Блок 5 · Тема 28 з 42

Тотожні перетворення тригонометричних виразів — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 53 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Формули зведення
Формули додавання і подвійного кута
Формули пониження степеня
Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Спростіть вираз cos(3π/2 − α).
- А sin α
- Б −sin α
- В cos α
- Г −cos α
- Д −tg α
2одна правильна відповідь
Спростіть вираз tg(π − α) · ctg(3π/2 + α).
- А tg²α
- Б −tg²α
- В 1
- Г −1
- Д ctg²α
3одна правильна відповідь
Спростіть вираз sin 5x cos 2x − cos 5x sin 2x.
- А cos 3x
- Б sin 7x
- В cos 7x
- Г sin 3x
- Д sin 10x
4одна правильна відповідь
Обчисліть cos 75°.
- А (√6 + √2)/4
- Б (√2 + √3)/2
- В (√6 − √2)/4
- Г (√2 − √6)/4
- Д (√6 − √2)/2
5одна правильна відповідь
Укажіть вираз, тотожно рівний sin²3x.
- А (1 + cos 6x)/2
- Б (1 − cos 3x)/2
- В (1 − cos 6x)/2
- Г 1 − cos 6x
- Д (1 − cos 9x)/2
6одна правильна відповідь
Обчисліть cos²15°.
- А (2 − √3)/4
- Б (2 + √3)/2
- В √3/2
- Г (1 + √3)/4
- Д (2 + √3)/4
7одна правильна відповідь
Подайте у вигляді добутку вираз cos 3x − cos 7x.
- А 2sin 5x sin 2x
- Б −2sin 5x sin 2x
- В 2cos 5x cos 2x
- Г −2cos 5x sin 2x
- Д cos 4x
8одна правильна відповідь
Обчисліть sin 75° − sin 15°.
- А √3/2
- Б √6/2
- В 1/2
- Г √2/2
- Д √2
9на відповідність
Установіть відповідність між тригонометричним виразом для кута, більшого за 90° (1–4), та його значенням (А–Д).
- 1) sin 120°
- 2) cos 135°
- 3) tg 210°
- 4) ctg 300°
- А) −√3/3
- Б) √3/2
- В) −√2/2
- Г) −√3/2
- Д) √3/3
10на відповідність
Відомо, що sin α = 3/5 і 0 < α < π/2. Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) sin 2α
- 2) cos 2α
- 3) tg 2α
- 4) tg(α + π/4)
- А) 7/25
- Б) 24/25
- В) 24/7
- Г) 7
- Д) 1/7
11коротка відповідь
Відомо, що cos 2α = 0,44. Знайдіть sin²α.
Значення sin²α
12коротка відповідь
Обчисліть (cos 15° + cos 75°)².
Значення виразу
13коротка відповідь
α і β — гострі кути, tg α = 1/2, tg β = 1/3. Знайдіть α + β. Відповідь дайте в градусах.
Кут у градусах
14коротка відповідь
Обчисліть 2sin 870° + tg 1125°.
Значення виразу

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Тотожні перетворення тригонометричних виразів — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Спростіть вираз cos(3π/2 − α).

А) sin α
Б) −sin α
В) cos α
Г) −cos α
Д) −tg α

Завдання 2. Спростіть вираз tg(π − α) · ctg(3π/2 + α).

А) tg²α
Б) −tg²α
В) 1
Г) −1
Д) ctg²α

Завдання 3. Спростіть вираз sin 5x cos 2x − cos 5x sin 2x.

А) cos 3x
Б) sin 7x
В) cos 7x
Г) sin 3x
Д) sin 10x

Завдання 4. Обчисліть cos 75°.

А) (√6 + √2)/4
Б) (√2 + √3)/2
В) (√6 − √2)/4
Г) (√2 − √6)/4
Д) (√6 − √2)/2

Завдання 5. Укажіть вираз, тотожно рівний sin²3x.

А) (1 + cos 6x)/2
Б) (1 − cos 3x)/2
В) (1 − cos 6x)/2
Г) 1 − cos 6x
Д) (1 − cos 9x)/2

Завдання 6. Обчисліть cos²15°.

А) (2 − √3)/4
Б) (2 + √3)/2
В) √3/2
Г) (1 + √3)/4
Д) (2 + √3)/4

Завдання 7. Подайте у вигляді добутку вираз cos 3x − cos 7x.

А) 2sin 5x sin 2x
Б) −2sin 5x sin 2x
В) 2cos 5x cos 2x
Г) −2cos 5x sin 2x
Д) cos 4x

Завдання 8. Обчисліть sin 75° − sin 15°.

