Блок 7 · Тема 40 из 42

Первісна та визначений інтеграл — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 51 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2023 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Поняття первісної
Визначений інтеграл та його властивості
Фізичний зміст інтеграла

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Укажіть загальний вигляд первісних для функції f(x) = 6x² − cos x.
- А 12x + sin x + C
- Б 2x³ + sin x + C
- В 2x³ − sin x + C
- Г 6x³ − sin x + C
- Д 2x³ − cos x + C
2один правильный ответ
Для функції f(x) = 2x − 3 укажіть первісну, графік якої проходить через точку M(2; 5).
- А F(x) = x² − 3x + 5
- Б F(x) = x² − 3x − 5
- В F(x) = x² − 3x + 7
- Г F(x) = 2x² − 3x + 3
- Д F(x) = x² + 1
3один правильный ответ
Обчисліть ∫₁³ (2x + 1) dx.
- А 4
- Б 7
- В 8
- Г 10
- Д 12
4один правильный ответ
Відомо, що ∫₀⁴ f(x) dx = 7 і ∫₀⁴ g(x) dx = −2. Обчисліть ∫₀⁴ (3f(x) − 2g(x) + 1) dx.
- А 17
- Б 21
- В 25
- Г 26
- Д 29
5один правильный ответ
Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції y = x², прямими x = 1, x = 2 і віссю абсцис.
- А 1/3
- Б 7/3
- В 8/3
- Г 3
- Д 7
6один правильный ответ
За якою формулою можна обчислити площу фігури, обмеженої параболою y = x² і прямою y = 4?
- А ∫₋₂² (4 − x²) dx
- Б ∫₋₂² (x² − 4) dx
- В ∫₀² (4 − x²) dx
- Г ∫₀⁴ (4 − x²) dx
- Д ∫₋₂² x² dx
7один правильный ответ
Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 3t² + 2 (м/с). Який шлях проходить тіло за перші 2 с руху?
- А 8 м
- Б 10 м
- В 12 м
- Г 14 м
- Д 28 м
8один правильный ответ
Прискорення тіла змінюється за законом a(t) = 6t (м/с²), а в момент t = 0 швидкість тіла дорівнювала 2 м/с. Знайдіть швидкість тіла в момент t = 3 с.
- А 18 м/с
- Б 20 м/с
- В 27 м/с
- Г 29 м/с
- Д 56 м/с
9на соответствие
Установіть відповідність між функцією (1–4) та її первісною (А–Д).
- 1) f(x) = 3x²
- 2) f(x) = −sin x
- 3) f(x) = 1/(2√x)
- 4) f(x) = 2/x²
- А) F(x) = −cos x
- Б) F(x) = cos x
- В) F(x) = x³
- Г) F(x) = √x
- Д) F(x) = −2/x
10на соответствие
Установіть відповідність між інтегралом (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) ∫₀² 3x² dx
- 2) ∫₁² 4x³ dx
- 3) ∫₋₁¹ (x³ + 1) dx
- 4) ∫₀³ (2x − 1) dx
- А) 2
- Б) 6
- В) 8
- Г) 15
- Д) 16
11краткий ответ
Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y = x² і прямою y = x + 2.
Площа фігури
12краткий ответ
Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 3t² − 2t (м/с). Який шлях (у метрах) пройде тіло за третю секунду руху?
Шлях у метрах
13краткий ответ
Для функції f(x) = 3x² − 4x знайдіть первісну F, для якої F(1) = 3. У відповідь запишіть значення F(2).
Значення F(2)
14краткий ответ
При якому додатному значенні a виконується рівність ∫₀ᵃ (2x + 1) dx = 12?
Значення a

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Первісна та визначений інтеграл — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Укажіть загальний вигляд первісних для функції f(x) = 6x² − cos x.

А) 12x + sin x + C
Б) 2x³ + sin x + C
В) 2x³ − sin x + C
Г) 6x³ − sin x + C
Д) 2x³ − cos x + C

Задание 2. Для функції f(x) = 2x − 3 укажіть первісну, графік якої проходить через точку M(2; 5).

А) F(x) = x² − 3x + 5
Б) F(x) = x² − 3x − 5
В) F(x) = x² − 3x + 7
Г) F(x) = 2x² − 3x + 3
Д) F(x) = x² + 1

Задание 3. Обчисліть ∫₁³ (2x + 1) dx.

А) 4
Б) 7
В) 8
Г) 10
Д) 12

Задание 4. Відомо, що ∫₀⁴ f(x) dx = 7 і ∫₀⁴ g(x) dx = −2. Обчисліть ∫₀⁴ (3f(x) − 2g(x) + 1) dx.

А) 17
Б) 21
В) 25
Г) 26
Д) 29

Задание 5. Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком функції y = x², прямими x = 1, x = 2 і віссю абсцис.

А) 1/3
Б) 7/3
В) 8/3
Г) 3
Д) 7

Задание 6. За якою формулою можна обчислити площу фігури, обмеженої параболою y = x² і прямою y = 4?

А) ∫₋₂² (4 − x²) dx
Б) ∫₋₂² (x² − 4) dx
В) ∫₀² (4 − x²) dx
Г) ∫₀⁴ (4 − x²) dx
Д) ∫₋₂² x² dx

Задание 7. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 3t² + 2 (м/с). Який шлях проходить тіло за перші 2 с руху?

