1. В Знаходимо похідну: f′(x) = 3x² − 12 = 3(x − 2)(x + 2). Нулі похідної — x = −2 і x = 2. Між ними f′(x) < 0, а зовні f′(x) > 0. Функція спадає на проміжку, де f′(x) < 0, разом із його кінцями: [−2; 2].

2. Г f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3). Критичні точки: x = −1 і x = 3. Знаки похідної: «+» до −1, «−» між −1 і 3, «+» після 3. У точці x = 3 похідна змінює знак з «−» на «+», тому це точка мінімуму.

3. В Нулі похідної: x = −2, x = 1 і x = 5. Множник (x − 1)² невід’ємний, тому при переході через x = 1 знак похідної не змінюється. Знаки f′: «+» до −2, «−» на (−2; 1) і на (1; 5), «+» після 5. Знак змінюється лише в точках −2 (максимум) і 5 (мінімум) — це дві точки екстремуму.

4. Д Функція зростає на всій прямій, якщо її похідна додатна скрізь, крім, можливо, окремих точок. Для y = x³ + 3x − 1 маємо y′ = 3x² + 3 — це число завжди не менше за 3, тобто додатне. Похідні y′ = 2x + 2 і y′ = 3x² − 3 бувають від’ємними, а y = 5 − 2x та y = 1 − x³ спадають.

5. Б Розглянемо функцію f(x) = x³ − 3x. Її похідна f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). x = −1 — точка максимуму, f(−1) = 2; x = 1 — точка мінімуму, f(1) = −2. Пряма y = 2 проходить через вершину максимуму: дотикається до графіка в точці x = −1 і перетинає його ще раз праворуч від x = 1. Отже, коренів два: x = −1 і x = 2.

6. Г f′(x) = 3x² − 3 = 0 при x = ±1; відрізку [0; 2] належить лише x = 1. Обчислюємо значення в критичній точці та на кінцях: f(0) = 2, f(1) = 0, f(2) = 8 − 6 + 2 = 4. Найбільше з них — 4.

7. Д f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Знаки: «+» до 1, «−» між 1 і 3, «+» після 3. Отже, функція спадає на [1; 3], x = 1 — точка максимуму (f(1) = 4), x = 3 — точка мінімуму (f(3) = 0). Точок екстремуму дві. Найбільшого значення функція не має: уже f(5) = 20, а далі значення необмежено зростають. Число 4 — лише максимум у точці x = 1. Графік проходить через точки (0; 0) і (3; 0), тобто має спільні точки з віссю абсцис.

8. А Нулі похідної: x = −1 і x = 3. Графік f′ — парабола з вітками вгору, тому f′(x) > 0 зовні від коренів і f′(x) < 0 між ними. Отже, f зростає на (−∞; −1] і на [3; +∞), а спадає на [−1; 3]. Серед варіантів повністю в зоні зростання лежить лише (−∞; −1].

9. 1Д 2Б 3Г 4А y = 6x − x²: y′ = 6 − 2x змінює знак з «+» на «−» у точці x = 3. y = x³ − 3x: y′ = 3(x − 1)(x + 1); максимум у x = −1, мінімум у x = 1. y = 12x − x³: y′ = 3(2 − x)(2 + x); з «+» на «−» знак змінюється в точці x = 2. y = x³ + 3x²: y′ = 3x(x + 2); максимум у x = −2, мінімум у x = 0.

10. 1В 2Г 3Д 4А f′(x) = 4x³ − 16x = 4x(x − 2)(x + 2); критичні точки −2, 0 і 2. Знаки f′: «−» до −2, «+» на (−2; 0), «−» на (0; 2), «+» після 2. Отже, x = 0 — точка максимуму, x = ±2 — точки мінімуму. f(0) = 3, f(±2) = 16 − 32 + 3 = −13. При великих |x| функція необмежено зростає, тому її найменше значення — −13, досягнуте в обох точках мінімуму.

11. 6 f′(x) = 3x² − 6x − 24 = 3(x² − 2x − 8) = 3(x − 4)(x + 2). f′(x) < 0 між коренями, тож функція спадає на [−2; 4]. Довжина проміжку: 4 − (−2) = 6.

12. −6 f′(x) = 6x² + 6x − 12 = 6(x + 2)(x − 1). Відрізку [−1; 2] належить лише критична точка x = 1. f(−1) = −2 + 3 + 12 + 1 = 14, f(1) = 2 + 3 − 12 + 1 = −6, f(2) = 16 + 12 − 24 + 1 = 5. Найменше з трьох значень — −6.

13. 1024 Нехай сторона вирізаного квадрата x см, де 0 < x < 12. Дно коробки — квадрат зі стороною 24 − 2x, висота — x. V(x) = x(24 − 2x)². Похідна: V′(x) = (24 − 2x)² − 4x(24 − 2x) = (24 − 2x)(24 − 6x). На (0; 12) похідна дорівнює нулю лише при x = 4 і змінює знак з «+» на «−» — це точка максимуму. V(4) = 4 · 16² = 4 · 256 = 1024 см³.

14. 20 У точці мінімуму похідна дорівнює нулю: f′(x) = 3x² + 2ax + 24, f′(4) = 48 + 8a + 24 = 0, звідси a = −9. Тоді f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3(x − 2)(x − 4). Знаки: «+», «−», «+», тож x = 4 справді мінімум, а x = 2 — максимум. f(2) = 8 − 36 + 48 = 20.