Блок 2 · Тема 7 з 42

Трикутники та їх основні властивості — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 46 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Трикутник та його елементи
Ознаки рівності трикутників
Медіана, бісектриса і висота трикутника
Сума кутів трикутника. Зовнішній кут
Нерівність трикутника
Середня лінія трикутника

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Зовнішній кут трикутника ABC при вершині C дорівнює 124°, а ∠A = 57°. Знайдіть ∠B.
- А 56°
- Б 57°
- В 62°
- Г 67°
- Д 123°
2одна правильна відповідь
Трикутники ABC і MNK рівні, причому AB = MN, BC = NK і AC = MK. Відомо, що ∠A = 48°, ∠B = 77°. Знайдіть ∠K.
- А 48°
- Б 55°
- В 77°
- Г 103°
- Д 125°
3одна правильна відповідь
Дві сторони трикутника дорівнюють 3,2 см і 7,5 см. Якій із наведених величин може дорівнювати третя сторона?
- А 3,5 см
- Б 4,3 см
- В 5,1 см
- Г 10,7 см
- Д 11,2 см
4одна правильна відповідь
У трикутнику ABC ∠A = 70°, ∠C = 50°, BD — бісектриса трикутника. Знайдіть ∠ADB.
- А 80°
- Б 90°
- В 100°
- Г 110°
- Д 120°
5одна правильна відповідь
У рівнобедреному трикутнику кут, протилежний основі, на 36° більший за кут при основі. Знайдіть кут при основі.
- А 36°
- Б 48°
- В 60°
- Г 72°
- Д 84°
6одна правильна відповідь
Відрізки AC і BD перетинаються в точці O, яка є серединою кожного з них. AC = 10 см, BD = 16 см, AB = 9 см. Знайдіть периметр трикутника COD.
- А 13 см
- Б 17 см
- В 22 см
- Г 35 см
- Д 44 см
7одна правильна відповідь
Периметр трикутника ABC дорівнює 42 см. Медіана BM ділить його на трикутники ABM і CBM з периметрами 30 см і 34 см. Знайдіть довжину медіани BM.
- А 4 см
- Б 8 см
- В 11 см
- Г 22 см
- Д 32 см
8одна правильна відповідь
Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 14 см і 18 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.
- А 9 см
- Б 10,5 см
- В 14 см
- Г 21 см
- Д 42 см
9на відповідність
У трикутнику ABC кут A на 40° більший за кут B, а кут C утричі більший за кут B. CH — висота трикутника. Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).
- 1) ∠B
- 2) ∠C
- 3) зовнішній кут трикутника при вершині A
- 4) ∠ACH
- А) 22°
- Б) 28°
- В) 62°
- Г) 84°
- Д) 112°
10на відповідність
Про трикутники ABC і A₁B₁C₁ відомо три рівності (1–4). Установіть відповідність між цими даними та висновком про трикутники (А–Д).
- 1) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁
- 2) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁
- 3) AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁
- 4) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁
- А) рівні за двома сторонами й кутом між ними
- Б) рівні за стороною й двома прилеглими до неї кутами
- В) рівні за трьома сторонами
- Г) рівні за двома сторонами й кутом, що лежить проти однієї з них
- Д) цих даних недостатньо, щоб стверджувати рівність
11коротка відповідь
Зовнішні кути трикутника при двох його вершинах дорівнюють 110° і 135°. Знайдіть зовнішній кут трикутника при третій вершині (у градусах).
Градусна міра кута
12коротка відповідь
Переріз двосхилого даху — рівнобедрений трикутник ABC з основою AC і периметром 36 м. Висота BK, проведена до основи, дорівнює 6 м. Знайдіть периметр трикутника ABK (у метрах).
Периметр у метрах
13коротка відповідь
Довжини всіх сторін трикутника — цілі числа сантиметрів, причому дві з них дорівнюють 4 см і 9 см. Який найбільший периметр (у см) може мати такий трикутник?
Периметр у сантиметрах
14коротка відповідь
Середні лінії трикутника відносяться як 3 : 4 : 6, а периметр трикутника, утвореного цими середніми лініями, дорівнює 39 см. Знайдіть найбільшу сторону даного трикутника (у см).
Довжина в сантиметрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Трикутники та їх основні властивості — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Зовнішній кут трикутника ABC при вершині C дорівнює 124°, а ∠A = 57°. Знайдіть ∠B.

