Блок 3 · Тема 14 з 42

Чотирикутники, їх види та основні властивості — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 47 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Чотирикутник та його елементи
Паралелограм
Прямокутник

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Кути чотирикутника ABCD дорівнюють: ∠A = x, ∠B = x + 30°, ∠C = 2x, ∠D = 2x + 30°. Знайдіть кут D.
- А 50°
- Б 70°
- В 80°
- Г 100°
- Д 130°
2одна правильна відповідь
З якого набору відрізків можна скласти чотирикутник?
- А 1 см, 2 см, 3 см, 7 см
- Б 2 см, 3 см, 4 см, 9 см
- В 2 см, 3 см, 5 см, 10 см
- Г 3 см, 4 см, 5 см, 12 см
- Д 3 см, 4 см, 6 см, 12 см
3одна правильна відповідь
Сума двох кутів паралелограма дорівнює 140°. Знайдіть більший кут паралелограма.
- А 40°
- Б 70°
- В 110°
- Г 140°
- Д 220°
4одна правильна відповідь
Бісектриса кута D паралелограма ABCD перетинає сторону AB у точці M, AM = 5 см, MB = 3 см. Знайдіть периметр паралелограма.
- А 13 см
- Б 16 см
- В 22 см
- Г 26 см
- Д 32 см
5одна правильна відповідь
Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O, AC = 16 см, BD = 10 см, AB = 9 см. Знайдіть периметр трикутника AOB.
- А 17 см
- Б 22 см
- В 27 см
- Г 35 см
- Д 44 см
6одна правильна відповідь
Діагональ прямокутника утворює з однією з його сторін кут 34°. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника.
- А 17°
- Б 34°
- В 56°
- Г 68°
- Д 112°
7одна правильна відповідь
Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а його діагональ — 17 см. Знайдіть площу прямокутника.
- А 60 см²
- Б 120 см²
- В 132,25 см²
- Г 240 см²
- Д 289 см²
8одна правильна відповідь
Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O. Периметр трикутника AOB дорівнює 16 см, периметр трикутника BOC — 18 см, а діагональ прямокутника — 10 см. Знайдіть периметр прямокутника.
- А 14 см
- Б 24 см
- В 28 см
- Г 34 см
- Д 48 см
9на відповідність
У паралелограмі ABCD проведено діагональ BD, ∠A = 64°, ∠ABD = 46° (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).
- 1) ∠BCD
- 2) ∠ABC
- 3) ∠ADB
- 4) ∠BDC
- А) 46°
- Б) 64°
- В) 70°
- Г) 116°
- Д) 134°
10на відповідність
Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O, ∠AOB = 52° (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).
- 1) ∠BOC
- 2) ∠OAD
- 3) ∠COD
- 4) ∠OBA
- А) 26°
- Б) 52°
- В) 64°
- Г) 116°
- Д) 128°
11коротка відповідь
У чотирикутнику ABCD ∠C = 100°, ∠D = 70°. Бісектриси кутів A і B перетинаються в точці O. Знайдіть градусну міру кута AOB.
Градусна міра кута
12коротка відповідь
Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а одна з його діагоналей — 8 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма (у см).
Довжина діагоналі в сантиметрах
13коротка відповідь
Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 50°. Знайдіть тупий кут паралелограма.
Градусна міра кута
14коротка відповідь
Відстані від точки перетину діагоналей прямокутника до двох його сусідніх сторін дорівнюють 4 см і 7,5 см. Знайдіть діагональ прямокутника (у см).
Довжина діагоналі в сантиметрах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Чотирикутники, їх види та основні властивості — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Кути чотирикутника ABCD дорівнюють: ∠A = x, ∠B = x + 30°, ∠C = 2x, ∠D = 2x + 30°. Знайдіть кут D.

А) 50°
Б) 70°
В) 80°
Г) 100°
Д) 130°

Завдання 2. З якого набору відрізків можна скласти чотирикутник?

А) 1 см, 2 см, 3 см, 7 см
Б) 2 см, 3 см, 4 см, 9 см
В) 2 см, 3 см, 5 см, 10 см
Г) 3 см, 4 см, 5 см, 12 см
Д) 3 см, 4 см, 6 см, 12 см

Завдання 3. Сума двох кутів паралелограма дорівнює 140°. Знайдіть більший кут паралелограма.

А) 40°
Б) 70°
В) 110°
Г) 140°
Д) 220°

Завдання 4. Бісектриса кута D паралелограма ABCD перетинає сторону AB у точці M, AM = 5 см, MB = 3 см. Знайдіть периметр паралелограма.

А) 13 см
Б) 16 см
В) 22 см
Г) 26 см
Д) 32 см

Завдання 5. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці O, AC = 16 см, BD = 10 см, AB = 9 см. Знайдіть периметр трикутника AOB.

А) 17 см
Б) 22 см
В) 27 см
Г) 35 см
Д) 44 см

Завдання 6. Діагональ прямокутника утворює з однією з його сторін кут 34°. Знайдіть гострий кут між діагоналями прямокутника.

А) 17°
Б) 34°
В) 56°
Г) 68°
Д) 112°

Завдання 7. Периметр прямокутника дорівнює 46 см, а його діагональ — 17 см. Знайдіть площу прямокутника.

А) 60 см²
Б) 120 см²
В) 132,25 см²
Г) 240 см²
Д) 289 см²

Завдання 8. Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O. Периметр трикутника AOB дорівнює 16 см, периметр трикутника BOC — 18 см, а діагональ прямокутника — 10 см. Знайдіть периметр прямокутника.

А) 14 см
Б) 24 см
В) 28 см
Г) 34 см
Д) 48 см

Завдання 9. У паралелограмі ABCD проведено діагональ BD, ∠A = 64°, ∠ABD = 46° (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).

