Блок 2 · Тема 11 из 42

Дробові раціональні рівняння. Біквадратні рівняння — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 64 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2022 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Аналіз виконання тесту
Розв’язування рівнянь розкладанням многочлена на множники
Метод заміни змінної
Текстові задачі, що зводяться до квадратних і дробових рівнянь
Найпростіші рівняння з параметром

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння 12/x = x − 1.
- А 4
- Б −3
- В −4; 3
- Г −3; 4
- Д 3; 4
2один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння x³ − 3x² − 4x + 12 = 0.
- А 3
- Б 2; 3
- В −2; 3
- Г −3; −2; 2
- Д −2; 2; 3
3один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння x⁴ − 5x² − 36 = 0.
- А 3
- Б −3; 3
- В −4; 9
- Г −3; −2; 2; 3
- Д −9; 4
4один правильный ответ
Два насоси, працюючи разом, відкачують воду з котловану за 6 год. Перший насос, працюючи сам, упорався б із цим на 5 год швидше, ніж другий. За скільки годин відкачає воду другий насос, працюючи сам?
- А 8,5 год
- Б 10 год
- В 11 год
- Г 12 год
- Д 15 год
5один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння 6/(x² − 1) − 3/(x − 1) = 1.
- А −4; 1
- Б −4
- В 1
- Г 4
- Д −1; 4
6один правильный ответ
Знайдіть суму всіх різних коренів рівняння (x² − 36)(x² − 4x − 12) = 0.
- А −2
- Б 0
- В 2
- Г 4
- Д 10
7один правильный ответ
Знайдіть найбільший корінь рівняння (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0.
- А −3
- Б 1
- В 2
- Г 3
- Д 6
8один правильный ответ
Укажіть усі значення a, при яких рівняння (x² − 4x + a)/(x − 1) = 0 має рівно один корінь.
- А лише 4
- Б лише 3
- В 3 і 4
- Г a < 4
- Д a > 4
9на соответствие
Установіть відповідність між біквадратним рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).
- 1) x⁴ − 10x² + 9 = 0
- 2) x⁴ + 3x² − 4 = 0
- 3) x⁴ + 5x² + 6 = 0
- 4) x⁴ − 9x² = 0
- А) жодного
- Б) один
- В) два
- Г) три
- Д) чотири
10на соответствие
Установіть відповідність між дробовим рівнянням (1–4) та його коренями (А–Д).
- 1) (x² − 9)/(x − 3) = 0
- 2) (x + 3)/(x² − 9) = 0
- 3) (x² − 9)/(x² + 9) = 0
- 4) (x² + 3x)/(x + 3) = 0
- А) −3
- Б) 3
- В) −3 і 3
- Г) коренів немає
- Д) 0
11краткий ответ
Велотуристи мали проїхати 72 км. Вони їхали зі швидкістю, на 6 км/год більшою, ніж планували, і тому прибули на 1 год раніше. З якою швидкістю (у км/год) вони насправді їхали?
Швидкість у км/год
12краткий ответ
Основа теплиці — прямокутник площею 84 м², довжина якого на 5 м більша за ширину. Знайдіть периметр основи теплиці (у метрах).
Периметр у метрах
13краткий ответ
Розв’яжіть рівняння (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.
Ціле число
14краткий ответ
Розв’яжіть рівняння x³ + 4x² − 9x − 36 = 0. У відповідь запишіть суму квадратів усіх його коренів.
Ціле число

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Дробові раціональні рівняння. Біквадратні рівняння — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Розв’яжіть рівняння 12/x = x − 1.

А) 4
Б) −3
В) −4; 3
Г) −3; 4
Д) 3; 4

Задание 2. Розв’яжіть рівняння x³ − 3x² − 4x + 12 = 0.

А) 3
Б) 2; 3
В) −2; 3
Г) −3; −2; 2
Д) −2; 2; 3

Задание 3. Розв’яжіть рівняння x⁴ − 5x² − 36 = 0.

А) 3
Б) −3; 3
В) −4; 9
Г) −3; −2; 2; 3
Д) −9; 4

Задание 4. Два насоси, працюючи разом, відкачують воду з котловану за 6 год. Перший насос, працюючи сам, упорався б із цим на 5 год швидше, ніж другий. За скільки годин відкачає воду другий насос, працюючи сам?

А) 8,5 год
Б) 10 год
В) 11 год
Г) 12 год
Д) 15 год

Задание 5. Розв’яжіть рівняння 6/(x² − 1) − 3/(x − 1) = 1.

А) −4; 1
Б) −4
В) 1
Г) 4
Д) −1; 4

Задание 6. Знайдіть суму всіх різних коренів рівняння (x² − 36)(x² − 4x − 12) = 0.

А) −2
Б) 0
В) 2
Г) 4
Д) 10

Задание 7. Знайдіть найбільший корінь рівняння (x² + x)² − 8(x² + x) + 12 = 0.

А) −3
Б) 1
В) 2
Г) 3
Д) 6

Задание 8. Укажіть усі значення a, при яких рівняння (x² − 4x + a)/(x − 1) = 0 має рівно один корінь.

А) лише 4
Б) лише 3
В) 3 і 4
Г) a < 4
Д) a > 4

Задание 9. Установіть відповідність між біквадратним рівнянням (1–4) та кількістю його коренів (А–Д).

1) x⁴ − 10x² + 9 = 0
2) x⁴ + 3x² − 4 = 0
3) x⁴ + 5x² + 6 = 0
4) x⁴ − 9x² = 0

А) жодного
Б) один
В) два
Г) три
Д) чотири

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між дробовим рівнянням (1–4) та його коренями (А–Д).

