Довідкові матеріали НМТ з математики

Усі формули, які знадобляться на НМТ — алгебра, геометрія, тригонометрія, прогресії. Друкується на дві сторінки A4.

71 формула · друкується на дві сторінки A4

Порядок дійДужки завжди першими, дії одного рівня — зліва направо.
Модуль числаМодуль ніколи не буває від’ємним.
Множення дробів
Ділення дробівДілення на дріб — множення на обернений до нього.
Додавання дробівПісля зведення до спільного знаменника.
ОкругленняДивимось лише на першу відкинуту цифру.

Відсоток від числаЗнайти 1 % і помножити — найшвидше усно.
Скільки відсотків одне число від іншого
Відсоткова змінаP — початкове значення, K — кінцеве.
Основна властивість пропорціїДобуток крайніх дорівнює добутку середніх.

Добуток степенів з однаковою основоюОснови однакові — показники додаються.
Частка степенів з однаковою основоюПри діленні показники віднімаються.
Степінь степеняПоказники перемножуються.
Степінь добутку
Нульовий показникБудь-яке число, крім нуля, у нульовому степені дає 1.
Від’ємний показникМінус у показнику означає «перевернути дріб».
Корінь з добуткуПрацює для a ⩾ 0 і b ⩾ 0.
Корінь з часткиЗа умови a ⩾ 0 і b > 0.

Квадрат сумиСередній доданок подвоюється — саме тут помиляються найчастіше.
Квадрат різниціb² завжди додатний, незалежно від знака b.
Різниця квадратівНайкорисніша формула на НМТ — тримай її першою.
Сума кубівЗнак у дужці протилежний знаку між кубами.
Різниця кубів
Куб суми
Куб різниці

ДискримінантD > 0 — два корені, D = 0 — один, D < 0 — коренів немає.
Корені квадратного рівняння
Теорема ВієтаШвидкий спосіб дібрати цілі корені усно.
Розклад квадратного тричлена
Знак нерівності при множенніДодатне число знак не змінює.

Лінійна функціяk — нахил (k > 0 зростає, k < 0 спадає), b — точка перетину з Oy.
Пряма пропорційністьГрафік — пряма, що проходить через початок координат.
Обернена пропорційністьГрафік — гіпербола, x ≠ 0.
Квадратична функціяГрафік — парабола; вітки вгору при a > 0.
Вершина параболи
Нулі функції

n-й член арифметичної прогресії
Сума n членів арифметичної прогресії
Різниця арифметичної прогресії
n-й член геометричної прогресії
Сума n членів геометричної прогресіїЗа умови q ≠ 1.
Сума нескінченної геометричної прогресіїЛише коли |q| < 1.

Теорема Піфагораc — гіпотенуза, завжди найдовша сторона.
Площа трикутникаh — висота, проведена саме до сторони a.
Площа прямокутного трикутникаa і b — катети.
Площа прямокутника
Площа квадрата
Площа паралелограма
Площа трапеціїa і b — основи, h — висота між ними.
Довжина колаНа НМТ π ≈ 3,14.
Площа кругаПлоща завжди «квадратна» — радіус у квадраті.
Сума кутів трикутникаДля будь-якого трикутника без винятків.
Сума кутів опуклого n-кутника
Середня лінія трикутникаПаралельна стороні й удвічі коротша за неї.

Об’єм призми
Об’єм пірамідиТретина від об’єму призми з тією ж основою й висотою.
Об’єм прямокутного паралелепіпеда
Об’єм куба
Об’єм циліндра
Об’єм конуса
Об’єм кулі
Площа поверхні кулі

Синус гострого кута
Косинус гострого кута
Тангенс гострого кута
Основна тригонометрична тотожність
Тангенс через синус і косинусЗа умови cos α ≠ 0.
Теорема синусів
Теорема косинусівПри γ = 90° перетворюється на теорему Піфагора.
Площа трикутника через синус
Значення для 30°, 45°, 60°Косинуси — ті самі значення у зворотному порядку.

Формули вивчено — час застосувати їх на задачах

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік. Перший урок — від 150 ₴, і на ньому викладач розбере саме твої слабкі теми.

