Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: функції, нерівності, логарифми. 11 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Застосування властивостей функції, Рівносильні перетворення нерівностей та систем нерівностей, Метод інтервалів, Нерівності, що містять знак модуля, Логарифми та їх властивості, Показникові нерівності. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка область визначення функції y = log_2(x - 3)?
x > 3
x ≥ 3
x < 3
усі дійсні числа
Пояснення: Для логарифмічної функції аргумент має бути додатним: x - 3 > 0, звідси x > 3.
2
Обчисліть: log_3 27.
2
3
9
1
Пояснення: 27 = 3^3, тому log_3 27 = 3.
3
Розв’яжіть нерівність: 2x - 5 > 7.
x > 6
x > 1
x < 6
x ≥ 6
Пояснення: 2x - 5 > 7, отже 2x > 12, звідси x > 6.
4
Розв’яжіть систему нерівностей: { x > 2, x ≤ 5 }.
(2; 5]
[2; 5]
(2; 5)
[2; 5)
Пояснення: Потрібно взяти перетин двох нерівностей: x > 2 і x ≤ 5, тобто (2; 5].
5
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: (x - 4)(x + 1) < 0.
(-1; 4)
(-∞; -1) ∪ (4; +∞)
(-∞; 4)
(-1; +∞)
Пояснення: Нулі множників: x = -1 і x = 4. Добуток від’ємний між коренями, тому розв’язок: (-1; 4).
6
Розв’яжіть нерівність: |x - 2| ≤ 3.
[-1; 5]
(-1; 5)
x ≤ -1 або x ≥ 5
x < -1 або x > 5
Пояснення: Із |x - 2| ≤ 3 маємо -3 ≤ x - 2 ≤ 3, звідси -1 ≤ x ≤ 5.
7
Розв’яжіть нерівність: 3^(x - 1) > 27.
x > 4
x > 3
x < 4
x ≥ 4
Пояснення: 27 = 3^3, тому 3^(x - 1) > 3^3. Оскільки основа 3 > 1, порівнюємо показники: x - 1 > 3, звідси x > 4.
8
Яка з наведених властивостей логарифмів є правильною?
log_a(MN) = log_a M + log_a N
log_a(MN) = log_a M · log_a N
log_a(M + N) = log_a M + log_a N
log_a(M/N) = log_a M + log_a N
Пояснення: Добуток під логарифмом розкладається на суму логарифмів: log_a(MN) = log_a M + log_a N.
9
Розв’яжіть нерівність: log_2(x + 1) > 3.
x > 7
x > 4
x < 7
x ≥ 7
Пояснення: Область визначення: x + 1 > 0. Оскільки основа 2 > 1, маємо x + 1 > 2^3 = 8, отже x > 7.
10
Розв’яжіть нерівність: |2x + 1| > 5.
x < -3 або x > 2
-3 < x < 2
x < 2
x > -3
Пояснення: Для |A| > 5 маємо A < -5 або A > 5. Тоді 2x + 1 < -5 або 2x + 1 > 5, звідси x < -3 або x > 2.
11
Розв’яжіть нерівність: (x - 2)/(x + 1) ≥ 0.
(-∞; -1) ∪ [2; +∞)
(-1; 2)
(-∞; 2]
[-1; 2]
Пояснення: Критичні точки: x = -1 (знаменник, виключається) і x = 2 (чисельник, входить). За методом інтервалів отримуємо (-∞; -1) ∪ [2; +∞).
