Блок 2 · Тема 12 з 42

Теорема косинусів. Теорема синусів — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 58 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз домашнього завдання
Теорема косинусів
Теорема синусів
Знаходження невідомих елементів трикутника. Прикладні задачі

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 16 см, а кут між ними — 120°. Знайдіть третю сторону трикутника.
- А 11 см
- Б √201 см
- В √281 см
- Г 19 см
- Д 21 см
2одна правильна відповідь
У трикутнику ABC BC = 6√2 см, ∠A = 45°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.
- А 3 см
- Б 3√2 см
- В 6 см
- Г 6√2 см
- Д 12 см
3одна правильна відповідь
Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см. Знайдіть косинус найменшого кута трикутника.
- А −1/8
- Б 1/8
- В 9/16
- Г 2/3
- Д 3/4
4одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠B = 60°, ∠C = 45°, AB = 4√6 см. Знайдіть AC.
- А 2√6 см
- Б 4√3 см
- В 8 см
- Г 12 см
- Д 12√2 см
5одна правильна відповідь
У трикутнику ABC AB = 7 см, BC = 13 см, ∠A = 120°. Знайдіть AC.
- А 6 см
- Б 8 см
- В 10 см
- Г √218 см
- Д 15 см
6одна правильна відповідь
Два катери одночасно вийшли з однієї пристані прямолінійними курсами, кут між якими дорівнює 60°. Швидкість першого катера — 16 км/год, другого — 30 км/год. Якою буде відстань між катерами через 2 год?
- А 26 км
- Б 28 км
- В 52 км
- Г 68 км
- Д 92 км
7одна правильна відповідь
Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 15 см, а один із його кутів — 60°. Знайдіть меншу діагональ паралелограма.
- А 8 см
- Б 13 см
- В √274 см
- Г √379 см
- Д 22 см
8одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°. Знайдіть відношення BC : AC.
- А 2 : 3
- Б 3 : 4
- В √2 : √3
- Г √3 : √2
- Д 4 : 3
9на відповідність
У трикутнику ABC AB = 3 см, AC = 8 см, ∠A = 60°. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) довжина сторони BC (у см)
- 2) cos B
- 3) cos C
- 4) радіус описаного кола (у см)
- А) −1/7
- Б) 1/7
- В) 7
- Г) 13/14
- Д) 7√3/3
10на відповідність
У трикутнику ABC ∠A = 30°, ∠B = 45°, BC = 4 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).
- 1) радіус описаного кола (у см)
- 2) довжина сторони AC (у см)
- 3) градусна міра кута C
- 4) висота, проведена з вершини C (у см)
- А) 4√2
- Б) 105°
- В) 2√2
- Г) 4
- Д) 8
11коротка відповідь
У трикутнику ABC AB = 6 см, AC = 7 см, cos A = 0,25. Знайдіть BC (у см).
Довжина в сантиметрах
12коротка відповідь
Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 9 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до сторони завдовжки 8 см (у см).
Довжина в сантиметрах
13коротка відповідь
Щоб знайти довжину озера AB, з точки C на березі виміряли відстані CA = 240 м і CB = 350 м, а також кут ACB, що дорівнює 60°. Знайдіть довжину озера AB (у метрах).
Довжина в метрах
14коротка відповідь
Три ліхтарі A, B і C стоять на краю круглого майданчика. Відстань між ліхтарями A і B дорівнює 9 м, а кут ACB дорівнює 150°. Знайдіть радіус майданчика (у метрах).
Радіус у метрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Теорема косинусів. Теорема синусів — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 16 см, а кут між ними — 120°. Знайдіть третю сторону трикутника.

А) 11 см
Б) √201 см
В) √281 см
Г) 19 см
Д) 21 см

Завдання 2. У трикутнику ABC BC = 6√2 см, ∠A = 45°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

А) 3 см
Б) 3√2 см
В) 6 см
Г) 6√2 см
Д) 12 см

Завдання 3. Сторони трикутника дорівнюють 4 см, 5 см і 6 см. Знайдіть косинус найменшого кута трикутника.

А) −1/8
Б) 1/8
В) 9/16
Г) 2/3
Д) 3/4

Завдання 4. У трикутнику ABC ∠B = 60°, ∠C = 45°, AB = 4√6 см. Знайдіть AC.

А) 2√6 см
Б) 4√3 см
В) 8 см
Г) 12 см
Д) 12√2 см

Завдання 5. У трикутнику ABC AB = 7 см, BC = 13 см, ∠A = 120°. Знайдіть AC.

А) 6 см
Б) 8 см
В) 10 см
Г) √218 см
Д) 15 см

Завдання 6. Два катери одночасно вийшли з однієї пристані прямолінійними курсами, кут між якими дорівнює 60°. Швидкість першого катера — 16 км/год, другого — 30 км/год. Якою буде відстань між катерами через 2 год?

А) 26 км
Б) 28 км
В) 52 км
Г) 68 км
Д) 92 км

Завдання 7. Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 15 см, а один із його кутів — 60°. Знайдіть меншу діагональ паралелограма.

А) 8 см
Б) 13 см
В) √274 см
Г) √379 см
Д) 22 см

Завдання 8. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°. Знайдіть відношення BC : AC.

А) 2 : 3
Б) 3 : 4
В) √2 : √3
Г) √3 : √2
Д) 4 : 3

Завдання 9. У трикутнику ABC AB = 3 см, AC = 8 см, ∠A = 60°. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).

