Вхід
+38 073 445 90 25
Вхід Підбір репетитора

НМТ 2022 математика — формат, теми та тренувальний варіант

Як був побудований тест 2022 року, які теми він перевіряв, і наш власний тренувальний варіант у тому ж форматі — з ключем відповідей та покроковим розбором кожного завдання.

Офіційний варіант ми не публікуємо. Офіційні завдання та ключі публікує УЦОЯО. Нижче — наш власний тренувальний варіант у форматі 2022 року та розбір кожного завдання.

Яким був формат 2022 року

  • Математичний блок 2022 року складався з 22 завдань: 15 із вибором однієї відповіді з п’яти, 3 на встановлення відповідності (по 3 логічні пари) та 4 з короткою відповіддю. Максимальний тестовий бал — 32, його переводять у шкалу 100–200.
  • Математичний блок отримав ту структуру, яка діє й досі: 22 завдання — 11 із вибором однієї відповіді, 3 на відповідність і 8 із короткою відповіддю.
  • Формат був новим для всіх, тому найбільше балів тоді втрачали не на складності завдань, а на розподілі часу.

Тренувальний варіант у форматі 2022

22 оригінальних завдань, складених за структурою та темами того року. Пройди онлайн — бал і розбір побачиш одразу.

Ключ відповідей

Усі 22 завдання з розв’язаннями

Інші роки

Готуйся до НМТ з репетитором Mathema

Індивідуальні заняття з математики під твій рівень і графік. Перший урок — від 150 ₴, і на ньому викладач розбере саме твої слабкі теми.

Підібрати репетитора
MathemaПробний тест

НМТ 2022 математика — формат, теми та тренувальний варіант

Ім’я: Дата: Час початку:

Як виконувати. У цьому варіанті 22 завдань трьох типів: із вибором однієї відповіді (А–Д), на встановлення відповідності та з короткою відповіддю — запиши число у відведене поле. Калькулятор не потрібен. Рекомендований час — 60 хвилин. Відповіді та покрокові розв’язання — у другому документі.

Завдання 1. Обчисліть значення виразу √81 − 2 · √16

  • А) −1
  • Б) 1
  • В) 5
  • Г) 10
  • Д) 13

Завдання 2. Яке з наведених чисел є найбільшим?

  • А) 0,8
  • Б) ¾
  • В) ⅚
  • Г) 0,81
  • Д) ⅔

Завдання 3. У книжці 320 сторінок. Учень прочитав ⅝ книжки. Скільки сторінок йому залишилося прочитати?

  • А) 120
  • Б) 128
  • В) 160
  • Г) 200
  • Д) 240

Завдання 4. Відстань між двома містами — 480 км. Автобус долає її за 6 год, а потяг — на 2 год швидше. На скільки кілометрів за годину швидкість потяга більша за швидкість автобуса?

  • А) 20
  • Б) 30
  • В) 40
  • Г) 60
  • Д) 160

Завдання 5. Спростіть вираз 3(2x − 5) − 2(3x − 7)

  • А) −1
  • Б) 1
  • В) −29
  • Г) 12x − 29
  • Д) −12x − 1

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння x² = 7x та вкажіть його менший корінь.

  • А) 0
  • Б) 1
  • В) 3,5
  • Г) 7
  • Д) −7

Завдання 7. Спростіть вираз (a³)² · a⁴ : a⁵

  • А) a⁴
  • Б) a⁵
  • В) a⁶
  • Г) a⁹
  • Д) a²⁴

Завдання 8. Яка з наведених функцій є спадною?

  • А) y = 3x − 1
  • Б) y = −0,5x + 4
  • В) y = x + 7
  • Г) y = 6
  • Д) y = 2x

Завдання 9. Графік функції y = x² перенесли на 3 одиниці вгору. Якою формулою задано отриману функцію?

  • А) y = x² + 3
  • Б) y = x² − 3
  • В) y = (x + 3)²
  • Г) y = (x − 3)²
  • Д) y = 3x²

Завдання 10. На рисунку зображено паралелограм ABCD, у якому сторона AD = 10 см, а висота BH, проведена до цієї сторони, дорівнює 6 см. Знайдіть площу паралелограма.

10 см 6 см A B C D H
  • А) 30 см²
  • Б) 32 см²
  • В) 48 см²
  • Г) 60 см²
  • Д) 80 см²

Завдання 11. Діагональ квадрата дорівнює 8 см. Знайдіть площу квадрата.

  • А) 16 см²
  • Б) 32 см²
  • В) 48 см²
  • Г) 64 см²
  • Д) 128 см²

Завдання 12. Установіть відповідність між величиною (1–4) та її значенням у зазначених одиницях (А–Д).

  • 1) Кількість метрів у 1,2 км
  • 2) Кількість хвилин у 0,75 год
  • 3) Кількість ватів у 2,4 кВт
  • 4) Кількість секунд у 3 хв
  • А) 45
  • Б) 120
  • В) 180
  • Г) 1200
  • Д) 2400
АБВГД
1
2
3
4

Завдання 13. Установіть відповідність між нерівністю (1–4) та множиною її розв’язків (А–Д).

