Блок 5 · Тема 29 из 42

Тригонометричні рівняння — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 62 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2023 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Поняття arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x
Найпростіші тригонометричні рівняння
Рівняння, що зводяться до квадратних
Застосування формул до розв’язування рівнянь

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Обчисліть arccos(−√3/2).
- А −π/6
- Б π/6
- В 5π/6
- Г −5π/6
- Д 2π/3
2один правильный ответ
Обчисліть arcsin(−1/2) + arctg √3.
- А π/2
- Б π/6
- В 0
- Г 3π/2
- Д −π/2
3один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння cos x = √2/2 (n ∈ Z).
- А ±π/4 + 2πn
- Б π/4 + πn
- В (−1)ⁿπ/4 + πn
- Г ±π/4 + πn
- Д ±π/3 + 2πn
4один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння tg(x/3) = −1 (n ∈ Z).
- А −π/12 + πn/3
- Б 3π/4 + 3πn
- В −3π/4 + πn
- Г −3π/4 + 3πn
- Д −π/4 + 3πn
5один правильный ответ
При якому з наведених значень a рівняння 2sin x = a не має розв’язків?
- А −2
- Б 0
- В 1,5
- Г 2
- Д 2,5
6один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння 2sin²x + sin x − 1 = 0 (n ∈ Z).
- А (−1)ⁿ⁺¹π/6 + πn; π/2 + 2πn
- Б (−1)ⁿπ/6 + πn
- В (−1)ⁿπ/6 + πn; −π/2 + 2πn
- Г ±π/3 + 2πn; π + 2πn
- Д (−1)ⁿπ/6 + πn; π/2 + 2πn
7один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння cos²x − sin²x = 1/2 (n ∈ Z).
- А ±π/3 + 2πn
- Б ±π/6 + 2πn
- В ±π/3 + πn
- Г ±π/6 + πn
- Д (−1)ⁿπ/12 + πn/2
8один правильный ответ
Розв’яжіть рівняння sin x + cos x = 0 (n ∈ Z).
- А π/4 + πn
- Б −π/4 + 2πn
- В ±π/4 + 2πn
- Г 3π/4 + 2πn
- Д −π/4 + πn
9на соответствие
Установіть відповідність між виразом з оберненою тригонометричною функцією (1–4) та його значенням (А–Д).
- 1) arcsin(√3/2)
- 2) arccos 0
- 3) arctg(−1)
- 4) arcctg(−√3)
- А) −π/4
- Б) π/3
- В) π/2
- Г) 3π/4
- Д) 5π/6
10на соответствие
Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та множиною його розв’язків (А–Д). Тут n ∈ Z.
- 1) 2sin x = −1
- 2) cos 2x = 0
- 3) √3 tg x = 1
- 4) sin(x/2) = 1
- А) π/6 + πn
- Б) π + 4πn
- В) π/2 + πn
- Г) (−1)ⁿ⁺¹π/6 + πn
- Д) π/4 + πn/2
11краткий ответ
Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння 2sin²x + 3cos x = 0. Відповідь дайте в градусах.
Кут у градусах
12краткий ответ
Скільки коренів має рівняння 6cos²x + 5sin x − 7 = 0 на відрізку [0; π]?
Кількість коренів
13краткий ответ
Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin 3x cos x − cos 3x sin x = −1/2. Відповідь дайте в градусах.
Кут у градусах
14краткий ответ
Знайдіть суму коренів рівняння sin 3x + sin x = 0, що належать відрізку [0°; 180°]. Відповідь дайте в градусах.
Сума в градусах

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Тригонометричні рівняння — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Обчисліть arccos(−√3/2).

А) −π/6
Б) π/6
В) 5π/6
Г) −5π/6
Д) 2π/3

Задание 2. Обчисліть arcsin(−1/2) + arctg √3.

А) π/2
Б) π/6
В) 0
Г) 3π/2
Д) −π/2

Задание 3. Розв’яжіть рівняння cos x = √2/2 (n ∈ Z).

А) ±π/4 + 2πn
Б) π/4 + πn
В) (−1)ⁿπ/4 + πn
Г) ±π/4 + πn
Д) ±π/3 + 2πn

Задание 4. Розв’яжіть рівняння tg(x/3) = −1 (n ∈ Z).

А) −π/12 + πn/3
Б) 3π/4 + 3πn
В) −3π/4 + πn
Г) −3π/4 + 3πn
Д) −π/4 + 3πn

Задание 5. При якому з наведених значень a рівняння 2sin x = a не має розв’язків?

А) −2
Б) 0
В) 1,5
Г) 2
Д) 2,5

Задание 6. Розв’яжіть рівняння 2sin²x + sin x − 1 = 0 (n ∈ Z).

А) (−1)ⁿ⁺¹π/6 + πn; π/2 + 2πn
Б) (−1)ⁿπ/6 + πn
В) (−1)ⁿπ/6 + πn; −π/2 + 2πn
Г) ±π/3 + 2πn; π + 2πn
Д) (−1)ⁿπ/6 + πn; π/2 + 2πn

Задание 7. Розв’яжіть рівняння cos²x − sin²x = 1/2 (n ∈ Z).

А) ±π/3 + 2πn
Б) ±π/6 + 2πn
В) ±π/3 + πn
Г) ±π/6 + πn
Д) (−1)ⁿπ/12 + πn/2

Задание 8. Розв’яжіть рівняння sin x + cos x = 0 (n ∈ Z).

