Блок 3 · Тема 15 з 42

Числові проміжки. Лінійні нерівності та їх системи — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 64 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Числові проміжки
Нерівності. Лінійні нерівності
Системи лінійних нерівностей

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Скільки цілих чисел належить проміжку [−2,7; 4)?
- А 4
- Б 5
- В 6
- Г 7
- Д 8
2одна правильна відповідь
Укажіть переріз проміжків [−3; 5) і (1; 8].
- А [−3; 8]
- Б (1; 5)
- В [1; 5]
- Г (1; 5]
- Д [−3; 1)
3одна правильна відповідь
Числа p і q такі, що p < q. Яка з наведених нерівностей обов’язково правильна?
- А p + 4 > q + 4
- Б −3p < −3q
- В 5 − p < 5 − q
- Г p − q > 0
- Д 2p − 1 < 2q − 1
4одна правильна відповідь
Відомо, що 2 < x < 5 і 1 < y < 3. Оцініть значення виразу x − y.
- А 1 < x − y < 2
- Б −1 < x − y < 4
- В −1 < x − y < 2
- Г 1 < x − y < 4
- Д 3 < x − y < 8
5одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність 4 − 3x ⩾ 2x + 19.
- А (−∞; −3]
- Б [−3; +∞)
- В (−∞; −3)
- Г (−∞; 3]
- Д [3; +∞)
6одна правильна відповідь
Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності (x − 4)/3 − x/2 < 1.
- А −15
- Б −14
- В −13
- Г −9
- Д −8
7одна правильна відповідь
Розв’яжіть систему нерівностей: 2x − 1 > 3 і 7 − x ⩾ 2.
- А (2; 5)
- Б [2; 5)
- В (−∞; 5]
- Г (2; 5]
- Д (2; +∞)
8одна правильна відповідь
Скільки цілих розв’язків має система нерівностей 3x + 4 ⩾ x − 6 і 5 − 2x > 1 − x?
- А 7
- Б 8
- В 9
- Г 10
- Д 11
9на відповідність
Установіть відповідність між нерівністю зі змінною x (1–4) та відповіддю до неї (А–Д).
- 1) 3x − 7 < 2
- 2) 4 − x ⩽ 1
- 3) 2(x + 1) > 2x − 5
- 4) 6 − 2x ⩾ 2(4 − x)
- А) розв’язків немає
- Б) (−∞; 3)
- В) (−∞; 3]
- Г) [3; +∞)
- Д) (−∞; +∞)
10на відповідність
Установіть відповідність між системою нерівностей (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).
- 1) 2x + 3 > 1 і x − 4 < 0
- 2) 3x ⩾ 12 і x + 5 ⩾ 4
- 3) 1 − x ⩾ 2 і 2x ⩾ 8
- 4) 5x ⩽ −5 і x − 4 < 0
- А) розв’язків немає
- Б) (−∞; −1]
- В) (−1; 4)
- Г) [−1; 4]
- Д) [4; +∞)
11коротка відповідь
Скільки цілих чисел належить об’єднанню проміжків (−√10; 1] і (3; √40)?
Кількість цілих чисел
12коротка відповідь
Відомо, що −4 < x ⩽ 1. Скільки цілих значень може набувати вираз 3 − 2x?
Кількість цілих значень
13коротка відповідь
Прокат велосипеда коштує 40 грн за оформлення і 25 грн за кожну годину катання. Яку найбільшу цілу кількість годин можна кататися, маючи 230 грн?
Кількість годин
14коротка відповідь
Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей (x + 1)/2 ⩾ x − 3 і 3(x + 2) > x.
Сума цілих розв’язків

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Числові проміжки. Лінійні нерівності та їх системи — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Скільки цілих чисел належить проміжку [−2,7; 4)?

А) 4
Б) 5
В) 6
Г) 7
Д) 8

Завдання 2. Укажіть переріз проміжків [−3; 5) і (1; 8].