Підібрати репетитора

MathemaДовідкові матеріали НМТ з математики

Довідкові матеріали НМТ з математики

Дії з числами

Порядок дій( ) → степінь → · : → + −
Модуль числа|a| = a, якщо a ⩾ 0; |a| = −a, якщо a < 0
Множення дробівa/b · c/d = (a · c) / (b · d)
Ділення дробівa/b : c/d = a/b · d/c
Додавання дробівa/b + c/d = (a · d + c · b) / (b · d)
Округленняцифра ⩾ 5 → округлюємо вгору

Відсотки та пропорції

Відсоток від числаX = (p / 100) · L
Скільки відсотків одне число від іншогоp = (X / Y) · 100 %
Відсоткова змінаΔ = ((K − P) / P) · 100 %
Основна властивість пропорціїa : b = c : d ⟹ a · d = b · c

Степені та корені

Добуток степенів з однаковою основоюaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Частка степенів з однаковою основоюaᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Степінь степеня(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
Степінь добутку(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
Нульовий показникa⁰ = 1, a ≠ 0
Від’ємний показникa⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Корінь з добутку√(a · b) = √a · √b
Корінь з частки√(a / b) = √a / √b

Формули скороченого множення

Квадрат суми(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат різниці(a − b)² = a² − 2ab + b²
Різниця квадратівa² − b² = (a − b)(a + b)
Сума кубівa³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Різниця кубівa³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Куб суми(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Куб різниці(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Рівняння та нерівності

ДискримінантD = b² − 4ac
Корені квадратного рівнянняx = (−b ± √D) / 2a
Теорема Вієтаx₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a
Розклад квадратного тричленаax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
Знак нерівності при множеннімноження або ділення на від’ємне число перевертає знак

Функції та графіки

Лінійна функціяy = kx + b
Пряма пропорційністьy = kx
Обернена пропорційністьy = k / x
Квадратична функціяy = ax² + bx + c
Вершина параболиx₀ = −b / 2a, y₀ = y(x₀)
Нулі функціїy = 0 ⟹ точки перетину графіка з віссю Ox

Прогресії

n-й член арифметичної прогресіїaₙ = a₁ + (n − 1)d
Сума n членів арифметичної прогресіїSₙ = ((a₁ + aₙ) / 2) · n
Різниця арифметичної прогресіїd = aₙ₊₁ − aₙ
n-й член геометричної прогресіїbₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Сума n членів геометричної прогресіїSₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1)
Сума нескінченної геометричної прогресіїS = b₁ / (1 − q)

Планіметрія

Теорема Піфагораa² + b² = c²
Площа трикутникаS = ½ · a · h
Площа прямокутного трикутникаS = ½ · a · b
Площа прямокутникаS = a · b
Площа квадратаS = a²
Площа паралелограмаS = a · h
Площа трапеціїS = ((a + b) / 2) · h
Довжина колаC = 2πR
Площа кругаS = πR²
Сума кутів трикутникаα + β + γ = 180°
Сума кутів опуклого n-кутника(n − 2) · 180°
Середня лінія трикутникаm = ½ · a

Стереометрія

Об’єм призмиV = S_осн · h
Об’єм пірамідиV = ⅓ · S_осн · h
Об’єм прямокутного паралелепіпедаV = a · b · c
Об’єм кубаV = a³
Об’єм циліндраV = πR²h
Об’єм конусаV = ⅓ · πR²h
Об’єм куліV = ⁴⁄₃ · πR³
Площа поверхні куліS = 4πR²

Тригонометрія

Синус гострого кутаsin α = протилежний катет / гіпотенуза
Косинус гострого кутаcos α = прилеглий катет / гіпотенуза
Тангенс гострого кутаtg α = протилежний катет / прилеглий катет
Основна тригонометрична тотожністьsin²α + cos²α = 1
Тангенс через синус і косинусtg α = sin α / cos α
Теорема синусівa / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
Теорема косинусівc² = a² + b² − 2ab · cos γ
Площа трикутника через синусS = ½ · a · b · sin γ
Значення для 30°, 45°, 60°sin: ½, √2/2, √3/2