Блок 5 · Тема 27 з 42

Тригонометричні функції числового аргументу. Градусна і радіанна міри кута — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 51 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2023 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Градусна і радіанна міри кута. Тригонометричний круг
Тригонометричні функції кута і числового аргументу
Графіки та властивості тригонометричних функцій
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Знайдіть радіанну міру кута 150°.
- А 3π/4
- Б 5π/6
- В 5π/3
- Г 6π/5
- Д 2π/3
2одна правильна відповідь
У якій координатній чверті лежить точка одиничного кола, що відповідає куту 4 радіани?
- А I чверть
- Б II чверть
- В III чверть
- Г IV чверть
- Д на осі ординат
3одна правильна відповідь
Обчисліть 4cos(π/3) − tg²(π/3).
- А −1
- Б 5/3
- В 2 − √3
- Г 2√3 − 3
- Д 1
4одна правильна відповідь
Укажіть від’ємне число.
- А sin 100°
- Б cos 300°
- В tg 200°
- Г cos 170°
- Д sin(−200°)
5одна правильна відповідь
Знайдіть найбільше значення функції y = 3 − 2cos x.
- А 1
- Б 2
- В 3
- Г 5
- Д −1
6одна правильна відповідь
Знайдіть найменший додатний період функції y = tg(x/2).
- А π/2
- Б π
- В 2π
- Г 4π
- Д π/4
7одна правильна відповідь
Яка з наведених функцій парна?
- А y = sin 2x
- Б y = tg x
- В y = x · sin x
- Г y = cos x + sin x
- Д y = x² · tg x
8одна правильна відповідь
Відомо, що cos α = −0,6 і π/2 < α < π. Знайдіть tg α.
- А 4/3
- Б −3/4
- В 3/4
- Г −0,8
- Д −4/3
9на відповідність
Установіть відповідність між радіанною мірою кута (1–4) та його градусною мірою (А–Д).
- 1) 7π/6
- 2) π/12
- 3) 5π/4
- 4) 2π/5
- А) 15°
- Б) 72°
- В) 135°
- Г) 210°
- Д) 225°
10на відповідність
Установіть відповідність між виразом із табличними значеннями тригонометричних функцій (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) sin(π/6) + cos(π/3)
- 2) cos π + tg(π/4)
- 3) sin(π/3) : sin(π/6)
- 4) sin(3π/2) · tg(π/4)
- А) −1
- Б) 0
- В) 1/2
- Г) 1
- Д) √3
11коротка відповідь
Відомо, що tg α = 2. Знайдіть значення виразу (3sin α − cos α)/(sin α + 2cos α).
Значення виразу
12коротка відповідь
Відомо, що cos α = 1/3. Знайдіть значення виразу 9sin²α + tg²α.
Значення виразу
13коротка відповідь
Скільки нулів має функція y = sin 2x на відрізку [0; 2π]?
Кількість нулів
14коротка відповідь
Щітка склоочисника завдовжки 45 см обертається навколо одного зі своїх кінців на кут 2π/3. Яку довжину має дуга, яку описує другий кінець щітки? Відповідь дайте в сантиметрах, уважайте π ≈ 3,14.
Довжина дуги в сантиметрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Тригонометричні функції числового аргументу. Градусна і радіанна міри кута — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Знайдіть радіанну міру кута 150°.

А) 3π/4
Б) 5π/6
В) 5π/3
Г) 6π/5
Д) 2π/3

Завдання 2. У якій координатній чверті лежить точка одиничного кола, що відповідає куту 4 радіани?

А) I чверть
Б) II чверть
В) III чверть
Г) IV чверть
Д) на осі ординат

Завдання 3. Обчисліть 4cos(π/3) − tg²(π/3).

А) −1
Б) 5/3
В) 2 − √3
Г) 2√3 − 3
Д) 1

Завдання 4. Укажіть від’ємне число.

А) sin 100°
Б) cos 300°
В) tg 200°
Г) cos 170°
Д) sin(−200°)

Завдання 5. Знайдіть найбільше значення функції y = 3 − 2cos x.

А) 1
Б) 2
В) 3
Г) 5
Д) −1

Завдання 6. Знайдіть найменший додатний період функції y = tg(x/2).

А) π/2
Б) π
В) 2π
Г) 4π
Д) π/4

Завдання 7. Яка з наведених функцій парна?

А) y = sin 2x
Б) y = tg x
В) y = x · sin x
Г) y = cos x + sin x
Д) y = x² · tg x

Завдання 8. Відомо, що cos α = −0,6 і π/2 < α < π. Знайдіть tg α.

А) 4/3
Б) −3/4
В) 3/4
Г) −0,8
Д) −4/3

Завдання 9. Установіть відповідність між радіанною мірою кута (1–4) та його градусною мірою (А–Д).