А) [−3; 8]
Б) (1; 5)
В) [1; 5]
Г) (1; 5]
Д) [−3; 1)

Завдання 3. Числа p і q такі, що p < q. Яка з наведених нерівностей обов’язково правильна?

А) p + 4 > q + 4
Б) −3p < −3q
В) 5 − p < 5 − q
Г) p − q > 0
Д) 2p − 1 < 2q − 1

Завдання 4. Відомо, що 2 < x < 5 і 1 < y < 3. Оцініть значення виразу x − y.

А) 1 < x − y < 2
Б) −1 < x − y < 4
В) −1 < x − y < 2
Г) 1 < x − y < 4
Д) 3 < x − y < 8

Завдання 5. Розв’яжіть нерівність 4 − 3x ⩾ 2x + 19.

А) (−∞; −3]
Б) [−3; +∞)
В) (−∞; −3)
Г) (−∞; 3]
Д) [3; +∞)

Завдання 6. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності (x − 4)/3 − x/2 < 1.

А) −15
Б) −14
В) −13
Г) −9
Д) −8

Завдання 7. Розв’яжіть систему нерівностей: 2x − 1 > 3 і 7 − x ⩾ 2.

А) (2; 5)
Б) [2; 5)
В) (−∞; 5]
Г) (2; 5]
Д) (2; +∞)

Завдання 8. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей 3x + 4 ⩾ x − 6 і 5 − 2x > 1 − x?

А) 7
Б) 8
В) 9
Г) 10
Д) 11

Завдання 9. Установіть відповідність між нерівністю зі змінною x (1–4) та відповіддю до неї (А–Д).

1) 3x − 7 < 2
2) 4 − x ⩽ 1
3) 2(x + 1) > 2x − 5
4) 6 − 2x ⩾ 2(4 − x)

А) розв’язків немає
Б) (−∞; 3)
В) (−∞; 3]
Г) [3; +∞)
Д) (−∞; +∞)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між системою нерівностей (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).

1) 2x + 3 > 1 і x − 4 < 0
2) 3x ⩾ 12 і x + 5 ⩾ 4
3) 1 − x ⩾ 2 і 2x ⩾ 8
4) 5x ⩽ −5 і x − 4 < 0

А) розв’язків немає
Б) (−∞; −1]
В) (−1; 4)
Г) [−1; 4]
Д) [4; +∞)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Скільки цілих чисел належить об’єднанню проміжків (−√10; 1] і (3; √40)?

Відповідь:

Завдання 12. Відомо, що −4 < x ⩽ 1. Скільки цілих значень може набувати вираз 3 − 2x?

Відповідь:

Завдання 13. Прокат велосипеда коштує 40 грн за оформлення і 25 грн за кожну годину катання. Яку найбільшу цілу кількість годин можна кататися, маючи 230 грн?

Відповідь:

Завдання 14. Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей (x + 1)/2 ⩾ x − 3 і 3(x + 2) > x.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	В	Б	Д	Б	А	В	Г	В	1Б 2Г 3Д 4А	1В 2Д 3А 4Б	8	10	7	25

1. В Проміжок [−2,7; 4) містить усі числа від −2,7 включно до 4, а саме число 4 до нього не входить (кругла дужка). Найменше ціле число в ньому — −2, бо −3 < −2,7; найбільше — 3. Цілі числа: −2, −1, 0, 1, 2, 3 — їх шість.

2. Б Переріз — це числа, які належать обом проміжкам одночасно. Лівий кінець перерізу — більший із лівих кінців, тобто 1; він не входить, бо (1; 8] відкритий зліва. Правий кінець — менший із правих, тобто 5; він не входить, бо [−3; 5) відкритий справа. Переріз: (1; 5).

3. Д Якщо до обох частин нерівності додати або відняти те саме число чи помножити їх на додатне число, знак зберігається. Тому 2p < 2q, а отже, 2p − 1 < 2q − 1 — правильно. Множення на −3 і віднімання від 5 змінюють знак: −3p > −3q, 5 − p > 5 − q; а p − q < 0, бо p менше за q.

