1. В Проміжок [−2,7; 4) містить усі числа від −2,7 включно до 4, а саме число 4 до нього не входить (кругла дужка). Найменше ціле число в ньому — −2, бо −3 < −2,7; найбільше — 3. Цілі числа: −2, −1, 0, 1, 2, 3 — їх шість.
2. Б Переріз — це числа, які належать обом проміжкам одночасно. Лівий кінець перерізу — більший із лівих кінців, тобто 1; він не входить, бо (1; 8] відкритий зліва. Правий кінець — менший із правих, тобто 5; він не входить, бо [−3; 5) відкритий справа. Переріз: (1; 5).
3. Д Якщо до обох частин нерівності додати або відняти те саме число чи помножити їх на додатне число, знак зберігається. Тому 2p < 2q, а отже, 2p − 1 < 2q − 1 — правильно. Множення на −3 і віднімання від 5 змінюють знак: −3p > −3q, 5 − p > 5 − q; а p − q < 0, бо p менше за q.
4. Б Різницю оцінюють як суму x + (−y). Помножимо 1 < y < 3 на −1: −3 < −y < −1. Почленно додаємо нерівності одного знака: 2 + (−3) < x − y < 5 + (−1). Отже, −1 < x − y < 4.
5. А Переносимо доданки зі змінною ліворуч, а числа — праворуч: −3x − 2x ⩾ 19 − 4. −5x ⩾ 15. Ділимо на −5 і змінюємо знак: x ⩽ −3. Множина розв’язків — (−∞; −3]; число −3 входить, бо нерівність нестрога.
6. В Множимо обидві частини на 6 — спільний знаменник: 2(x − 4) − 3x < 6. 2x − 8 − 3x < 6, тобто −x < 14, звідси x > −14. Число −14 не входить (нерівність строга), тож найменший цілий розв’язок — −13.
7. Г Розв’язуємо кожну нерівність: 2x > 4, тобто x > 2; −x ⩾ −5, тобто x ⩽ 5. Розв’язок системи — переріз: числа, більші за 2 і не більші за 5. Записуємо його як (2; 5]: число 2 не входить, число 5 входить.
8. В Перша нерівність: 3x − x ⩾ −6 − 4, тобто 2x ⩾ −10 і x ⩾ −5. Друга: −2x + x > 1 − 5, тобто −x > −4 і x < 4. Розв’язок системи — [−5; 4). Цілі числа в ньому: −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 — їх дев’ять.
9. 1Б 2Г 3Д 4А 1: 3x < 9, x < 3 — проміжок (−∞; 3). 2: −x ⩽ −3, x ⩾ 3 — проміжок [3; +∞). 3: 2x + 2 > 2x − 5 зводиться до 2 > −5 — це правильно за будь-якого x, тож розв’язок (−∞; +∞). 4: 6 − 2x ⩾ 8 − 2x зводиться до 6 ⩾ 8 — це хибно за будь-якого x, тож розв’язків немає.
10. 1В 2Д 3А 4Б 1: x > −1 і x < 4 — переріз (−1; 4). 2: x ⩾ 4 і x ⩾ −1 — обидві умови виконуються при x ⩾ 4, тобто [4; +∞). 3: x ⩽ −1 і x ⩾ 4 — таких чисел немає, система розв’язків не має. 4: x ⩽ −1 і x < 4 — переріз (−∞; −1].
11. 8 3² = 9 < 10 < 16 = 4², тому −4 < −√10 < −3. У проміжку (−√10; 1] цілі числа −3, −2, −1, 0, 1 — їх п’ять. 6² = 36 < 40 < 49 = 7², тому 6 < √40 < 7. У проміжку (3; √40) цілі числа 4, 5, 6 — їх три, бо 3 не входить. Проміжки не мають спільних точок, тому разом 5 + 3 = 8 цілих чисел.
12. 10 Множимо нерівність −4 < x ⩽ 1 на −2 і змінюємо обидва знаки: −2 ⩽ −2x < 8. Додаємо 3: 1 ⩽ 3 − 2x < 11. Вираз набуває всіх значень із проміжку [1; 11); цілі серед них — 1, 2, …, 10, тобто 10 значень.
13. 7 Нехай t — кількість годин. Вартість 40 + 25t не має перевищувати 230 грн: 40 + 25t ⩽ 230. 25t ⩽ 190, звідси t ⩽ 7,6. Найбільше ціле t, що задовольняє нерівність, — 7.
14. 25 Перша нерівність: множимо на 2 — x + 1 ⩾ 2x − 6, звідси x ⩽ 7. Друга: 3x + 6 > x, тобто 2x > −6 і x > −3. Розв’язок системи — (−3; 7]. Цілі числа: −2, −1, 0, …, 7; пари −2 і 2, −1 і 1 дають нуль, тож сума 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25.
