Калькулятор границь онлайн
Введіть функцію й точку — калькулятор знайде границю та розкриє невизначеність: розкладе на множники, поділить на старший степінь, застосує чудові границі чи правило Лопіталя. Знаходить і однобічні границі.
Пишіть, як у зошиті: sin(5x)/(3x), (x^2 − 4)/(x − 2), (1 + 1/x)^x. Точка — число, π/2 або ∞, +∞, −∞, inf.
Границя функції sin(5x)/(3x) при x → 0 дорівнює 5/3 ≈ 1,6667.
Розв’язання крок за кроком
Невизначеність 0/0. Перша чудова границя: sin u/u → 1 при u → 0, тобто sin u ~ u. Замінюємо множники еквівалентними:
sin(5x) ~ 5xlimx → 0sin(5x)/(3x)=limx → 05x/(3x)= 5/3
Формула
Тут основний прийом, яким знайдено вашу границю: підстановка, розклад на множники, ділення на старший степінь, перша чи друга чудова границя або правило Лопіталя.
Як вийшов результат
Кожну відповідь калькулятор звіряє зі значеннями функції поблизу точки. Якщо вони не збігаються, символьної відповіді він не показує.
Як знайти границю функції вручну
- Спершу підставте точку
lim (x → 2) (x² + 1) = 2² + 1 = 5. Якщо вийшло число, це й є відповідь.
- 0/0 у дробі з многочленами — розкладіть на множники
(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, тож при x → 2 границя дорівнює 4.
- ∞/∞ — поділіть на старший степінь
(3x² + 2x − 1)/(5x² − 4) = (3 + 2/x − 1/x²)/(5 − 4/x²) → 3/5 при x → ∞.
- Згадайте чудові границі
sin x/x → 1 при x → 0, тому sin 5x/(3x) → 5/3. А (1 + 1/x)ˣ → e при x → ∞.
Границі не розкриваються? Знайдіть репетитора з математики для 11 класу
Часті питання
Впишіть функцію, наприклад sin(5x)/(3x), і точку, до якої прямує x: число, π/2 або ∞. Калькулятор покаже відповідь і розв’язання — яку невизначеність знайдено і як її розкрито.
0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰ і ∞⁰. Він розкладає на множники, ділить на старший степінь, домножує на спряжений вираз, замінює множники еквівалентними або застосовує правило Лопіталя.
Перша: lim (x → 0) sin x/x = 1, звідси sin kx ~ kx при x → 0. Друга: lim (x → ∞) (1 + 1/x)ˣ = e, вона розкриває невизначеність 1^∞.
У полі точки напишіть ∞, +∞, −∞ або inf. Для однобічної границі оберіть «Справа» (x → a + 0) чи «Зліва» (x → a − 0).
Коли однобічні границі різні: у 1/x при x → 0 зліва −∞, а справа +∞, у |x|/x — −1 і 1. Калькулятор обчислює обидві й пише, що границі немає.
Підставляє у функцію значення x, усе ближчі до точки, і дивиться, до чого прямують результати. Якщо символьна відповідь із ними не збігається, калькулятор її не показує.
Границі даються важко?
Запишіться на безкоштовний урок-знайомство з репетитором Mathema. 30 хвилин онлайн, без зобов’язань — знайдемо прогалину і план, як її закрити.
Курс математики онлайн →НМТ з математики: формат, формули й пробний тест → Викладаєте математику? Робота репетитором з математики на Mathema.me →