А) √3/2
Б) √6/2
В) 1/2
Г) √2/2
Д) √2

Завдання 9. Установіть відповідність між тригонометричним виразом для кута, більшого за 90° (1–4), та його значенням (А–Д).

1) sin 120°
2) cos 135°
3) tg 210°
4) ctg 300°

А) −√3/3
Б) √3/2
В) −√2/2
Г) −√3/2
Д) √3/3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Відомо, що sin α = 3/5 і 0 < α < π/2. Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням (А–Д).

1) sin 2α
2) cos 2α
3) tg 2α
4) tg(α + π/4)

А) 7/25
Б) 24/25
В) 24/7
Г) 7
Д) 1/7

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Відомо, що cos 2α = 0,44. Знайдіть sin²α.

Відповідь:

Завдання 12. Обчисліть (cos 15° + cos 75°)².

Відповідь:

Завдання 13. α і β — гострі кути, tg α = 1/2, tg β = 1/3. Знайдіть α + β. Відповідь дайте в градусах.

Відповідь:

Завдання 14. Обчисліть 2sin 870° + tg 1125°.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Б	А	Г	В	В	Д	А	Г	1Б 2В 3Д 4А	1Б 2А 3В 4Г	0,28	1,5	45	2

1. Б Кут 3π/2 лежить на вертикальній осі, тому назва функції змінюється: косинус стає синусом. Для гострого α кут 3π/2 − α лежить у III чверті, де косинус від’ємний. Отже, cos(3π/2 − α) = −sin α.

2. А tg(π − α) = −tg α: функція не змінюється, а в II чверті тангенс від’ємний. ctg(3π/2 + α) = −tg α: котангенс стає тангенсом, а в IV чверті котангенс від’ємний. Добуток: (−tg α) · (−tg α) = tg²α.

3. Г Вираз має вигляд sin α cos β − cos α sin β — це розгорнутий синус різниці. sin 5x cos 2x − cos 5x sin 2x = sin(5x − 2x) = sin 3x

4. В Подаємо 75° як 45° + 30°. cos(45° + 30°) = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√2/2) · (√3/2) − (√2/2) · (1/2). = √6/4 − √2/4 = (√6 − √2)/4

5. В Формула пониження степеня: sin²t = (1 − cos 2t)/2. Тут t = 3x, тому 2t = 6x і sin²3x = (1 − cos 6x)/2.

6. Д cos²t = (1 + cos 2t)/2, тому cos²15° = (1 + cos 30°)/2. (1 + √3/2)/2 = ((2 + √3)/2)/2 = (2 + √3)/4

7. А cos α − cos β = −2sin((α + β)/2) · sin((α − β)/2). (3x + 7x)/2 = 5x і (3x − 7x)/2 = −2x, тому cos 3x − cos 7x = −2sin 5x · sin(−2x). Синус непарний: sin(−2x) = −sin 2x, тож вираз дорівнює 2sin 5x sin 2x.

8. Г sin α − sin β = 2cos((α + β)/2) · sin((α − β)/2). sin 75° − sin 15° = 2cos 45° · sin 30° = 2 · √2/2 · 1/2. = √2/2

9. 1Б 2В 3Д 4А sin 120° = sin(180° − 60°) = sin 60° = √3/2 cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2 tg 210° = tg(180° + 30°) = tg 30° = √3/3 ctg 300° = ctg(360° − 60°) = −ctg 60° = −√3/3

10. 1Б 2А 3В 4Г Кут гострий, тому cos α = √(1 − 9/25) = 4/5 і tg α = 3/4. sin 2α = 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25; cos 2α = 16/25 − 9/25 = 7/25. tg 2α = sin 2α : cos 2α = 24/7. tg(α + π/4) = (tg α + 1)/(1 − tg α) = (7/4) : (1/4) = 7.

11. 0,28 З формули cos 2α = 1 − 2sin²α маємо sin²α = (1 − cos 2α)/2. sin²α = (1 − 0,44)/2 = 0,56/2 = 0,28

12. 1,5 cos α + cos β = 2cos((α + β)/2) · cos((α − β)/2), тому cos 15° + cos 75° = 2cos 45° · cos(−30°). Косинус парний: 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2. (√6/2)² = 6/4 = 1,5

13. 45 tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 − tg α · tg β) = (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6). = (5/6) : (5/6) = 1 Обидва тангенси менші за 1, тому α і β менші за 45°, і 0° < α + β < 90°. Єдиний такий кут із тангенсом 1 — це 45°.

14. 2 Відкидаємо повні оберти: 870° = 2 · 360° + 150°, тому sin 870° = sin 150° = sin(180° − 30°) = 1/2. Період тангенса 180°: 1125° = 6 · 180° + 45°, тому tg 1125° = tg 45° = 1. 2 · 1/2 + 1 = 2