Блок 2 · Тема 9 из 42

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 64 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2022 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Аналіз виконання тесту
Квадратні рівняння та рівняння, що зводяться до квадратних
Теорема Вієта. Квадратний тричлен

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння 5x² = 20x.
- А −4; 4
- Б −4; 0
- В −2; 2
- Г 0; 4
- Д 4
2один правильный ответ
Укажіть рівняння, яке не має коренів.
- А x² − 6x + 9 = 0
- Б 2x² + 3x + 2 = 0
- В x² + 5x = 0
- Г −x² + 2x + 3 = 0
- Д 3x² − 7 = 0
3один правильный ответ
Укажіть квадратне рівняння, коренями якого є числа −3 і 7.
- А x² + 4x − 21 = 0
- Б x² − 4x + 21 = 0
- В x² − 10x − 21 = 0
- Г x² + 4x + 21 = 0
- Д x² − 4x − 21 = 0
4один правильный ответ
Розкладіть на множники квадратний тричлен 2x² − 5x − 3.
- А (x + 3)(2x − 1)
- Б (x − 3)(x + 0,5)
- В (2x − 3)(x + 1)
- Г (x − 3)(2x + 1)
- Д 2(x + 3)(x − 0,5)
5один правильный ответ
Знайдіть менший корінь рівняння (x + 2)(x − 3) = 14.
- А −5
- Б −4
- В −2
- Г 3
- Д 12
6один правильный ответ
x₁ і x₂ — корені рівняння x² − 6x + 4 = 0. Знайдіть x₁² + x₂².
- А 28
- Б 32
- В 36
- Г 44
- Д 52
7один правильный ответ
Скоротіть дріб (x² − 4x − 5)/(x² − 25).
- А (x + 1)/(x + 5)
- Б (x − 1)/(x + 5)
- В (x + 1)/(x − 5)
- Г (x + 5)/(x + 1)
- Д (x − 1)/(x − 5)
8один правильный ответ
При яких значеннях a рівняння 3x² − 6x + a = 0 має два різні корені?
- А a > 3
- Б a ⩽ 3
- В a < 3
- Г a < −3
- Д a < 12
9на соответствие
Установіть відповідність між квадратним рівнянням (1–4) та твердженням про кількість і знаки його коренів (А–Д).
- 1) x² − 8x + 16 = 0
- 2) x² + 3x + 7 = 0
- 3) x² − 2x − 15 = 0
- 4) x² − 9x + 14 = 0
- А) коренів немає
- Б) має один корінь
- В) має два додатні корені
- Г) має два від’ємні корені
- Д) має два корені різних знаків
10на соответствие
Установіть відповідність між квадратним тричленом (1–4) та його розкладом на множники (А–Д).
- 1) x² − 7x + 12
- 2) x² + x − 12
- 3) x² − x − 12
- 4) 2x² − 7x + 6
- А) (x − 4)(x + 3)
- Б) (x − 2)(2x − 3)
- В) (x + 3)(x + 4)
- Г) (x − 3)(x − 4)
- Д) (x + 4)(x − 3)
11краткий ответ
Розв’яжіть рівняння (x + 3)² = 2x + 14. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх добуток.
Ціле число
12краткий ответ
Один із коренів рівняння x² − 14x + q = 0 у 6 разів більший за інший. Знайдіть q.
Значення q
13краткий ответ
При якому від’ємному значенні m рівняння 4x² + mx + 9 = 0 має єдиний корінь?
Значення m
14краткий ответ
x₁ і x₂ — корені рівняння 2x² − 9x − 6 = 0. Знайдіть значення виразу 1/x₁ + 1/x₂.
Ціле число або десятковий дріб

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Квадратні рівняння. Теорема Вієта. Квадратний тричлен — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Розв’яжіть рівняння 5x² = 20x.

А) −4; 4
Б) −4; 0
В) −2; 2
Г) 0; 4
Д) 4

Задание 2. Укажіть рівняння, яке не має коренів.

А) x² − 6x + 9 = 0
Б) 2x² + 3x + 2 = 0
В) x² + 5x = 0
Г) −x² + 2x + 3 = 0
Д) 3x² − 7 = 0

Задание 3. Укажіть квадратне рівняння, коренями якого є числа −3 і 7.

А) x² + 4x − 21 = 0
Б) x² − 4x + 21 = 0
В) x² − 10x − 21 = 0
Г) x² + 4x + 21 = 0
Д) x² − 4x − 21 = 0

Задание 4. Розкладіть на множники квадратний тричлен 2x² − 5x − 3.

А) (x + 3)(2x − 1)
Б) (x − 3)(x + 0,5)
В) (2x − 3)(x + 1)
Г) (x − 3)(2x + 1)
Д) 2(x + 3)(x − 0,5)

Задание 5. Знайдіть менший корінь рівняння (x + 2)(x − 3) = 14.

А) −5
Б) −4
В) −2
Г) 3
Д) 12

Задание 6. x₁ і x₂ — корені рівняння x² − 6x + 4 = 0. Знайдіть x₁² + x₂².

А) 28
Б) 32
В) 36
Г) 44
Д) 52

Задание 7. Скоротіть дріб (x² − 4x − 5)/(x² − 25).

А) (x + 1)/(x + 5)
Б) (x − 1)/(x + 5)
В) (x + 1)/(x − 5)
Г) (x + 5)/(x + 1)
Д) (x − 1)/(x − 5)

Задание 8. При яких значеннях a рівняння 3x² − 6x + a = 0 має два різні корені?