А) π/4 + πn
Б) −π/4 + 2πn
В) ±π/4 + 2πn
Г) 3π/4 + 2πn
Д) −π/4 + πn

Задание 9. Установіть відповідність між виразом з оберненою тригонометричною функцією (1–4) та його значенням (А–Д).

1) arcsin(√3/2)
2) arccos 0
3) arctg(−1)
4) arcctg(−√3)

А) −π/4
Б) π/3
В) π/2
Г) 3π/4
Д) 5π/6

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та множиною його розв’язків (А–Д). Тут n ∈ Z.

1) 2sin x = −1
2) cos 2x = 0
3) √3 tg x = 1
4) sin(x/2) = 1

А) π/6 + πn
Б) π + 4πn
В) π/2 + πn
Г) (−1)ⁿ⁺¹π/6 + πn
Д) π/4 + πn/2

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння 2sin²x + 3cos x = 0. Відповідь дайте в градусах.

Ответ:

Задание 12. Скільки коренів має рівняння 6cos²x + 5sin x − 7 = 0 на відрізку [0; π]?

Ответ:

Задание 13. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin 3x cos x − cos 3x sin x = −1/2. Відповідь дайте в градусах.

Ответ:

Задание 14. Знайдіть суму коренів рівняння sin 3x + sin x = 0, що належать відрізку [0°; 180°]. Відповідь дайте в градусах.

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	В	Б	А	Г	Д	В	Г	Д	1Б 2В 3А 4Д	1Г 2Д 3А 4Б	−120	4	105	270

1. В arccos a — це кут із відрізка [0; π], косинус якого дорівнює a. cos(π/6) = √3/2, а для від’ємного аргументу arccos(−a) = π − arccos a. arccos(−√3/2) = π − π/6 = 5π/6

2. Б Арксинус непарний: arcsin(−1/2) = −arcsin(1/2) = −π/6. arctg √3 = π/3, бо tg(π/3) = √3 і π/3 ∈ (−π/2; π/2). −π/6 + π/3 = π/6

3. А Для cos x = a, де |a| ⩽ 1, маємо x = ±arccos a + 2πn. arccos(√2/2) = π/4, тому x = ±π/4 + 2πn.

4. Г tg t = −1 при t = arctg(−1) + πn = −π/4 + πn. Тут t = x/3, тому x/3 = −π/4 + πn. Множимо всю праву частину на 3: x = −3π/4 + 3πn.

5. Д Рівняння рівносильне sin x = a/2, а синус набуває значень лише з відрізка [−1; 1]. Розв’язки є, коли −1 ⩽ a/2 ⩽ 1, тобто −2 ⩽ a ⩽ 2. Поза цим відрізком серед варіантів лише 2,5.

6. В Позначимо t = sin x, |t| ⩽ 1: 2t² + t − 1 = 0. D = 1 + 8 = 9, t = (−1 ± 3)/4, тобто t = 1/2 або t = −1 — обидва значення допустимі. sin x = 1/2 дає x = (−1)ⁿπ/6 + πn; sin x = −1 дає x = −π/2 + 2πn.

7. Г За формулою косинуса подвійного кута cos²x − sin²x = cos 2x, тож cos 2x = 1/2. 2x = ±π/3 + 2πn Ділимо всю праву частину на 2: x = ±π/6 + πn.

8. Д Якщо cos x = 0, то sin x = ±1, і рівність не виконується, тож cos x ≠ 0. Ділимо на cos x: tg x + 1 = 0, тобто tg x = −1. x = −π/4 + πn

9. 1Б 2В 3А 4Д arcsin(√3/2) = π/3, бо sin(π/3) = √3/2 і π/3 ∈ [−π/2; π/2]. arccos 0 = π/2, бо cos(π/2) = 0 і π/2 ∈ [0; π]. arctg(−1) = −arctg 1 = −π/4. arcctg(−√3) = π − arcctg √3 = π − π/6 = 5π/6.

10. 1Г 2Д 3А 4Б sin x = −1/2: x = (−1)ⁿ · (−π/6) + πn = (−1)ⁿ⁺¹π/6 + πn. cos 2x = 0: 2x = π/2 + πn, тому x = π/4 + πn/2. tg x = 1/√3 = √3/3: x = π/6 + πn. x/2 = π/2 + 2πn, тому x = π + 4πn.

11. −120 Замінюємо sin²x = 1 − cos²x: 2 − 2cos²x + 3cos x = 0, тобто 2cos²x − 3cos x − 2 = 0. cos x = 2 не підходить, бо |cos x| ⩽ 1; лишається cos x = −1/2. x = ±120° + 360°n; найбільший від’ємний корінь — −120°.

12. 4 cos²x = 1 − sin²x, тому 6 − 6sin²x + 5sin x − 7 = 0, тобто 6sin²x − 5sin x + 1 = 0. sin x = 1/2 або sin x = 1/3. На [0; π] рівняння sin x = a при 0 < a < 1 має два корені: arcsin a і π − arcsin a. Разом 4 корені.

13. 105 Ліва частина — синус різниці: sin(3x − x) = sin 2x, тож sin 2x = −1/2. 2x = −30° + 360°n або 2x = 210° + 360°n, тобто x = −15° + 180°n або x = 105° + 180°n. Додатні корені: 105°, 165°, 285°, …; найменший із них — 105°.

14. 270 Сума синусів: sin 3x + sin x = 2sin 2x · cos x, тож рівняння рівносильне sin 2x · cos x = 0. sin 2x = 0 дає x = 90° · n: на відрізку це 0°, 90° і 180°. cos x = 0 дає x = 90° — цей корінь уже враховано. Сума: 0° + 90° + 180° = 270°.