² = 36π; тоді R = √(8² + 6²) = 10 см.

11. 5 Радіус сектора — це твірна конуса: l = 15 см. Довжина дуги сектора: 2π · 15 · 120/360 = 10π см. Ця дуга згортається в коло основи. 2πr = 10π, тож r = 5 см.

12. 128 Катет, навколо якого обертають, стає висотою: h = 6 см. Другий катет стає радіусом основи: r = 8 см. V = 1/3 · πr²h = 1/3 · π · 64 · 6 = 128π см³. V/π = 128.

13. 2,25 Об’єм витісненої води дорівнює об’єму кулі: 4/3 · π · 3³ = 36π см³. Ця вода утворює в посудині шар-циліндр з радіусом 4 см і висотою x: π · 4² · x = 36π. 16x = 36, x = 2,25 см.

14. 64 Діаметр кулі: 4 + 16 = 20 см, радіус R = 10 см. Відстань від центра до площини: d = 10 − 4 = 6 см. Радіус перерізу: r² = R² − d² = 100 − 36 = 64. S = πr² = 64π см², тож S/π = 64.