Блок 3 · Тема 13 з 42

Рівняння з двома змінними та їх системи. Текстові задачі — відеоурок і тест

Пройти тест з теми

відеоурок ≈ 61 хв · тест 14 завдань · безкоштовно

Запис уроку Mathema, 2022 рік Відкрити на YouTube

На уроці ми вивчаємо

Аналіз виконання тесту
Рівняння з двома змінними та їх системи
Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь

Тест з теми

Рекомендований час — 25 хвилин

Реєстрація не потрібна. Відповіді зберігаються в цьому браузері — можна закрити вкладку й повернутися.

14завданьу форматі НМТ
3типи завдань8 з однією відповіддю · 2 на відповідність · 4 з короткою відповіддю
≈ 25хвилинрекомендований час

Усі 14 завдань тесту

Умови та варіанти відповідей. Правильні відповіді й розбір відкриваються після проходження тесту.

1одна правильна відповідь
Яка пара чисел (x; y) є розв’язком рівняння 2x − 5y = 9?
- А (−1; 2)
- Б (2; 1)
- В (4; 1)
- Г (2; −1)
- Д (−2; −1)
2одна правильна відповідь
Розв’яжіть систему рівнянь: 3x + 2y = 11 і 5x − 2y = 13.
- А (3; 1)
- Б (1; 3)
- В (3; −1)
- Г (2; 2,5)
- Д (4; −0,5)
3одна правильна відповідь
При якому значенні a пара чисел (−1; 3) є розв’язком рівняння x² + ay = 13?
- А −4
- Б 4
- В 12
- Г 13/3
- Д 14/3
4одна правильна відповідь
Укажіть розв’язок системи рівнянь x − y = 2 і xy = 15, у якому обидва числа від’ємні.
- А (−5; −3)
- Б (−1; −3)
- В (−15; −1)
- Г (−2; −4)
- Д (−3; −5)
5одна правильна відповідь
Числа x і y задовольняють систему x + y = 6 і xy = 5. Знайдіть значення x² + y², не знаходячи самих x і y.
- А 10
- Б 16
- В 26
- Г 31
- Д 46
6одна правильна відповідь
На парковці стоять легкові автомобілі й мотоцикли — разом 23 транспортні засоби, у яких 76 коліс. У кожного автомобіля 4 колеса, у кожного мотоцикла — 2. Скільки мотоциклів на парковці?
- А 8
- Б 15
- В 16
- Г 19
- Д 38
7одна правильна відповідь
Човен за 2 год руху за течією річки і 1 год проти течії проходить 56 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 52 км. Знайдіть швидкість течії річки (у км/год).
- А 2
- Б 4
- В 16
- Г 18
- Д 20
8одна правильна відповідь
Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо цифри цього числа переставити місцями, то утворене число буде на 45 менше від початкового. Знайдіть початкове число.
- А 38
- Б 56
- В 74
- Г 83
- Д 92
9на відповідність
Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та кількістю її розв’язків (А–Д).
- 1) xy = 4 і x² + y² = 17
- 2) x² + y² = 9 і y = x² − 3
- 3) x² + y² = 9 і y = 4
- 4) x² + y² = 9 і x = −3
- А) жодного розв’язку
- Б) один розв’язок
- В) два розв’язки
- Г) три розв’язки
- Д) чотири розв’язки
10на відповідність
Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та її розв’язком (А–Д).
- 1) 3x − y = 7 і x + y = 5
- 2) 2x + y = 1 і x − y = 5
- 3) y = 2x і 3x + y = 15
- 4) x + 3y = 7 і 2x + 3y = 5
- А) (2; −3)
- Б) (3; 2)
- В) (−2; 3)
- Г) (3; 6)
- Д) (2; 3)
11коротка відповідь
Скільки пар натуральних чисел (x; y) є розв’язками рівняння 3x + 5y = 52?
Кількість пар
12коротка відповідь
При якому значенні a система рівнянь 4x − 6y = 5 і 2x + ay = 1 не має розв’язків?
Значення параметра a
13коротка відповідь
Розв’яжіть систему рівнянь x − y = 4 і x² − y² = 48. У відповідь запишіть значення x.
Значення x
14коротка відповідь
Змішали два розчини солі: з концентрацією 30 % і з концентрацією 50 %. Отримали 10 кг розчину з концентрацією 42 %. Скільки кілограмів першого розчину взяли?
Маса в кілограмах

Готовий перевірити себе? Рекомендований час — 25 хвилин.