1) 7π/6
2) π/12
3) 5π/4
4) 2π/5

А) 15°
Б) 72°
В) 135°
Г) 210°
Д) 225°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між виразом із табличними значеннями тригонометричних функцій (1–4) та його значенням (А–Д).

1) sin(π/6) + cos(π/3)
2) cos π + tg(π/4)
3) sin(π/3) : sin(π/6)
4) sin(3π/2) · tg(π/4)

А) −1
Б) 0
В) 1/2
Г) 1
Д) √3

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Відомо, що tg α = 2. Знайдіть значення виразу (3sin α − cos α)/(sin α + 2cos α).

Відповідь:

Завдання 12. Відомо, що cos α = 1/3. Знайдіть значення виразу 9sin²α + tg²α.

Відповідь:

Завдання 13. Скільки нулів має функція y = sin 2x на відрізку [0; 2π]?

Відповідь:

Завдання 14. Щітка склоочисника завдовжки 45 см обертається навколо одного зі своїх кінців на кут 2π/3. Яку довжину має дуга, яку описує другий кінець щітки? Відповідь дайте в сантиметрах, уважайте π ≈ 3,14.

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Б	В	А	Г	Г	В	В	Д	1Г 2А 3Д 4Б	1Г 2Б 3Д 4А	1,25	16	5	94,2

1. Б 180° відповідають π радіан, тому 1° = π/180 радіана. 150° = 150 · π/180 = 15π/18 = 5π/6

2. В Межі чвертей у радіанах: π/2 ≈ 1,57, π ≈ 3,14, 3π/2 ≈ 4,71, 2π ≈ 6,28. 3,14 < 4 < 4,71, тобто π < 4 < 3π/2. Кути між π і 3π/2 лежать у III чверті.

3. А cos(π/3) = 1/2, тому 4cos(π/3) = 2. tg(π/3) = √3, тому tg²(π/3) = 3. 2 − 3 = −1

4. Г Визначаємо чверті: 100° і 170° — II чверть, 300° — IV, 200° — III, а −200° — та сама точка, що й 160°, тобто II чверть. У II чверті синус додатний, а косинус від’ємний; у IV чверті косинус додатний; у III чверті тангенс додатний. Отже, від’ємне лише cos 170°.

5. Г −1 ⩽ cos x ⩽ 1, тому −2 ⩽ −2cos x ⩽ 2. Тоді 1 ⩽ 3 − 2cos x ⩽ 5. Найбільше значення, 5, досягається, коли cos x = −1, наприклад при x = π.

6. В Найменший додатний період функції y = tg x дорівнює π. Для y = tg(kx) період дорівнює π/|k|. Тут k = 1/2, тому T = π : (1/2) = 2π.

7. В Функція парна, якщо f(−x) = f(x) для всіх x з області визначення. (−x) · sin(−x) = (−x) · (−sin x) = x · sin x, тож y = x · sin x парна. sin 2x, tg x і x² · tg x — непарні, а cos x + sin x не є ні парною, ні непарною.

8. Д sin²α = 1 − cos²α = 1 − 0,36 = 0,64. У II чверті синус додатний, тому sin α = 0,8. tg α = sin α : cos α = 0,8 : (−0,6) = −4/3

9. 1Г 2А 3Д 4Б Замінюємо π на 180°: 7π/6 = 7 · 180° : 6 = 210°. π/12 = 180° : 12 = 15° 5π/4 = 5 · 45° = 225° 2π/5 = 2 · 180° : 5 = 72°

10. 1Г 2Б 3Д 4А sin(π/6) + cos(π/3) = 1/2 + 1/2 = 1 cos π + tg(π/4) = −1 + 1 = 0 sin(π/3) : sin(π/6) = (√3/2) : (1/2) = √3 sin(3π/2) · tg(π/4) = −1 · 1 = −1

11. 1,25 tg α існує, тому cos α ≠ 0 і чисельник та знаменник можна поділити на cos α. Дістаємо (3tg α − 1)/(tg α + 2) = (6 − 1)/(2 + 2) = 5/4. 5/4 = 1,25

12. 16 sin²α = 1 − cos²α = 1 − 1/9 = 8/9, тому 9sin²α = 8. tg²α = sin²α : cos²α = (8/9) : (1/9) = 8. 9sin²α + tg²α = 8 + 8 = 16

13. 5 sin 2x = 0, коли 2x = πn, тобто x = πn/2, n ∈ Z. На відрізку [0; 2π] це x = 0, π/2, π, 3π/2 і 2π. Разом 5 нулів.

14. 94,2 Довжина дуги кола радіуса R, що відповідає центральному куту α радіан: l = αR. l = 2π/3 · 45 = 30π см. 30 · 3,14 = 94,2 см.