Калькулятор інтегралів онлайн
Калькулятор інтегралів і первісних: введіть функцію — він знайде первісну або визначений інтеграл і покаже як: за таблицею, заміною змінної, частинами чи розкладом дробу на прості. Кожну відповідь перевірено диференціюванням.
Пишіть, як у зошиті: x^2 або x², sqrt(x) або √x, e^x, ln x, sin(2x), 1/(x^2+4). Знак множення можна не ставити: 2x, x·e^x.
Первісна функції x·e^x: x·e^x − e^x + C. Похідна цієї відповіді дорівнює підінтегральній функції — калькулятор це перевірив.
Розв’язання крок за кроком
Інтегруємо частинами за формулою ∫u dv = uv − ∫v du:
u = x, dv = e^x dxdu = dx, v = e^x∫x·e^x dx = x·e^x − ∫e^x dx= x·e^x − e^x + C
Формула
Тут основний метод, яким калькулятор розв’язав ваш інтеграл: таблиця, заміна змінної, інтегрування частинами, розклад на прості дроби або формула Ньютона — Лейбніца. C — довільна стала.
Як вийшов результат
Первісну легко перевірити: її похідна має дорівнювати підінтегральній функції. Калькулятор робить таку перевірку для кожної відповіді.
Як знайти інтеграл вручну
- Розбийте на доданки
∫(3x² − 2x + 5) dx = 3∫x² dx − 2∫x dx + 5∫dx = x³ − x² + 5x + C.
- Шукайте функцію поруч із її похідною
У ∫2x·e^(x²) dx множник 2x — похідна x². Заміна t = x² дає ∫eᵗ dt = eᵗ + C = e^(x²) + C.
- Многочлен на eˣ, sin x чи ln x — частинами
∫x·eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx, тоді du = dx, v = eˣ, і ∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C.
- У визначений інтеграл підставте межі
∫₀¹ x² dx = x³/3 |₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3 — це формула Ньютона — Лейбніца F(b) − F(a).
Інтеграли не піддаються? Знайдіть репетитора з математики для 11 класу
Часті питання
Впишіть підінтегральну функцію, наприклад x*e^x. Для визначеного інтеграла оберіть «Визначений» і вкажіть межі. Калькулятор покаже первісну або число та кожен крок розв’язання.
Невизначений — це всі первісні F(x) + C. Визначений — число F(b) − F(a): площа під графіком між x = a і x = b, де частини під віссю Ox беруться зі знаком «мінус».
Таблицею інтегралів і властивостями лінійності, підстановкою лінійного аргументу f(kx + b), заміною змінної, інтегруванням частинами (зокрема двічі, як для eˣ·sin x), розкладом раціонального дробу на прості та формулами зниження степеня для sin²x і cos²x.
Деякі інтеграли, наприклад ∫e^(x²) dx чи ∫sin x/x dx, через елементарні функції не виражаються взагалі. Інші потребують методів, яких калькулятор поки не знає. Неправильної відповіді він не показує, а визначений інтеграл тоді рахує наближено, за формулою Сімпсона.
Похідна сталої дорівнює нулю, тому первісних безліч: x³/3, x³/3 + 1, x³/3 − 7 — у всіх похідна x². Сталу C дописують, щоб описати їх усі.
Числами або виразами: 0, 1/2, −3, π, π/2, e, ln 2. Верхня межа може бути меншою за нижню — тоді інтеграл змінить знак.
Інтеграли не виходять?
Запишіться на безкоштовний урок-знайомство з репетитором Mathema. 30 хвилин онлайн, без зобов’язань — знайдемо прогалину і план, як її закрити.
Курс математики онлайн →НМТ з математики: формат, формули й пробний тест → Викладаєте математику? Робота репетитором з математики на Mathema.me →