А) a > 3
Б) a ⩽ 3
В) a < 3
Г) a < −3
Д) a < 12

Задание 9. Установіть відповідність між квадратним рівнянням (1–4) та твердженням про кількість і знаки його коренів (А–Д).

1) x² − 8x + 16 = 0
2) x² + 3x + 7 = 0
3) x² − 2x − 15 = 0
4) x² − 9x + 14 = 0

А) коренів немає
Б) має один корінь
В) має два додатні корені
Г) має два від’ємні корені
Д) має два корені різних знаків

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між квадратним тричленом (1–4) та його розкладом на множники (А–Д).

1) x² − 7x + 12
2) x² + x − 12
3) x² − x − 12
4) 2x² − 7x + 6

А) (x − 4)(x + 3)
Б) (x − 2)(2x − 3)
В) (x + 3)(x + 4)
Г) (x − 3)(x − 4)
Д) (x + 4)(x − 3)

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Розв’яжіть рівняння (x + 3)² = 2x + 14. Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх добуток.

Ответ:

Задание 12. Один із коренів рівняння x² − 14x + q = 0 у 6 разів більший за інший. Знайдіть q.

Ответ:

Задание 13. При якому від’ємному значенні m рівняння 4x² + mx + 9 = 0 має єдиний корінь?

Ответ:

Задание 14. x₁ і x₂ — корені рівняння 2x² − 9x − 6 = 0. Знайдіть значення виразу 1/x₁ + 1/x₂.

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	Г	Б	Д	Г	Б	А	А	В	1Б 2А 3Д 4В	1Г 2Д 3А 4Б	−5	24	−12	−1,5

1. Г Переносимо все в ліву частину: 5x² − 20x = 0. Виносимо спільний множник: 5x(x − 4) = 0. Добуток дорівнює нулю, коли x = 0 або x = 4.

2. Б Квадратне рівняння не має коренів, коли його дискримінант D = b² − 4ac від’ємний. А: D = 36 − 36 = 0; В: D = 25 > 0; Г: D = 4 + 12 = 16 > 0; Д: D = 0 + 84 > 0. Б: D = 9 − 16 = −7 < 0 — коренів немає.

3. Д За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа x₁ і x₂ — корені рівняння x² + px + q = 0, якщо x₁ + x₂ = −p і x₁ · x₂ = q. x₁ + x₂ = −3 + 7 = 4, тому p = −4; x₁ · x₂ = −21, тому q = −21. Шукане рівняння: x² − 4x − 21 = 0.

4. Г Корені тричлена: D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4, тобто x₁ = 3 і x₂ = −0,5. ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) = 2(x − 3)(x + 0,5). Множник 2 вносимо в другу дужку: (x − 3)(2x + 1).

5. Б Розкриваємо дужки: x² − 3x + 2x − 6 = 14, тобто x² − x − 20 = 0. D = 1 + 80 = 81, x = (1 ± 9)/2, тобто x₁ = 5, x₂ = −4. Менший корінь — −4.

6. А За теоремою Вієта x₁ + x₂ = 6 і x₁ · x₂ = 4. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ 6² − 2 · 4 = 36 − 8 = 28

7. А Корені чисельника: x² − 4x − 5 = 0 при x = 5 і x = −1, тому x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1). Знаменник — різниця квадратів: x² − 25 = (x − 5)(x + 5). Скорочуємо на x − 5: (x + 1)/(x + 5).

8. В Два різні корені рівняння має тоді й лише тоді, коли D > 0. D = (−6)² − 4 · 3 · a = 36 − 12a. 36 − 12a > 0, звідки a < 3.

9. 1Б 2А 3Д 4В 1: D = 64 − 64 = 0 — один корінь x = 4. 2: D = 9 − 28 < 0 — коренів немає. 3: D = 4 + 60 > 0, а добуток коренів −15 < 0 — корені різних знаків (−3 і 5). 4: D = 81 − 56 > 0, добуток 14 > 0 і сума 9 > 0 — обидва корені додатні (2 і 7).

10. 1Г 2Д 3А 4Б 1: корені 3 і 4 (сума 7, добуток 12), тому (x − 3)(x − 4). 2: корені −4 і 3 (сума −1, добуток −12), тому (x + 4)(x − 3). 3: корені 4 і −3 (сума 1, добуток −12), тому (x − 4)(x + 3). 4: D = 49 − 48 = 1, корені 2 і 1,5, тому 2(x − 2)(x − 1,5) = (x − 2)(2x − 3).

11. −5 Розкриваємо квадрат суми: x² + 6x + 9 = 2x + 14. Зводимо до стандартного вигляду: x² + 4x − 5 = 0. Корені: x₁ = 1 і x₂ = −5. Їх добуток: 1 · (−5) = −5.

12. 24 Нехай корені дорівнюють x і 6x. За теоремою Вієта x + 6x = 14, тобто x = 2. Корені: 2 і 12. q = x₁ · x₂ = 2 · 12 = 24

13. −12 Квадратне рівняння має єдиний корінь, коли D = 0. D = m² − 4 · 4 · 9 = m² − 144 = 0, звідки m = 12 або m = −12. Від’ємне значення — m = −12.

14. −1,5 Зводимо до спільного знаменника: 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂). За теоремою Вієта для ax² + bx + c = 0: x₁ + x₂ = −b/a = 9/2 = 4,5 і x₁x₂ = c/a = −6/2 = −3. 4,5 : (−3) = −1,5