А) 56°
Б) 57°
В) 62°
Г) 67°
Д) 123°

Завдання 2. Трикутники ABC і MNK рівні, причому AB = MN, BC = NK і AC = MK. Відомо, що ∠A = 48°, ∠B = 77°. Знайдіть ∠K.

А) 48°
Б) 55°
В) 77°
Г) 103°
Д) 125°

Завдання 3. Дві сторони трикутника дорівнюють 3,2 см і 7,5 см. Якій із наведених величин може дорівнювати третя сторона?

А) 3,5 см
Б) 4,3 см
В) 5,1 см
Г) 10,7 см
Д) 11,2 см

Завдання 4. У трикутнику ABC ∠A = 70°, ∠C = 50°, BD — бісектриса трикутника. Знайдіть ∠ADB.

А) 80°
Б) 90°
В) 100°
Г) 110°
Д) 120°

Завдання 5. У рівнобедреному трикутнику кут, протилежний основі, на 36° більший за кут при основі. Знайдіть кут при основі.

А) 36°
Б) 48°
В) 60°
Г) 72°
Д) 84°

Завдання 6. Відрізки AC і BD перетинаються в точці O, яка є серединою кожного з них. AC = 10 см, BD = 16 см, AB = 9 см. Знайдіть периметр трикутника COD.

А) 13 см
Б) 17 см
В) 22 см
Г) 35 см
Д) 44 см

Завдання 7. Периметр трикутника ABC дорівнює 42 см. Медіана BM ділить його на трикутники ABM і CBM з периметрами 30 см і 34 см. Знайдіть довжину медіани BM.

А) 4 см
Б) 8 см
В) 11 см
Г) 22 см
Д) 32 см

Завдання 8. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 14 см і 18 см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.

А) 9 см
Б) 10,5 см
В) 14 см
Г) 21 см
Д) 42 см

Завдання 9. У трикутнику ABC кут A на 40° більший за кут B, а кут C утричі більший за кут B. CH — висота трикутника. Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).

1) ∠B
2) ∠C
3) зовнішній кут трикутника при вершині A
4) ∠ACH

А) 22°
Б) 28°
В) 62°
Г) 84°
Д) 112°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Про трикутники ABC і A₁B₁C₁ відомо три рівності (1–4). Установіть відповідність між цими даними та висновком про трикутники (А–Д).

1) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁
2) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁
3) AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁
4) AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁

А) рівні за двома сторонами й кутом між ними
Б) рівні за стороною й двома прилеглими до неї кутами
В) рівні за трьома сторонами
Г) рівні за двома сторонами й кутом, що лежить проти однієї з них
Д) цих даних недостатньо, щоб стверджувати рівність

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Зовнішні кути трикутника при двох його вершинах дорівнюють 110° і 135°. Знайдіть зовнішній кут трикутника при третій вершині (у градусах).

Відповідь:

Завдання 12. Переріз двосхилого даху — рівнобедрений трикутник ABC з основою AC і периметром 36 м. Висота BK, проведена до основи, дорівнює 6 м. Знайдіть периметр трикутника ABK (у метрах).

Відповідь:

Завдання 13. Довжини всіх сторін трикутника — цілі числа сантиметрів, причому дві з них дорівнюють 4 см і 9 см. Який найбільший периметр (у см) може мати такий трикутник?

Відповідь:

Завдання 14. Середні лінії трикутника відносяться як 3 : 4 : 6, а периметр трикутника, утвореного цими середніми лініями, дорівнює 39 см. Знайдіть найбільшу сторону даного трикутника (у см).

