Блок 2 · Тема 10 из 42

Прямокутний трикутник — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 44 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2022 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника
Теорема косинусів
Теорема синусів

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 21 см. Знайдіть cos B.
- А 20/29
- Б 21/29
- В 20/21
- Г 21/20
- Д 29/21
2один правильный ответ
Драбину приставили до вертикальної стіни. Нижній кінець драбини стоїть на відстані 10 дм від стіни, а верхній спирається на стіну на висоті, яка на 2 дм менша за довжину драбини. Знайдіть довжину драбини.
- А 12 дм
- Б 24 дм
- В 25 дм
- Г 26 дм
- Д 52 дм
3один правильный ответ
Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть цю висоту.
- А 6 см
- Б 6,5 см
- В 13 см
- Г 18 см
- Д 36 см
4один правильный ответ
Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один із його гострих кутів — 30°. Знайдіть катет, прилеглий до цього кута.
- А 6 см
- Б 4√3 см
- В 6√3 см
- Г 12√3 см
- Д 24 см
5один правильный ответ
Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проекція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу.
- А 2√5 см
- Б 5 см
- В 2√13 см
- Г 9 см
- Д 10 см
6один правильный ответ
Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.
- А 3 см
- Б √39 см
- В 7 см
- Г √89 см
- Д √129 см
7один правильный ответ
У трикутнику ABC ∠C = 90°, tg A = 0,75, BC = 9 см. Знайдіть AB.
- А 6,75 см
- Б 11,25 см
- В 12 см
- Г 15 см
- Д 21 см
8один правильный ответ
У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 6√2 см. Знайдіть AC.
- А 3 см
- Б 3√2 см
- В 6 см
- Г 6√2 см
- Д 12 см
9на соответствие
У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) висота CH ділить гіпотенузу на відрізки AH = 16 см і BH = 9 см. Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А–Д).
- 1) CH
- 2) AC
- 3) BC
- 4) AB
- А) 12 см
- Б) 12,5 см
- В) 15 см
- Г) 20 см
- Д) 25 см
10на соответствие
Установіть відповідність між трійкою довжин відрізків (1–4) та висновком про трикутник із такими сторонами (А–Д).
- 1) 5 см, 6 см, 7 см
- 2) 9 см, 12 см, 15 см
- 3) 5 см, 7 см, 10 см
- 4) 3 см, 4 см, 8 см
- А) тупокутний
- Б) такого трикутника не існує
- В) гострокутний
- Г) рівносторонній
- Д) прямокутний
11краткий ответ
Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 8,5 см, а один із катетів — 8 см. Знайдіть периметр трикутника (у см).
Периметр у сантиметрах
12краткий ответ
Пандус піднімається на висоту 0,7 м, а довжина його похилої поверхні — 2,5 м. Яку відстань по горизонталі (у метрах) займає пандус?
Відстань у метрах
13краткий ответ
У трикутнику ABC ∠C = 90°, AB = 25 см, sin A = 0,28. Знайдіть AC (у см).
Довжина в сантиметрах
14краткий ответ
Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.
Градусна міра кута

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Прямокутний трикутник — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = 21 см. Знайдіть cos B.

А) 20/29
Б) 21/29
В) 20/21
Г) 21/20
Д) 29/21

Задание 2. Драбину приставили до вертикальної стіни. Нижній кінець драбини стоїть на відстані 10 дм від стіни, а верхній спирається на стіну на висоті, яка на 2 дм менша за довжину драбини. Знайдіть довжину драбини.

А) 12 дм
Б) 24 дм
В) 25 дм
Г) 26 дм
Д) 52 дм

Задание 3. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить її на відрізки 4 см і 9 см. Знайдіть цю висоту.

А) 6 см
Б) 6,5 см
В) 13 см
Г) 18 см
Д) 36 см

Задание 4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а один із його гострих кутів — 30°. Знайдіть катет, прилеглий до цього кута.

А) 6 см
Б) 4√3 см
В) 6√3 см
Г) 12√3 см
Д) 24 см

Задание 5. Катет прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а його проекція на гіпотенузу — 4 см. Знайдіть гіпотенузу.

А) 2√5 см
Б) 5 см
В) 2√13 см
Г) 9 см
Д) 10 см

Задание 6. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см, а кут між ними — 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

А) 3 см
Б) √39 см
В) 7 см
Г) √89 см
Д) √129 см

Задание 7. У трикутнику ABC ∠C = 90°, tg A = 0,75, BC = 9 см. Знайдіть AB.

А) 6,75 см
Б) 11,25 см
В) 12 см
Г) 15 см
Д) 21 см

Задание 8. У трикутнику ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, BC = 6√2 см. Знайдіть AC.