1) ∠BCD
2) ∠ABC
3) ∠ADB
4) ∠BDC

А) 46°
Б) 64°
В) 70°
Г) 116°
Д) 134°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Діагоналі прямокутника ABCD перетинаються в точці O, ∠AOB = 52° (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–4) та його градусною мірою (А–Д).

1) ∠BOC
2) ∠OAD
3) ∠COD
4) ∠OBA

А) 26°
Б) 52°
В) 64°
Г) 116°
Д) 128°

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. У чотирикутнику ABCD ∠C = 100°, ∠D = 70°. Бісектриси кутів A і B перетинаються в точці O. Знайдіть градусну міру кута AOB.

Відповідь:

Завдання 12. Сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 9 см, а одна з його діагоналей — 8 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма (у см).

Відповідь:

Завдання 13. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 50°. Знайдіть тупий кут паралелограма.

Відповідь:

Завдання 14. Відстані від точки перетину діагоналей прямокутника до двох його сусідніх сторін дорівнюють 4 см і 7,5 см. Знайдіть діагональ прямокутника (у см).

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Д	Д	В	Г	Б	Г	Б	В	1Б 2Г 3В 4А	1Д 2А 3Б 4В	85	14	130	17

1. Д Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°: x + (x + 30°) + 2x + (2x + 30°) = 360°. 6x + 60° = 360°, звідси 6x = 300° і x = 50°. ∠D = 2 · 50° + 30° = 130°.

2. Д Чотирикутник існує, якщо найбільша сторона менша за суму трьох інших — так само, як у нерівності трикутника. Перевіряємо: 1 + 2 + 3 = 6 < 7; 2 + 3 + 4 = 9; 2 + 3 + 5 = 10; 3 + 4 + 5 = 12 — у цих наборах три коротші відрізки разом не довші за найбільший. 3 + 4 + 6 = 13 > 12 — лише з цього набору чотирикутник скласти можна.

3. В Сусідні кути паралелограма в сумі дають 180°, тому 140° — це сума двох протилежних кутів. Протилежні кути рівні: кожен із них 140° : 2 = 70°. Більший кут — сусідній до них: 180° − 70° = 110°.

4. Г ∠ADM = ∠MDC, бо DM — бісектриса кута D. ∠MDC = ∠AMD як внутрішні різносторонні кути при паралельних AB і CD та січній DM. Отже, ∠ADM = ∠AMD, трикутник ADM рівнобедрений і AD = AM = 5 см. AB = 5 + 3 = 8 см, P = 2 · (8 + 5) = 26 см.

5. Б Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл. AO = 16 : 2 = 8 см, BO = 10 : 2 = 5 см. P = AB + AO + BO = 9 + 8 + 5 = 22 см.

6. Г Діагоналі прямокутника рівні й точкою перетину O діляться навпіл, тому OA = OD. Нехай діагональ AC утворює зі стороною AD кут 34°. Трикутник AOD рівнобедрений, тож ∠ODA = ∠OAD = 34°. ∠AOD = 180° − 2 · 34° = 112° — це тупий кут між діагоналями, а гострий: 180° − 112° = 68°.

7. Б Нехай сторони дорівнюють a і b. Тоді a + b = 46 : 2 = 23, а за теоремою Піфагора a² + b² = 17² = 289. (a + b)² = a² + 2ab + b², тому 2ab = 23² − 289 = 529 − 289 = 240. S = ab = 240 : 2 = 120 см².

8. В Діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, тому AO = BO = CO = 10 : 2 = 5 см. P(AOB) = AB + AO + BO = AB + 10, тож AB = 16 − 10 = 6 см; так само BC = 18 − 10 = 8 см. Периметр прямокутника: 2 · (6 + 8) = 28 см.

9. 1Б 2Г 3В 4А Протилежні кути паралелограма рівні: ∠BCD = ∠A = 64°. Сусідні кути в сумі дають 180°: ∠ABC = 180° − 64° = 116°. У трикутнику ABD: ∠ADB = 180° − 64° − 46° = 70°. ∠BDC = ∠ABD = 46° як внутрішні різносторонні кути при AB ∥ CD і січній BD.

10. 1Д 2А 3Б 4В Діагоналі прямокутника рівні й діляться навпіл, тож трикутник AOB рівнобедрений: ∠OBA = ∠OAB = (180° − 52°) : 2 = 64°. ∠OAD = 90° − ∠OAB = 90° − 64° = 26°. ∠BOC суміжний з ∠AOB: 180° − 52° = 128°. ∠COD = ∠AOB = 52° як вертикальні кути.

11. 85 ∠A + ∠B = 360° − 100° − 70° = 190°. Бісектриси ділять ці кути навпіл: ∠OAB + ∠OBA = 190° : 2 = 95°. У трикутнику AOB: ∠AOB = 180° − 95° = 85°.

12. 14 Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін: d₁² + d₂² = 2(a² + b²). 8² + d₂² = 2 · (49 + 81) = 260, тому d₂² = 260 − 64 = 196. d₂ = 14 см.

13. 130 Нехай із вершини тупого кута B паралелограма ABCD проведено висоти BK до сторони AD і BM до сторони CD. У чотирикутнику BKDM кути K і M прямі, тож ∠KBM + ∠D = 360° − 90° − 90° = 180°. ∠D = 180° − 50° = 130°, а ∠D — тупий кут паралелограма, протилежний до ∠B.

14. 17 Точка перетину діагоналей — центр прямокутника, тому відстань від неї до сторони дорівнює половині сусідньої сторони. Сторони прямокутника: 2 · 4 = 8 см і 2 · 7,5 = 15 см. За теоремою Піфагора d = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 см.