Розібратися з темою з репетитором

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік — викладач пояснить те, що не склалося у відео. Перший урок — від 150 ₴.

Підібрати репетитора

MathemaПробний тест

Рівняння з двома змінними та їх системи. Текстові задачі — відеоурок і тест

Ім’я: Дата: Час початку:

Розв’яжи завдання на папері, а відповіді звір, коли пройдеш тест онлайн.

Завдання 1. Яка пара чисел (x; y) є розв’язком рівняння 2x − 5y = 9?

А) (−1; 2)
Б) (2; 1)
В) (4; 1)
Г) (2; −1)
Д) (−2; −1)

Завдання 2. Розв’яжіть систему рівнянь: 3x + 2y = 11 і 5x − 2y = 13.

А) (3; 1)
Б) (1; 3)
В) (3; −1)
Г) (2; 2,5)
Д) (4; −0,5)

Завдання 3. При якому значенні a пара чисел (−1; 3) є розв’язком рівняння x² + ay = 13?

А) −4
Б) 4
В) 12
Г) 13/3
Д) 14/3

Завдання 4. Укажіть розв’язок системи рівнянь x − y = 2 і xy = 15, у якому обидва числа від’ємні.

А) (−5; −3)
Б) (−1; −3)
В) (−15; −1)
Г) (−2; −4)
Д) (−3; −5)

Завдання 5. Числа x і y задовольняють систему x + y = 6 і xy = 5. Знайдіть значення x² + y², не знаходячи самих x і y.

А) 10
Б) 16
В) 26
Г) 31
Д) 46

Завдання 6. На парковці стоять легкові автомобілі й мотоцикли — разом 23 транспортні засоби, у яких 76 коліс. У кожного автомобіля 4 колеса, у кожного мотоцикла — 2. Скільки мотоциклів на парковці?

А) 8
Б) 15
В) 16
Г) 19
Д) 38

Завдання 7. Човен за 2 год руху за течією річки і 1 год проти течії проходить 56 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 52 км. Знайдіть швидкість течії річки (у км/год).

А) 2
Б) 4
В) 16
Г) 18
Д) 20

Завдання 8. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо цифри цього числа переставити місцями, то утворене число буде на 45 менше від початкового. Знайдіть початкове число.

А) 38
Б) 56
В) 74
Г) 83
Д) 92

Завдання 9. Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та кількістю її розв’язків (А–Д).

1) xy = 4 і x² + y² = 17
2) x² + y² = 9 і y = x² − 3
3) x² + y² = 9 і y = 4
4) x² + y² = 9 і x = −3

А) жодного розв’язку
Б) один розв’язок
В) два розв’язки
Г) три розв’язки
Д) чотири розв’язки

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 10. Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та її розв’язком (А–Д).

1) 3x − y = 7 і x + y = 5
2) 2x + y = 1 і x − y = 5
3) y = 2x і 3x + y = 15
4) x + 3y = 7 і 2x + 3y = 5

А) (2; −3)
Б) (3; 2)
В) (−2; 3)
Г) (3; 6)
Д) (2; 3)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Завдання 11. Скільки пар натуральних чисел (x; y) є розв’язками рівняння 3x + 5y = 52?

Відповідь:

Завдання 12. При якому значенні a система рівнянь 4x − 6y = 5 і 2x + ay = 1 не має розв’язків?

Відповідь:

Завдання 13. Розв’яжіть систему рівнянь x − y = 4 і x² − y² = 48. У відповідь запишіть значення x.

Відповідь:

Завдання 14. Змішали два розчини солі: з концентрацією 30 % і з концентрацією 50 %. Отримали 10 кг розчину з концентрацією 42 %. Скільки кілограмів першого розчину взяли?

Відповідь:

MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Відп.	Г	А	Б	Д	В	А	А	Г	1Д 2Г 3А 4Б	1Б 2А 3Г 4В	3	−3	8	4

1. Г Пара (x; y) є розв’язком, якщо після підстановки рівняння перетворюється на правильну рівність. Для (2; −1): 2 · 2 − 5 · (−1) = 4 + 5 = 9 — правильно. Решта пар дає −12, −1, 3 і 1 замість 9, тож вони не підходять.

2. А Коефіцієнти при y протилежні (2 і −2), тому додаємо рівняння почленно: 8x = 24, x = 3. Підставляємо x = 3 у перше рівняння: 9 + 2y = 11, звідси 2y = 2 і y = 1. Перевірка в другому рівнянні: 5 · 3 − 2 · 1 = 13 — правильно.