  • 1) x + 4 > 9
  • 2) 3x < 12
  • 3) −2x > 8
  • 4) x − 7 ⩾ −3
  • А) x < −4
  • Б) x < 4
  • В) x ⩾ 4
  • Г) x > 5
  • Д) x > −4
АБВГД
1
2
3
4

Завдання 14. Установіть відповідність між умовою (1–4) та шуканою довжиною (А–Д).

  • 1) Сторона квадрата, периметр якого дорівнює 28 см
  • 2) Радіус кола, діаметр якого дорівнює 18 см
  • 3) Висота трикутника, площа якого 24 см², а основа 8 см
  • 4) Сторона рівностороннього трикутника з периметром 36 см
  • А) 6 см
  • Б) 7 см
  • В) 9 см
  • Г) 12 см
  • Д) 14 см
АБВГД
1
2
3
4

Завдання 15. Масштаб карти — 1 : 250 000. Відстань між двома містами на карті дорівнює 7 см. Знайдіть справжню відстань між містами. У відповідь запишіть число кілометрів.

Відповідь:

Завдання 16. Площа повної поверхні куба дорівнює 96 см². Знайдіть довжину ребра куба. У відповідь запишіть число сантиметрів.

Відповідь:

Завдання 17. Функцію задано формулою y = 12 : x. Знайдіть значення x, при якому y = 2,4. У відповідь запишіть число.

Відповідь:

Завдання 18. Вартість поїздки таксі задано формулою C = 50 + 12s, де C — вартість у гривнях, а s — пройдений шлях у кілометрах. Скільки кілометрів проїхав пасажир, якщо поїздка коштувала 206 грн?

Відповідь:

Завдання 19. Розв’яжіть рівняння (x − 2) : 3 = (x + 4) : 5. У відповідь запишіть значення x.

Відповідь:

Завдання 20. За місяць родина спожила 320 кВт·год електроенергії. Перші 100 кВт·год оплачують за тарифом 2,64 грн за кВт·год, решту — за тарифом 4,32 грн за кВт·год. Скільки гривень становить рахунок?

Відповідь:

Завдання 21. На концерт продали 480 квитків двох цін: по 250 грн і по 400 грн. Загальна виручка становила 147 000 грн. Скільки продали квитків по 400 грн?

Відповідь:

Завдання 22. Першого дня учень прочитав ¼ книжки, другого — 40 % решти, після чого залишилося 108 непрочитаних сторінок. Скільки сторінок у книжці?

Відповідь:

Завдання оригінальні, складені за форматом і темами цього тесту. Це тренування формату й темпу, а не копія офіційного варіанта — офіційні матеріали публікує орган, що проводить іспит.
MathemaВідповіді та розв’язання

Відповіді та розв’язання

№12345678910111213141516171819202122
Відп.БВАВААББАГБ1Г 2А 3Д 4В1Г 2Б 3А 4В1Б 2В 3А 4Г17,54513111214,4180240

1. Б Спершу добуваємо корені: √81 = 9, бо 9 · 9 = 81, та √16 = 4, бо 4 · 4 = 16. Множення виконуємо раніше за віднімання: 2 · 4 = 8 Віднімаємо: 9 − 8 = 1

2. В Зводимо всі числа до десяткового запису: ¾ = 3 : 4 = 0,75 ⅚ = 5 : 6 = 0,8333…, а ⅔ = 2 : 3 = 0,6666… Тепер порівнюємо п’ять десяткових дробів: 0,8; 0,75; 0,8333…; 0,81; 0,6666… Найбільше з них — 0,8333…, тобто ⅚.

3. А Щоб знайти ⅝ від числа, ділимо його на 8 і множимо на 5: 320 : 8 = 40 Прочитано: 40 · 5 = 200 сторінок. Залишилося: 320 − 200 = 120 сторінок.

4. В Швидкість автобуса: 480 : 6 = 80 км/год «На 2 год швидше» означає менший час у дорозі: 6 − 2 = 4 год Швидкість потяга: 480 : 4 = 120 км/год Різниця швидкостей: 120 − 80 = 40 км/год

5. А Розкриваємо першу дужку: 3(2x − 5) = 6x − 15 Другу дужку множимо на −2, тому знак кожного доданка змінюється: −2(3x − 7) = −6x + 14 Складаємо все разом: 6x − 15 − 6x + 14 Доданки з x знищуються: 6x − 6x = 0, залишається −15 + 14 = −1

6. А Переносимо все в ліву частину: x² − 7x = 0 Виносимо спільний множник: x(x − 7) = 0 Добуток дорівнює нулю, коли нулю дорівнює хоча б один множник: x = 0 або x = 7 Менший із двох коренів — 0.

