Блок 6 · Тема 35 из 42

Піраміда — видеоурок и тест

Пройти тест по теме

видеоурок ≈ 33 мин · тест из 14 заданий · бесплатно

Запись урока Mathema, 2023 год Открыть на YouTube

Что мы разбираем на уроке

Елементи піраміди. Задачі на їх знаходження
Площа бічної та повної поверхні піраміди
Об’єм піраміди

Тест по теме

Рекомендуемое время — 25 минут

Регистрация не нужна. Ответы сохраняются в этом браузере — можно закрыть вкладку и вернуться.

14заданийв формате НМТ
3типа заданий8 с одним ответом · 2 на соответствие · 4 с кратким ответом
≈ 25минутрекомендуемое время

Все 14 заданий теста

Условия и варианты ответов. Правильные ответы и разбор откроются после прохождения теста.

1один правильный ответ
Піраміда має 16 ребер. Скільки вершин має ця піраміда?
- А 8
- Б 9
- В 10
- Г 16
- Д 17
2один правильный ответ
Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть апофему піраміди.
- А 4 см
- Б 2√7 см
- В 6 см
- Г 8 см
- Д 2√34 см
3один правильный ответ
Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.
- А 4 см
- Б 4√2 см
- В 4√3 см
- Г 8√3 см
- Д 16 см
4один правильный ответ
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.
- А 5 см
- Б 5√3 см
- В 10 см
- Г 5√6 см
- Д 10√3 см
5один правильный ответ
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а апофема — 7 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
- А 112 см²
- Б 144 см²
- В 176 см²
- Г 224 см²
- Д 288 см²
6один правильный ответ
Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, а висота піраміди дорівнює 5 см. Знайдіть об’єм піраміди.
- А 10 см³
- Б 20 см³
- В 30 см³
- Г 35 см³
- Д 60 см³
7один правильный ответ
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 4 см. Знайдіть об’єм піраміди.
- А 6√3 см³
- Б 9√3 см³
- В 12√3 см³
- Г 18√3 см³
- Д 36√3 см³
8один правильный ответ
Усі ребра правильного тетраедра дорівнюють 2 см. Знайдіть площу його повної поверхні.
- А √3 см²
- Б 3√3 см²
- В 4√3 см²
- Г 8√3 см²
- Д 16√3 см²
9на соответствие
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а висота — 3 см. Установіть відповідність між елементом піраміди (1–4) та його довжиною (А–Д).
- 1) апофема
- 2) бічне ребро
- 3) діагональ основи
- 4) проекція бічного ребра на площину основи
- А) 4 см
- Б) 5 см
- В) 4√2 см
- Г) √41 см
- Д) 8√2 см
10на соответствие
Установіть відповідність між правильною пірамідою (1–4) та площею її бічної поверхні (А–Д).
- 1) чотирикутна, сторона основи 4 см, апофема 5 см
- 2) трикутна, сторона основи 6 см, апофема 4 см
- 3) шестикутна, сторона основи 2 см, апофема 5 см
- 4) трикутна, усі ребра дорівнюють 4 см
- А) 12√3 см²
- Б) 30 см²
- В) 36 см²
- Г) 40 см²
- Д) 80 см²
11краткий ответ
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6√3 см, а висота піраміди — 8 см. Знайдіть довжину бічного ребра (у см).
Довжина в сантиметрах
12краткий ответ
Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
Площа бічної поверхні в см²
13краткий ответ
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, а апофема — 13 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди (у см²).
Площа повної поверхні в см²
14краткий ответ
Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см, а кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).
Об’єм у кубічних сантиметрах

Готов проверить себя? Рекомендуемое время — 25 минут.

Разобраться с темой вместе с репетитором

Индивидуальные занятия по математике под твой уровень и график — преподаватель объяснит то, что не получилось понять по видео. Первый урок — от 150 ₴.

Подобрать репетитора

MathemaПробный тест

Піраміда — видеоурок и тест

Имя: Дата: Время начала:

Реши задания на бумаге, а ответы сверь, когда пройдешь тест онлайн.

Задание 1. Піраміда має 16 ребер. Скільки вершин має ця піраміда?

А) 8
Б) 9
В) 10
Г) 16
Д) 17

Задание 2. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть апофему піраміди.

А) 4 см
Б) 2√7 см
В) 6 см
Г) 8 см
Д) 2√34 см

Задание 3. Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює 8 см і утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть висоту піраміди.

А) 4 см
Б) 4√2 см
В) 4√3 см
Г) 8√3 см
Д) 16 см

Задание 4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 10 см, а бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть висоту піраміди.

А) 5 см
Б) 5√3 см
В) 10 см
Г) 5√6 см
Д) 10√3 см

Задание 5. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а апофема — 7 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

А) 112 см²
Б) 144 см²
В) 176 см²
Г) 224 см²
Д) 288 см²

Задание 6. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 см і 4 см, а висота піраміди дорівнює 5 см. Знайдіть об’єм піраміди.

А) 10 см³
Б) 20 см³
В) 30 см³
Г) 35 см³
Д) 60 см³

Задание 7. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6 см, а бічне ребро — 4 см. Знайдіть об’єм піраміди.

А) 6√3 см³
Б) 9√3 см³
В) 12√3 см³
Г) 18√3 см³
Д) 36√3 см³

Задание 8. Усі ребра правильного тетраедра дорівнюють 2 см. Знайдіть площу його повної поверхні.

А) √3 см²
Б) 3√3 см²
В) 4√3 см²
Г) 8√3 см²
Д) 16√3 см²

Задание 9. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 8 см, а висота — 3 см. Установіть відповідність між елементом піраміди (1–4) та його довжиною (А–Д).

