Блок 3 · Тема 13 из 42

Рівняння з двома змінними та їх системи. Текстові задачі — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 61 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2022 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Аналіз виконання тесту
Рівняння з двома змінними та їх системи
Розв’язування текстових задач за допомогою систем рівнянь

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Яка пара чисел (x; y) є розв’язком рівняння 2x − 5y = 9?
- А (−1; 2)
- Б (2; 1)
- В (4; 1)
- Г (2; −1)
- Д (−2; −1)
2один правильный ответ
Розв’яжіть систему рівнянь: 3x + 2y = 11 і 5x − 2y = 13.
- А (3; 1)
- Б (1; 3)
- В (3; −1)
- Г (2; 2,5)
- Д (4; −0,5)
3один правильный ответ
При якому значенні a пара чисел (−1; 3) є розв’язком рівняння x² + ay = 13?
- А −4
- Б 4
- В 12
- Г 13/3
- Д 14/3
4один правильный ответ
Укажіть розв’язок системи рівнянь x − y = 2 і xy = 15, у якому обидва числа від’ємні.
- А (−5; −3)
- Б (−1; −3)
- В (−15; −1)
- Г (−2; −4)
- Д (−3; −5)
5один правильный ответ
Числа x і y задовольняють систему x + y = 6 і xy = 5. Знайдіть значення x² + y², не знаходячи самих x і y.
- А 10
- Б 16
- В 26
- Г 31
- Д 46
6один правильный ответ
На парковці стоять легкові автомобілі й мотоцикли — разом 23 транспортні засоби, у яких 76 коліс. У кожного автомобіля 4 колеса, у кожного мотоцикла — 2. Скільки мотоциклів на парковці?
- А 8
- Б 15
- В 16
- Г 19
- Д 38
7один правильный ответ
Човен за 2 год руху за течією річки і 1 год проти течії проходить 56 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 52 км. Знайдіть швидкість течії річки (у км/год).
- А 2
- Б 4
- В 16
- Г 18
- Д 20
8один правильный ответ
Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо цифри цього числа переставити місцями, то утворене число буде на 45 менше від початкового. Знайдіть початкове число.
- А 38
- Б 56
- В 74
- Г 83
- Д 92
9на соответствие
Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та кількістю її розв’язків (А–Д).
- 1) xy = 4 і x² + y² = 17
- 2) x² + y² = 9 і y = x² − 3
- 3) x² + y² = 9 і y = 4
- 4) x² + y² = 9 і x = −3
- А) жодного розв’язку
- Б) один розв’язок
- В) два розв’язки
- Г) три розв’язки
- Д) чотири розв’язки
10на соответствие
Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та її розв’язком (А–Д).
- 1) 3x − y = 7 і x + y = 5
- 2) 2x + y = 1 і x − y = 5
- 3) y = 2x і 3x + y = 15
- 4) x + 3y = 7 і 2x + 3y = 5
- А) (2; −3)
- Б) (3; 2)
- В) (−2; 3)
- Г) (3; 6)
- Д) (2; 3)
11краткий ответ
Скільки пар натуральних чисел (x; y) є розв’язками рівняння 3x + 5y = 52?
Кількість пар
12краткий ответ
При якому значенні a система рівнянь 4x − 6y = 5 і 2x + ay = 1 не має розв’язків?
Значення параметра a
13краткий ответ
Розв’яжіть систему рівнянь x − y = 4 і x² − y² = 48. У відповідь запишіть значення x.
Значення x
14краткий ответ
Змішали два розчини солі: з концентрацією 30 % і з концентрацією 50 %. Отримали 10 кг розчину з концентрацією 42 %. Скільки кілограмів першого розчину взяли?
Маса в кілограмах

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Рівняння з двома змінними та їх системи. Текстові задачі — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Яка пара чисел (x; y) є розв’язком рівняння 2x − 5y = 9?

А) (−1; 2)
Б) (2; 1)
В) (4; 1)
Г) (2; −1)
Д) (−2; −1)

Задание 2. Розв’яжіть систему рівнянь: 3x + 2y = 11 і 5x − 2y = 13.