А) 3 см
Б) 3√2 см
В) 6 см
Г) 6√2 см
Д) 12 см

Задание 9. У прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°) висота CH ділить гіпотенузу на відрізки AH = 16 см і BH = 9 см. Установіть відповідність між відрізком (1–4) та його довжиною (А–Д).

1) CH
2) AC
3) BC
4) AB

А) 12 см
Б) 12,5 см
В) 15 см
Г) 20 см
Д) 25 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між трійкою довжин відрізків (1–4) та висновком про трикутник із такими сторонами (А–Д).

1) 5 см, 6 см, 7 см
2) 9 см, 12 см, 15 см
3) 5 см, 7 см, 10 см
4) 3 см, 4 см, 8 см

А) тупокутний
Б) такого трикутника не існує
В) гострокутний
Г) рівносторонній
Д) прямокутний

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює 8,5 см, а один із катетів — 8 см. Знайдіть периметр трикутника (у см).

Ответ:

Задание 12. Пандус піднімається на висоту 0,7 м, а довжина його похилої поверхні — 2,5 м. Яку відстань по горизонталі (у метрах) займає пандус?

Ответ:

Задание 13. У трикутнику ABC ∠C = 90°, AB = 25 см, sin A = 0,28. Знайдіть AC (у см).

Ответ:

Задание 14. Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 5 см і 7 см. Знайдіть градусну міру найбільшого кута трикутника.

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	Б	Г	А	В	Г	В	Г	В	1А 2Г 3В 4Д	1В 2Д 3А 4Б	40	2,4	24	120

1. Б Гіпотенуза: AB = √(20² + 21²) = √(400 + 441) = √841 = 29 см. Косинус гострого кута — відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Прилеглий до кута B катет — BC. cos B = BC/AB = 21/29

2. Г Драбина, стіна й підлога утворюють прямокутний трикутник: драбина — гіпотенуза x, висота — катет x − 2, відстань до стіни — катет 10. За теоремою Піфагора x² = (x − 2)² + 10², тобто x² = x² − 4x + 4 + 100. 4x = 104, x = 26 дм.

3. А Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона ділить гіпотенузу: h² = 4 · 9. h² = 36, h = 6 см.

4. В Прилеглий катет дорівнює гіпотенузі, помноженій на косинус кута. 12 · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 см.

5. Г Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та своєю проекцією на неї: a² = c · m. 6² = c · 4, тобто 36 = 4c. c = 9 см

6. В За теоремою косинусів c² = a² + b² − 2ab · cos γ. c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · 1/2 = 89 − 40 = 49 c = 7 см

7. Г tg A = BC/AC, тому AC = BC : tg A = 9 : 0,75 = 12 см. AB = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.

8. В За теоремою синусів BC/sin A = AC/sin B: сторони пропорційні синусам протилежних кутів. AC = BC · sin B : sin A = 6√2 · 1/2 : (√2/2) AC = 3√2 : (√2/2) = 6 см.

9. 1А 2Г 3В 4Д AB = AH + BH = 16 + 9 = 25 см. CH² = AH · BH = 16 · 9 = 144, CH = 12 см. AC² = AB · AH = 25 · 16 = 400, AC = 20 см. BC² = AB · BH = 25 · 9 = 225, BC = 15 см.

10. 1В 2Д 3А 4Б Спершу перевіряємо нерівність трикутника, потім порівнюємо квадрат найбільшої сторони із сумою квадратів двох інших — це наслідок теореми косинусів. 1: 7² = 49 < 25 + 36 = 61 — найбільший кут гострий, трикутник гострокутний. 2: 15² = 225 = 81 + 144 — трикутник прямокутний. 3: 10² = 100 > 25 + 49 = 74 — найбільший кут тупий. 4: 3 + 4 = 7 < 8 — нерівність трикутника порушена, такого трикутника немає.

11. 40 Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому гіпотенуза — 17 см. Другий катет: √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 см. Периметр: 8 + 15 + 17 = 40 см.

12. 2,4 Похила поверхня — гіпотенуза прямокутного трикутника, висота підйому й горизонтальна відстань — катети. Горизонтальний катет: √(2,5² − 0,7²) = √(6,25 − 0,49) = √5,76. √5,76 = 2,4 м

13. 24 sin A = BC/AB, тому BC = 25 · 0,28 = 7 см. AC = √(25² − 7²) = √(625 − 49) = √576 = 24 см.

14. 120 Найбільший кут лежить проти найбільшої сторони, 7 см. За теоремою косинусів cos γ = (3² + 5² − 7²)/(2 · 3 · 5) = (9 + 25 − 49)/30 = −15/30 = −1/2. Кут, косинус якого дорівнює −1/2, — це 120°.