1) апофема
2) бічне ребро
3) діагональ основи
4) проекція бічного ребра на площину основи

А) 4 см
Б) 5 см
В) 4√2 см
Г) √41 см
Д) 8√2 см

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 10. Установіть відповідність між правильною пірамідою (1–4) та площею її бічної поверхні (А–Д).

1) чотирикутна, сторона основи 4 см, апофема 5 см
2) трикутна, сторона основи 6 см, апофема 4 см
3) шестикутна, сторона основи 2 см, апофема 5 см
4) трикутна, усі ребра дорівнюють 4 см

А) 12√3 см²
Б) 30 см²
В) 36 см²
Г) 40 см²
Д) 80 см²

	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

Задание 11. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 6√3 см, а висота піраміди — 8 см. Знайдіть довжину бічного ребра (у см).

Ответ:

Задание 12. Основою піраміди є прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²).

Ответ:

Задание 13. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, а апофема — 13 см. Знайдіть площу повної поверхні піраміди (у см²).

Ответ:

Задание 14. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 12 см і 16 см, а кожне бічне ребро піраміди дорівнює 26 см. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).

Ответ:

MathemaОтветы и решения

Ответы и решения

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Отв.	Б	Г	В	Б	В	Б	А	В	1Б 2Г 3Д 4В	1Г 2В 3Б 4А	10	48	360	1536

1. Б У n-кутної піраміди n ребер основи і n бічних ребер — разом 2n. 2n = 16, тому n = 8: в основі восьмикутник. Вершин: 8 вершин основи і ще вершина піраміди — 9.

2. Г Бічна грань — рівнобедрений трикутник з бічними сторонами 10 см і основою 12 см. Апофема — висота цієї грані, проведена до сторони основи; вона ділить сторону навпіл. За теоремою Піфагора: √(10² − 6²) = √64 = 8 см.

3. В Висота піраміди, бічне ребро і його проекція на основу утворюють прямокутний трикутник, гіпотенуза якого — бічне ребро. Висота лежить проти кута 60°: h = 8 · sin 60° = 8 · √3/2. h = 4√3 см.

4. Б Кут нахилу бічної грані — це кут між апофемою і відрізком від центра квадрата до середини сторони. Цей відрізок дорівнює половині сторони: 10 : 2 = 5 см. З прямокутного трикутника: h = 5 · tg 60° = 5√3 см.

5. В Площа бічної поверхні правильної піраміди: S_біч = ½ · P_осн · l = ½ · 32 · 7 = 112 см². Площа основи — квадрата: 8² = 64 см². S_повн = 112 + 64 = 176 см².

6. Б Площа основи: 3 · 4 = 12 см². Об’єм піраміди: V = ⅓ · S_осн · h = ⅓ · 12 · 5 = 20 см³.

7. А Основа висоти — центр рівностороннього трикутника; відстань від нього до вершини основи — радіус описаного кола R = 6/√3 = 2√3 см. Висота піраміди: h = √(4² − (2√3)²) = √(16 − 12) = 2 см. Площа основи: (√3/4) · 6² = 9√3 см². V = ⅓ · 9√3 · 2 = 6√3 см³.

8. В Правильний тетраедр має чотири грані — рівносторонні трикутники зі стороною 2 см. Площа однієї грані: (√3/4) · 2² = √3 см². S = 4 · √3 = 4√3 см².

9. 1Б 2Г 3Д 4В Від центра квадрата до середини сторони 8 : 2 = 4 см, тому апофема дорівнює √(3² + 4²) = 5 см — Б. Діагональ основи: 8√2 см — Д; її половина 4√2 см — це проекція бічного ребра — В. Бічне ребро: √(3² + (4√2)²) = √(9 + 32) = √41 см — Г.

10. 1Г 2В 3Б 4А Для правильної піраміди S_біч = ½ · P_осн · l, де l — апофема. Чотирикутна: ½ · 16 · 5 = 40 см² — Г; трикутна: ½ · 18 · 4 = 36 см² — В. Шестикутна: ½ · 12 · 5 = 30 см² — Б. Якщо всі ребра по 4 см, бічні грані — рівносторонні трикутники: 3 · (√3/4) · 4² = 12√3 см² — А.

11. 10 Основа висоти — центр правильного трикутника. Відстань від нього до вершини — радіус описаного кола R = a/√3 = 6√3/√3 = 6 см. Бічне ребро — гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами h = 8 см і R = 6 см. √(8² + 6²) = √100 = 10 см.

12. 48 Якщо всі бічні грані нахилені під одним кутом, висота падає в центр вписаного кола основи, а висоти всіх бічних граней рівні. Гіпотенуза основи: √(6² + 8²) = 10 см, радіус вписаного кола r = (6 + 8 − 10) : 2 = 2 см. Висота бічної грані l = r : cos 60° = 2 : ½ = 4 см. S_біч = ½ · P_осн · l = ½ · 24 · 4 = 48 см².

13. 360 Висота, апофема і відрізок від центра основи до середини сторони утворюють прямокутний трикутник: √(13² − 12²) = 5 см. Сторона основи вдвічі більша: 10 см, площа основи 100 см². S_біч = ½ · 40 · 13 = 260 см². S_повн = 260 + 100 = 360 см².

14. 1536 Рівні бічні ребра означають, що висота падає в центр описаного кола основи — точку перетину діагоналей прямокутника. Діагональ основи √(12² + 16²) = 20 см, її половина — 10 см. Висота: √(26² − 10²) = √576 = 24 см. V = ⅓ · 12 · 16 · 24 = 1536 см³.