А) (3; 1)
Б) (1; 3)
В) (3; −1)
Г) (2; 2,5)
Д) (4; −0,5)

Задание 3. При якому значенні a пара чисел (−1; 3) є розв’язком рівняння x² + ay = 13?

А) −4
Б) 4
В) 12
Г) 13/3
Д) 14/3

Задание 4. Укажіть розв’язок системи рівнянь x − y = 2 і xy = 15, у якому обидва числа від’ємні.

А) (−5; −3)
Б) (−1; −3)
В) (−15; −1)
Г) (−2; −4)
Д) (−3; −5)

Задание 5. Числа x і y задовольняють систему x + y = 6 і xy = 5. Знайдіть значення x² + y², не знаходячи самих x і y.

А) 10
Б) 16
В) 26
Г) 31
Д) 46

Задание 6. На парковці стоять легкові автомобілі й мотоцикли — разом 23 транспортні засоби, у яких 76 коліс. У кожного автомобіля 4 колеса, у кожного мотоцикла — 2. Скільки мотоциклів на парковці?

А) 8
Б) 15
В) 16
Г) 19
Д) 38

Задание 7. Човен за 2 год руху за течією річки і 1 год проти течії проходить 56 км, а за 1 год за течією і 2 год проти течії — 52 км. Знайдіть швидкість течії річки (у км/год).

А) 2
Б) 4
В) 16
Г) 18
Д) 20

Задание 8. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо цифри цього числа переставити місцями, то утворене число буде на 45 менше від початкового. Знайдіть початкове число.

А) 38
Б) 56
В) 74
Г) 83
Д) 92

Задание 9. Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та кількістю її розв’язків (А–Д).

1) xy = 4 і x² + y² = 17
2) x² + y² = 9 і y = x² − 3
3) x² + y² = 9 і y = 4
4) x² + y² = 9 і x = −3

А) жодного розв’язку
Б) один розв’язок
В) два розв’язки
Г) три розв’язки
Д) чотири розв’язки

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між системою рівнянь (1–4) та її розв’язком (А–Д).

1) 3x − y = 7 і x + y = 5
2) 2x + y = 1 і x − y = 5
3) y = 2x і 3x + y = 15
4) x + 3y = 7 і 2x + 3y = 5

А) (2; −3)
Б) (3; 2)
В) (−2; 3)
Г) (3; 6)
Д) (2; 3)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Скільки пар натуральних чисел (x; y) є розв’язками рівняння 3x + 5y = 52?

Ответ:

Задание 12. При якому значенні a система рівнянь 4x − 6y = 5 і 2x + ay = 1 не має розв’язків?

Ответ:

Задание 13. Розв’яжіть систему рівнянь x − y = 4 і x² − y² = 48. У відповідь запишіть значення x.

Ответ:

Задание 14. Змішали два розчини солі: з концентрацією 30 % і з концентрацією 50 %. Отримали 10 кг розчину з концентрацією 42 %. Скільки кілограмів першого розчину взяли?

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	Г	А	Б	Д	В	А	А	Г	1Д 2Г 3А 4Б	1Б 2А 3Г 4В	3	−3	8	4

1. Г Пара (x; y) є розв’язком, якщо після підстановки рівняння перетворюється на правильну рівність. Для (2; −1): 2 · 2 − 5 · (−1) = 4 + 5 = 9 — правильно. Решта пар дає −12, −1, 3 і 1 замість 9, тож вони не підходять.

2. А Коефіцієнти при y протилежні (2 і −2), тому додаємо рівняння почленно: 8x = 24, x = 3. Підставляємо x = 3 у перше рівняння: 9 + 2y = 11, звідси 2y = 2 і y = 1. Перевірка в другому рівнянні: 5 · 3 − 2 · 1 = 13 — правильно.

3. Б Підставляємо x = −1 і y = 3: (−1)² + a · 3 = 13. 1 + 3a = 13, звідси 3a = 12. a = 4.

4. Д З першого рівняння x = y + 2. Підставляємо в друге: (y + 2) · y = 15, тобто y² + 2y − 15 = 0. Корені: y = 3 або y = −5 (сума −2, добуток −15). Відповідні x: 5 або −3. Обидва числа від’ємні лише в парі (−3; −5).