4. Б Різницю оцінюють як суму x + (−y). Помножимо 1 < y < 3 на −1: −3 < −y < −1. Почленно додаємо нерівності одного знака: 2 + (−3) < x − y < 5 + (−1). Отже, −1 < x − y < 4.

5. А Переносимо доданки зі змінною ліворуч, а числа — праворуч: −3x − 2x ⩾ 19 − 4. −5x ⩾ 15. Ділимо на −5 і змінюємо знак: x ⩽ −3. Множина розв’язків — (−∞; −3]; число −3 входить, бо нерівність нестрога.

6. В Множимо обидві частини на 6 — спільний знаменник: 2(x − 4) − 3x < 6. 2x − 8 − 3x < 6, тобто −x < 14, звідси x > −14. Число −14 не входить (нерівність строга), тож найменший цілий розв’язок — −13.

7. Г Розв’язуємо кожну нерівність: 2x > 4, тобто x > 2; −x ⩾ −5, тобто x ⩽ 5. Розв’язок системи — переріз: числа, більші за 2 і не більші за 5. Записуємо його як (2; 5]: число 2 не входить, число 5 входить.

8. В Перша нерівність: 3x − x ⩾ −6 − 4, тобто 2x ⩾ −10 і x ⩾ −5. Друга: −2x + x > 1 − 5, тобто −x > −4 і x < 4. Розв’язок системи — [−5; 4). Цілі числа в ньому: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — їх дев’ять.

9. 1Б 2Г 3Д 4А 1: 3x < 9, x < 3 — проміжок (−∞; 3). 2: −x ⩽ −3, x ⩾ 3 — проміжок [3; +∞). 3: 2x + 2 > 2x − 5 зводиться до 2 > −5 — це правильно за будь-якого x, тож розв’язок (−∞; +∞). 4: 6 − 2x ⩾ 8 − 2x зводиться до 6 ⩾ 8 — це хибно за будь-якого x, тож розв’язків немає.

10. 1В 2Д 3А 4Б 1: x > −1 і x < 4 — переріз (−1; 4). 2: x ⩾ 4 і x ⩾ −1 — обидві умови виконуються при x ⩾ 4, тобто [4; +∞). 3: x ⩽ −1 і x ⩾ 4 — таких чисел немає, система розв’язків не має. 4: x ⩽ −1 і x < 4 — переріз (−∞; −1].

11. 8 3² = 9 < 10 < 16 = 4², тому −4 < −√10 < −3. У проміжку (−√10; 1] цілі числа −3, −2, −1, 0, 1 — їх п’ять. 6² = 36 < 40 < 49 = 7², тому 6 < √40 < 7. У проміжку (3; √40) цілі числа 4, 5, 6 — їх три, бо 3 не входить. Проміжки не мають спільних точок, тому разом 5 + 3 = 8 цілих чисел.

12. 10 Множимо нерівність −4 < x ⩽ 1 на −2 і змінюємо обидва знаки: −2 ⩽ −2x < 8. Додаємо 3: 1 ⩽ 3 − 2x < 11. Вираз набуває всіх значень із проміжку [1; 11); цілі серед них — 1, 2, …, 10, тобто 10 значень.

13. 7 Нехай t — кількість годин. Вартість 40 + 25t не має перевищувати 230 грн: 40 + 25t ⩽ 230. 25t ⩽ 190, звідси t ⩽ 7,6. Найбільше ціле t, що задовольняє нерівність, — 7.

14. 25 Перша нерівність: множимо на 2 — x + 1 ⩾ 2x − 6, звідси x ⩽ 7. Друга: 3x + 6 > x, тобто 2x > −6 і x > −3. Розв’язок системи — (−3; 7]. Цілі числа: −2, −1, 0, …, 7; пари −2 і 2, −1 і 1 дають нуль, тож сума 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.