7. Б Степінь степеня: показники множать, тому (a³)² = a⁶ Множення степенів з однаковою основою: показники додають, тому a⁶ · a⁴ = a¹⁰ Ділення степенів з однаковою основою: показники віднімають, тому a¹⁰ : a⁵ = a⁵

8. Б Лінійна функція y = kx + b спадає тоді й лише тоді, коли k < 0. Виписуємо кутові коефіцієнти варіантів: 3; −0,5; 1; 0; 2. Від’ємний лише один — −0,5, отже спадає функція y = −0,5x + 4.

9. А Перенесення вгору змінює саме значення функції: до кожного y додається 3. Отже, нова формула — y = x² + 3 Перевіряємо вершину: у y = x² вона в точці (0; 0), у новій функції — у точці (0; 3), тобто на 3 вище.

10. Г Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони: S = a · h Підставляємо дані рисунка: S = 10 · 6 = 60 см²

11. Б Діагональ ділить квадрат на два рівні прямокутні трикутники з катетами a і a та гіпотенузою d. За теоремою Піфагора: a² + a² = d², тобто 2a² = 8² = 64 Звідси a² = 32, а a² — це і є площа квадрата.

12. 1Г 2А 3Д 4В 1 км = 1000 м, тому 1,2 км = 1,2 · 1000 = 1200 м — це Г. 1 год = 60 хв, тому 0,75 год = 0,75 · 60 = 45 хв — це А. Префікс «кіло-» означає тисячу, тому 2,4 кВт = 2400 Вт — це Д. 1 хв = 60 с, тому 3 хв = 3 · 60 = 180 с — це В.

13. 1Г 2Б 3А 4В x + 4 > 9 → переносимо 4 праворуч: x > 9 − 4, тобто x > 5 — це Г. 3x < 12 → ділимо на додатне 3: x < 4 — це Б. −2x > 8 → ділимо на від’ємне −2 і перевертаємо знак: x < −4 — це А. x − 7 ⩾ −3 → переносимо −7 праворуч: x ⩾ −3 + 7, тобто x ⩾ 4 — це В.

14. 1Б 2В 3А 4Г Периметр квадрата P = 4a, звідси a = 28 : 4 = 7 см — це Б. Радіус удвічі менший за діаметр: 18 : 2 = 9 см — це В. Із S = ½ · a · h маємо h = 2S : a = 48 : 8 = 6 см — це А. Рівносторонній трикутник має три рівні сторони: 36 : 3 = 12 см — це Г.

15. 17,5 Масштаб 1 : 250 000 означає, що 1 см на карті відповідає 250 000 см на місцевості. Для 7 см: 7 · 250 000 = 1 750 000 см Переводимо в кілометри: 1 км = 100 000 см, тому 1 750 000 : 100 000 = 17,5 км

16. 4 Поверхня куба складається з шести однакових квадратних граней: S = 6a² Звідси площа однієї грані: a² = 96 : 6 = 16 Добуваємо корінь: a = √16 = 4 см. Від’ємний корінь відкидаємо — довжина не буває від’ємною.

17. 5 Підставляємо відоме значення функції: 2,4 = 12 : x Невідоме стоїть у знаменнику, тому x = 12 : 2,4 Щоб позбутися коми, множимо і ділене, і дільник на 10: 120 : 24 = 5

18. 13 Підставляємо відому вартість: 206 = 50 + 12s Віднімаємо сталу плату за подачу: 12s = 206 − 50 = 156 Ділимо на ціну кілометра: s = 156 : 12 = 13 км

19. 11 Множимо обидві частини на спільний знаменник 15: 5(x − 2) = 3(x + 4) Розкриваємо дужки: 5x − 10 = 3x + 12 Збираємо x ліворуч, числа праворуч: 5x − 3x = 12 + 10 Зводимо подібні й ділимо: 2x = 22, звідси x = 11

20. 1214,4 Перша частина рахунку: 100 · 2,64 = 264 грн Обсяг, що лишився поза пільговими 100 кВт·год: 320 − 100 = 220 кВт·год Друга частина рахунку: 220 · 4,32 = 950,4 грн Разом: 264 + 950,4 = 1214,4 грн

21. 180 Нехай квитків по 400 грн продали x, тоді по 250 грн — (480 − x). Складаємо рівняння за виручкою: 400x + 250(480 − x) = 147 000 Розкриваємо дужки: 400x + 120 000 − 250x = 147 000 Зводимо подібні: 150x = 27 000, звідси x = 180

22. 240 Нехай у книжці x сторінок. Першого дня прочитано ¼x, отже залишилося 0,75x. Другого дня прочитано 40 % саме від цієї решти: 0,4 · 0,75x = 0,3x Непрочитаними лишилися 0,75x − 0,3x = 0,45x За умовою 0,45x = 108, звідси x = 108 : 0,45 = 240 сторінок.

Завдання оригінальні, складені за форматом і темами цього тесту. Це тренування формату й темпу, а не копія офіційного варіанта — офіційні матеріали публікує орган, що проводить іспит.