5. В (x + y)² = x² + 2xy + y², тому x² + y² = (x + y)² − 2xy. Підставляємо: 6² − 2 · 5 = 36 − 10 = 26.

6. А Нехай на парковці x автомобілів і y мотоциклів. Тоді x + y = 23 і 4x + 2y = 76. З першого рівняння x = 23 − y. Підставляємо: 4(23 − y) + 2y = 76, тобто 92 − 2y = 76. 2y = 16, звідси y = 8.

7. А Нехай швидкість за течією v₁ км/год, проти течії — v₂ км/год. Маємо систему 2v₁ + v₂ = 56 і v₁ + 2v₂ = 52. Віднімаємо друге рівняння від першого: v₁ − v₂ = 4. Додаємо їх: 3(v₁ + v₂) = 108, тобто v₁ + v₂ = 36. Отже, v₁ = 20, v₂ = 16. Швидкість течії — половина різниці: (20 − 16) : 2 = 2 км/год.

8. Г Нехай a — цифра десятків, b — цифра одиниць. Число дорівнює 10a + b, а число з переставленими цифрами — 10b + a. Маємо систему a + b = 11 і (10a + b) − (10b + a) = 45, тобто 9(a − b) = 45 і a − b = 5. Додаємо рівняння: 2a = 16, a = 8, b = 3. Шукане число — 83.

9. 1Д 2Г 3А 4Б Система 1: (x + y)² = 17 + 8 = 25 і (x − y)² = 17 − 8 = 9, тобто x + y = ±5 і x − y = ±3. Чотири комбінації знаків дають чотири розв’язки: (4; 1), (1; 4), (−1; −4), (−4; −1). Система 2: x² = y + 3, тому y + 3 + y² = 9, тобто y² + y − 6 = 0 і y = 2 або y = −3. При y = 2 маємо x = ±√5, при y = −3 — лише x = 0: три розв’язки. Система 3: при y = 4 маємо x² = 9 − 16 = −7 < 0 — розв’язків немає: пряма проходить вище від кола радіуса 3. Система 4: при x = −3 маємо 9 + y² = 9, тобто y = 0 — один розв’язок: пряма дотикається до кола.

10. 1Б 2А 3Г 4В Система 1: додаємо рівняння — 4x = 12, x = 3, тоді y = 5 − 3 = 2. Система 2: додаємо рівняння — 3x = 6, x = 2, тоді y = 1 − 4 = −3. Система 3: підставляємо y = 2x у друге рівняння — 5x = 15, x = 3, y = 6. Система 4: віднімаємо перше рівняння від другого — x = −2, тоді 3y = 7 + 2 = 9 і y = 3.

11. 3 Виразимо y = (52 − 3x) : 5. Потрібно, щоб різниця 52 − 3x була додатною й ділилася на 5. Перебираємо x = 1, 2, 3, …: підходять x = 4 (y = 8), x = 9 (y = 5) і x = 14 (y = 2). При x = 19 маємо 52 − 57 < 0, тож інших натуральних розв’язків немає.

12. −3 Система двох лінійних рівнянь не має розв’язків, коли коефіцієнти при змінних пропорційні, а вільні члени — ні: 4/2 = −6/a ≠ 5/1. 4/2 = 2, тому −6/a = 2 і a = −3. Вільні члени: 5/1 = 5 ≠ 2, отже, при a = −3 прямі паралельні й не збігаються.

13. 8 Розкладаємо різницю квадратів: x² − y² = (x − y)(x + y) = 48. Оскільки x − y = 4, маємо 4(x + y) = 48, тобто x + y = 12. Із системи x − y = 4 і x + y = 12 знаходимо 2x = 16, тобто x = 8 (і y = 4).

14. 4 Нехай узяли x кг першого і y кг другого розчину. Маса суміші: x + y = 10. Маса солі: 0,3x + 0,5y = 0,42 · 10 = 4,2. Підставляємо y = 10 − x: 0,3x + 5 − 0,5x = 4,2, тобто 0,2x = 0,8 і x = 4.