3. Б Підставляємо x = −1 і y = 3: (−1)² + a · 3 = 13. 1 + 3a = 13, звідси 3a = 12. a = 4.

4. Д З першого рівняння x = y + 2. Підставляємо в друге: (y + 2) · y = 15, тобто y² + 2y − 15 = 0. Корені: y = 3 або y = −5 (сума −2, добуток −15). Відповідні x: 5 або −3. Обидва числа від’ємні лише в парі (−3; −5).

5. В (x + y)² = x² + 2xy + y², тому x² + y² = (x + y)² − 2xy. Підставляємо: 6² − 2 · 5 = 36 − 10 = 26.

6. А Нехай на парковці x автомобілів і y мотоциклів. Тоді x + y = 23 і 4x + 2y = 76. З першого рівняння x = 23 − y. Підставляємо: 4(23 − y) + 2y = 76, тобто 92 − 2y = 76. 2y = 16, звідси y = 8.

7. А Нехай швидкість за течією v₁ км/год, проти течії — v₂ км/год. Маємо систему 2v₁ + v₂ = 56 і v₁ + 2v₂ = 52. Віднімаємо друге рівняння від першого: v₁ − v₂ = 4. Додаємо їх: 3(v₁ + v₂) = 108, тобто v₁ + v₂ = 36. Отже, v₁ = 20, v₂ = 16. Швидкість течії — половина різниці: (20 − 16) : 2 = 2 км/год.

8. Г Нехай a — цифра десятків, b — цифра одиниць. Число дорівнює 10a + b, а число з переставленими цифрами — 10b + a. Маємо систему a + b = 11 і (10a + b) − (10b + a) = 45, тобто 9(a − b) = 45 і a − b = 5. Додаємо рівняння: 2a = 16, a = 8, b = 3. Шукане число — 83.

9. 1Д 2Г 3А 4Б Система 1: (x + y)² = 17 + 8 = 25 і (x − y)² = 17 − 8 = 9, тобто x + y = ±5 і x − y = ±3. Чотири комбінації знаків дають чотири розв’язки: (4; 1), (1; 4), (−1; −4), (−4; −1). Система 2: x² = y + 3, тому y + 3 + y² = 9, тобто y² + y − 6 = 0 і y = 2 або y = −3. При y = 2 маємо x = ±√5, при y = −3 — лише x = 0: три розв’язки. Система 3: при y = 4 маємо x² = 9 − 16 = −7 < 0 — розв’язків немає: пряма проходить вище від кола радіуса 3. Система 4: при x = −3 маємо 9 + y² = 9, тобто y = 0 — один розв’язок: пряма дотикається до кола.

10. 1Б 2А 3Г 4В Система 1: додаємо рівняння — 4x = 12, x = 3, тоді y = 5 − 3 = 2. Система 2: додаємо рівняння — 3x = 6, x = 2, тоді y = 1 − 4 = −3. Система 3: підставляємо y = 2x у друге рівняння — 5x = 15, x = 3, y = 6. Система 4: віднімаємо перше рівняння від другого — x = −2, тоді 3y = 7 + 2 = 9 і y = 3.

11. 3 Виразимо y = (52 − 3x) : 5. Потрібно, щоб різниця 52 − 3x була додатною й ділилася на 5. Перебираємо x = 1, 2, 3, …: підходять x = 4 (y = 8), x = 9 (y = 5) і x = 14 (y = 2). При x = 19 маємо 52 − 57 < 0, тож інших натуральних розв’язків немає.

12. −3 Система двох лінійних рівнянь не має розв’язків, коли коефіцієнти при змінних пропорційні, а вільні члени — ні: 4/2 = −6/a ≠ 5/1. 4/2 = 2, тому −6/a = 2 і a = −3. Вільні члени: 5/1 = 5 ≠ 2, отже, при a = −3 прямі паралельні й не збігаються.

13. 8 Розкладаємо різницю квадратів: x² − y² = (x − y)(x + y) = 48. Оскільки x − y = 4, маємо 4(x + y) = 48, тобто x + y = 12. Із системи x − y = 4 і x + y = 12 знаходимо 2x = 16, тобто x = 8 (і y = 4).

14. 4 Нехай узяли x кг першого і y кг другого розчину. Маса суміші: x + y = 10. Маса солі: 0,3x + 0,5y = 0,42 · 10 = 4,2. Підставляємо y = 10 − x: 0,3x + 5 − 0,5x = 4,2, тобто 0,2x = 0,8 і x = 4.