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	Б	В	А	Б	В	В	Г	1Б 2Г 3Д 4А	1А 2В 3Б 4Д	115	24	25	36

1. Г Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних із ним: 124° = ∠A + ∠B. ∠B = 124° − 57° = 67°

2. Б У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути. Кут K лежить проти сторони MN, а MN = AB. Проти сторони AB у трикутнику ABC лежить кут C, тому ∠K = ∠C. ∠C = 180° − 48° − 77° = 55°

3. В За нерівністю трикутника третя сторона більша за різницю двох інших і менша за їх суму. 7,5 − 3,2 = 4,3 і 7,5 + 3,2 = 10,7, тому 4,3 < c < 10,7. Строго між цими межами лежить лише 5,1 см.

4. А ∠B = 180° − 70° − 50° = 60° Бісектриса ділить кут B навпіл: ∠ABD = 30°. У трикутнику ABD: ∠ADB = 180° − 70° − 30° = 80°.

5. Б Нехай кут при основі дорівнює x. Обидва кути при основі рівні, а третій кут дорівнює x + 36°. x + x + (x + 36°) = 180°, тобто 3x = 144°. x = 48°

6. В O — середина обох відрізків, тому OC = OA = 5 см і OD = OB = 8 см. Кути AOB і COD вертикальні, отже рівні. Трикутники AOB і COD рівні за двома сторонами й кутом між ними. Тому CD = AB = 9 см, а периметр трикутника COD дорівнює 5 + 8 + 9 = 22 см.

7. В Медіана ділить сторону AC навпіл: AM = MC. Додамо периметри: (AB + AM + BM) + (BC + MC + BM) = AB + BC + AC + 2BM. 30 + 34 = 42 + 2BM, звідки 2BM = 22 і BM = 11 см.

8. Г Сторони нового трикутника — середні лінії даного. Кожна середня лінія дорівнює половині паралельної їй сторони: 5 см, 7 см і 9 см. Периметр: 5 + 7 + 9 = 21 см — половина периметра даного трикутника.

9. 1Б 2Г 3Д 4А Нехай ∠B = x, тоді ∠A = x + 40°, ∠C = 3x і x + (x + 40°) + 3x = 180°. 5x = 140°, x = 28°: ∠B = 28°, ∠A = 68°, ∠C = 84°. Зовнішній кут при вершині A: 180° − 68° = 112°. У прямокутному трикутнику ACH: ∠ACH = 90° − 68° = 22°.

10. 1А 2В 3Б 4Д 1: кут B лежить між сторонами AB і BC — це перша ознака. 2: рівні всі три сторони — третя ознака. 3: кут C не прилягає до AB, але ∠B = 180° − ∠A − ∠C = ∠B₁. Тоді рівні сторона AB і обидва прилеглі до неї кути — друга ознака. 4: кут A не лежить між сторонами AB і BC. Такої ознаки немає: існують нерівні трикутники з такими самими двома сторонами й кутом A.

11. 115 Внутрішні кути при цих вершинах: 180° − 110° = 70° і 180° − 135° = 45°. Третій внутрішній кут: 180° − 70° − 45° = 65°. Зовнішній кут при третій вершині: 180° − 65° = 115°.

12. 24 У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є і медіаною, тому AK = KC. Тоді AB + AK — це рівно половина периметра трикутника ABC: 36 : 2 = 18 м. Периметр ABK = AB + AK + BK = 18 + 6 = 24 м.

13. 25 За нерівністю трикутника третя сторона c задовольняє умову 9 − 4 < c < 9 + 4, тобто 5 < c < 13. Найбільше ціле c у цьому проміжку — 12 см. Найбільший периметр: 4 + 9 + 12 = 25 см.

14. 36 Нехай середні лінії дорівнюють 3k, 4k і 6k. Тоді 3k + 4k + 6k = 39, тобто k = 3. Найбільша середня лінія: 6 · 3 = 18 см. Вона вдвічі менша за паралельну їй сторону, тому найбільша сторона дорівнює 2 · 18 = 36 см.