А) 8 м
Б) 10 м
В) 12 м
Г) 14 м
Д) 28 м

Задание 8. Прискорення тіла змінюється за законом a(t) = 6t (м/с²), а в момент t = 0 швидкість тіла дорівнювала 2 м/с. Знайдіть швидкість тіла в момент t = 3 с.

А) 18 м/с
Б) 20 м/с
В) 27 м/с
Г) 29 м/с
Д) 56 м/с

Задание 9. Установіть відповідність між функцією (1–4) та її первісною (А–Д).

1) f(x) = 3x²
2) f(x) = −sin x
3) f(x) = 1/(2√x)
4) f(x) = 2/x²

А) F(x) = −cos x
Б) F(x) = cos x
В) F(x) = x³
Г) F(x) = √x
Д) F(x) = −2/x

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між інтегралом (1–4) та його значенням (А–Д).

1) ∫₀² 3x² dx
2) ∫₁² 4x³ dx
3) ∫₋₁¹ (x³ + 1) dx
4) ∫₀³ (2x − 1) dx

А) 2
Б) 6
В) 8
Г) 15
Д) 16

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y = x² і прямою y = x + 2.

Ответ:

Задание 12. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 3t² − 2t (м/с). Який шлях (у метрах) пройде тіло за третю секунду руху?

Ответ:

Задание 13. Для функції f(x) = 3x² − 4x знайдіть первісну F, для якої F(1) = 3. У відповідь запишіть значення F(2).

Ответ:

Задание 14. При якому додатному значенні a виконується рівність ∫₀ᵃ (2x + 1) dx = 12?

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	В	В	Г	Д	Б	А	В	Г	1В 2Б 3Г 4Д	1В 2Г 3А 4Б	4,5	14	4	3

1. В Первісна суми дорівнює сумі первісних, а сталий множник виносять. Для 6x²: 6 · x³/3 = 2x³. Первісна для cos x — це sin x, тож для −cos x маємо −sin x. Загальний вигляд: F(x) = 2x³ − sin x + C.

2. В Загальний вигляд первісних: F(x) = x² − 3x + C. Підставляємо координати точки M: 2² − 3 · 2 + C = 5, тобто −2 + C = 5. C = 7, отже F(x) = x² − 3x + 7.

3. Г Первісна: F(x) = x² + x. За формулою Ньютона — Лейбніца: F(3) − F(1) = (9 + 3) − (1 + 1). 12 − 2 = 10.

4. Д Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, сталий множник виносять за знак інтеграла. 3 · 7 − 2 · (−2) = 21 + 4 = 25. Інтеграл від 1 на [0; 4] дорівнює довжині відрізка: 4 − 0 = 4. Разом: 25 + 4 = 29.

5. Б На [1; 2] функція y = x² додатна, тому площа дорівнює ∫₁² x² dx. Первісна: x³/3. F(2) − F(1) = 8/3 − 1/3. S = 7/3.

6. А Точки перетину: x² = 4, тобто x = −2 і x = 2 — це межі інтегрування. На [−2; 2] пряма y = 4 лежить вище за параболу, тож під інтегралом «верхня мінус нижня»: 4 − x². S = ∫₋₂² (4 − x²) dx.

7. В Швидкість додатна, тож шлях — це інтеграл від швидкості: s = ∫₀² (3t² + 2) dt. Первісна: t³ + 2t. s = (8 + 4) − 0 = 12 м.

8. Г Швидкість — первісна прискорення: v(t) = 3t² + C. З умови v(0) = 2 маємо C = 2, тож v(t) = 3t² + 2. v(3) = 27 + 2 = 29 м/с.

9. 1В 2Б 3Г 4Д (x³)′ = 3x², тож для 3x² первісна — x³. (cos x)′ = −sin x, тож для −sin x первісна — cos x. (√x)′ = 1/(2√x). (−2/x)′ = 2/x², бо (1/x)′ = −1/x².

10. 1В 2Г 3А 4Б ∫₀² 3x² dx = 2³ − 0³ = 8. ∫₁² 4x³ dx = 2⁴ − 1⁴ = 16 − 1 = 15. ∫₋₁¹ (x³ + 1) dx = (1/4 + 1) − (1/4 − 1) = 2. ∫₀³ (2x − 1) dx = (9 − 3) − 0 = 6.

11. 4,5 Точки перетину: x² = x + 2, x² − x − 2 = 0, звідси x = −1 і x = 2. На [−1; 2] пряма лежить вище за параболу, тож S = ∫₋₁² (x + 2 − x²) dx. Первісна: x²/2 + 2x − x³/3. F(2) = 2 + 4 − 8/3 = 10/3, F(−1) = 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6. S = 10/3 + 7/6 = 27/6 = 4,5.

12. 14 Третя секунда — це проміжок часу від t = 2 до t = 3. На ньому v(t) > 0, тож шлях s = ∫₂³ (3t² − 2t) dt. Первісна: t³ − t². s = (27 − 9) − (8 − 4) = 18 − 4 = 14 м.

13. 4 Загальний вигляд первісних: F(x) = x³ − 2x² + C. F(1) = 1 − 2 + C = 3, звідси C = 4. F(2) = 8 − 8 + 4 = 4.

14. 3 ∫₀ᵃ (2x + 1) dx = (a² + a) − 0 = a² + a. a² + a = 12, тобто a² + a − 12 = 0. Корені: a = 3 і a = −4; додатний з них — a = 3.