1) (x² − 9)/(x − 3) = 0
2) (x + 3)/(x² − 9) = 0
3) (x² − 9)/(x² + 9) = 0
4) (x² + 3x)/(x + 3) = 0

А) −3
Б) 3
В) −3 і 3
Г) коренів немає
Д) 0

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Велотуристи мали проїхати 72 км. Вони їхали зі швидкістю, на 6 км/год більшою, ніж планували, і тому прибули на 1 год раніше. З якою швидкістю (у км/год) вони насправді їхали?

Ответ:

Задание 12. Основа теплиці — прямокутник площею 84 м², довжина якого на 5 м більша за ширину. Знайдіть периметр основи теплиці (у метрах).

Ответ:

Задание 13. Розв’яжіть рівняння (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх суму.

Ответ:

Задание 14. Розв’яжіть рівняння x³ + 4x² − 9x − 36 = 0. У відповідь запишіть суму квадратів усіх його коренів.

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	Г	Д	Б	Д	Б	А	В	В	1Д 2В 3А 4Г	1А 2Г 3В 4Д	24	38	3	34

1. Г Область допустимих значень: x ≠ 0. Множимо обидві частини на x: 12 = x² − x, тобто x² − x − 12 = 0. Корені: x = 4 і x = −3. Обидва відмінні від нуля, тож обидва підходять.

2. Д Групуємо доданки: x²(x − 3) − 4(x − 3) = 0. Виносимо спільний множник: (x − 3)(x² − 4) = 0, тобто (x − 3)(x − 2)(x + 2) = 0. Корені: 3, 2 і −2.

3. Б Заміна t = x², t ⩾ 0: t² − 5t − 36 = 0. Корені: t = 9 і t = −4. Значення t = −4 не підходить, бо x² не буває від’ємним. x² = 9, тобто x = −3 або x = 3.

4. Д Нехай перший насос сам відкачує воду за x год, тоді другий — за x + 5 год. За 1 год вони виконують 1/x і 1/(x + 5) усієї роботи. Разом за 1 год вони виконують 1/6 роботи: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6. Множимо на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), тобто x² − 7x − 30 = 0. Корені: x = 10 і x = −3. Час додатний, тож x = 10, а другий насос сам працюватиме 10 + 5 = 15 год.

5. Б ОДЗ: x² − 1 ≠ 0, тобто x ≠ 1 і x ≠ −1. Множимо на (x − 1)(x + 1): 6 − 3(x + 1) = x² − 1. x² + 3x − 4 = 0, корені 1 і −4. x = 1 не входить в ОДЗ, тому залишається x = −4.

6. А x² − 36 = 0 дає x = 6 і x = −6. x² − 4x − 12 = 0 дає x = 6 і x = −2. Різні корені: −6, −2 і 6. Їх сума: −6 − 2 + 6 = −2.

7. В Заміна t = x² + x: t² − 8t + 12 = 0, звідки t = 2 або t = 6. x² + x = 2: x² + x − 2 = 0, корені 1 і −2. x² + x = 6: x² + x − 6 = 0, корені 2 і −3. Найбільший із коренів 1, −2, 2, −3 — це 2.

8. В Рівняння рівносильне системі: x² − 4x + a = 0 і x ≠ 1. Перший випадок: чисельник має один корінь, тобто D = 16 − 4a = 0, a = 4. Тоді x = 2 ≠ 1 — підходить. Другий випадок: чисельник має два корені, але один із них дорівнює 1: 1 − 4 + a = 0, a = 3. Тоді корені 1 і 3, а залишається лише x = 3. При інших a < 4 коренів два, а при a > 4 — жодного.

9. 1Д 2В 3А 4Г 1: t² − 10t + 9 = 0, t = 1 і t = 9 — обидва додатні, тому x = ±1 і x = ±3: чотири корені. 2: t² + 3t − 4 = 0, t = 1 і t = −4; підходить лише t = 1, тому x = ±1: два корені. 3: t² + 5t + 6 = 0, t = −2 і t = −3 — обидва від’ємні, коренів немає. 4: x²(x² − 9) = 0, тому x = 0 або x = ±3: три корені.

10. 1А 2Г 3В 4Д Дріб дорівнює нулю, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні. 1: x² = 9 дає ±3, але при x = 3 знаменник дорівнює нулю — лишається −3. 2: чисельник дорівнює нулю лише при x = −3, але тоді й знаменник дорівнює нулю — коренів немає. 3: x = ±3, а знаменник x² + 9 нулем не буває — обидва корені підходять. 4: x(x + 3) = 0 дає 0 і −3, але x = −3 сторонній — лишається 0.

11. 24 Нехай запланована швидкість v км/год, тоді фактична — v + 6. Різниця в часі: 72/v − 72/(v + 6) = 1. Множимо на v(v + 6): 72(v + 6) − 72v = v² + 6v, тобто v² + 6v − 432 = 0. Корені: v = 18 і v = −24. Швидкість додатна, тож v = 18, а фактична швидкість — 18 + 6 = 24 км/год.

12. 38 Нехай ширина x м, тоді довжина x + 5 м, а площа x(x + 5) = 84. x² + 5x − 84 = 0, D = 25 + 336 = 361, x = (−5 + 19)/2 = 7; другий корінь −12 від’ємний. Довжина 12 м, периметр 2 · (7 + 12) = 38 м.

13. 3 Заміна t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0, звідки t = 3 або t = −1. x² − 2x = 3: x² − 2x − 3 = 0, корені 3 і −1. x² − 2x = −1: x² − 2x + 1 = 0, тобто (x − 1)² = 0, корінь 1. Корені рівняння: −1, 1 і 3. Їх сума дорівнює 3.

14. 34 Групуємо: x²(x + 4) − 9(x + 4) = (x + 4)(x² − 9) = 0. Корені: −4, 3 і −3. Сума квадратів: 16 + 9 + 9 = 34.