1) довжина сторони BC (у см)
2) cos B
3) cos C
4) радіус описаного кола (у см)

А) −1/7
Б) 1/7
В) 7
Г) 13/14
Д) 7√3/3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. У трикутнику ABC ∠A = 30°, ∠B = 45°, BC = 4 см. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням (А–Д).

1) радіус описаного кола (у см)
2) довжина сторони AC (у см)
3) градусна міра кута C
4) висота, проведена з вершини C (у см)

А) 4√2
Б) 105°
В) 2√2
Г) 4
Д) 8

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. У трикутнику ABC AB = 6 см, AC = 7 см, cos A = 0,25. Знайдіть BC (у см).

Відповідь:

Завдання 12. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 9 см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до сторони завдовжки 8 см (у см).

Відповідь:

Завдання 13. Щоб знайти довжину озера AB, з точки C на березі виміряли відстані CA = 240 м і CB = 350 м, а також кут ACB, що дорівнює 60°. Знайдіть довжину озера AB (у метрах).

Відповідь:

Завдання 14. Три ліхтарі A, B і C стоять на краю круглого майданчика. Відстань між ліхтарями A і B дорівнює 9 м, а кут ACB дорівнює 150°. Знайдіть радіус майданчика (у метрах).

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	В	Д	Г	Б	В	Б	В	1В 2А 3Г 4Д	1Г 2А 3Б 4В	8	7	310	9

1. Г За теоремою косинусів c² = a² + b² − 2ab · cos 120°, а cos 120° = −1/2. c² = 25 + 256 − 2 · 5 · 16 · (−1/2) = 281 + 80 = 361 c = 19 см

2. В З теореми синусів BC/sin A = 2R. 2R = 6√2 : (√2/2) = 12 см. R = 6 см

3. Д Найменший кут лежить проти найменшої сторони, 4 см. cos α = (5² + 6² − 4²)/(2 · 5 · 6) = (25 + 36 − 16)/60 = 45/60 cos α = 3/4

4. Г За теоремою синусів AC/sin B = AB/sin C: сторони пропорційні синусам протилежних кутів. AC = AB · sin 60° : sin 45° = 4√6 · (√3/2) : (√2/2) = 4√6 · √3/√2. AC = 4 · √(6 · 3 : 2) = 4 · √9 = 12 см.

5. Б Позначимо AC = x. Кут A лежить між сторонами AB і AC, а проти нього — сторона BC. За теоремою косинусів: 13² = 7² + x² − 2 · 7 · x · cos 120° = 49 + x² + 7x. x² + 7x − 120 = 0, корені x = 8 і x = −15. Довжина додатна, тому AC = 8 см.

6. В За 2 год катери пройдуть 32 км і 60 км; ці відрізки утворюють кут 60°. d² = 32² + 60² − 2 · 32 · 60 · 1/2 = 1024 + 3600 − 1920 = 2704 d = 52 км

7. Б Менша діагональ лежить проти гострого кута 60° у трикутнику, утвореному двома сусідніми сторонами. d² = 7² + 15² − 2 · 7 · 15 · cos 60° = 49 + 225 − 105 = 169 d = 13 см

8. В За теоремою синусів сторони пропорційні синусам протилежних кутів: BC/sin A = AC/sin B. BC : AC = sin 45° : sin 60° = (√2/2) : (√3/2) BC : AC = √2 : √3

9. 1В 2А 3Г 4Д BC² = 9 + 64 − 2 · 3 · 8 · 1/2 = 49, BC = 7 см. cos B = (AB² + BC² − AC²)/(2 · AB · BC) = (9 + 49 − 64)/42 = −6/42 = −1/7. cos C = (AC² + BC² − AB²)/(2 · AC · BC) = (64 + 49 − 9)/112 = 104/112 = 13/14. R = BC/(2 sin A) = 7 : √3 = 7√3/3 см.

10. 1Г 2А 3Б 4В 2R = BC/sin A = 4 : (1/2) = 8, тому R = 4 см. AC = 2R · sin B = 8 · √2/2 = 4√2 см. ∠C = 180° − 30° − 45° = 105°. Висота з вершини C: h = BC · sin B = 4 · √2/2 = 2√2 см.

11. 8 BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A BC² = 36 + 49 − 2 · 6 · 7 · 0,25 = 85 − 21 = 64 BC = 8 см

12. 7 Нехай AB = 7 см, BC = 8 см, AC = 9 см, AM — медіана, тоді BM = 4 см. З трикутника ABC: cos B = (7² + 8² − 9²)/(2 · 7 · 8) = 32/112 = 2/7. З трикутника ABM: AM² = 7² + 4² − 2 · 7 · 4 · 2/7 = 49 + 16 − 16 = 49. AM = 7 см

13. 310 За теоремою косинусів AB² = CA² + CB² − 2 · CA · CB · cos 60° = CA² + CB² − CA · CB. Зручно рахувати в десятках метрів: 24² + 35² − 24 · 35 = 576 + 1225 − 840 = 961. √961 = 31, тобто AB = 310 м.

14. 9 Край майданчика — коло, описане навколо трикутника ABC, тому за теоремою синусів AB/sin C = 2R. sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1/2. 2R = 9 : (1/2) = 18, тому R = 9 м.