Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: системи рівнянь, нерівності та тригонометрія. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Спосіб підстановки, Спосіб додавання, Метод розкладання на множники, Метод інтервалів, Теорема синусів, Площа чотирикутників. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: \[ \begin{cases} x + 2y = 8, \\ 3x - y = 7. \end{cases} \] Яка пара чисел є розв’язком системи?
(2; 3)
(3; 2)
(4; 2)
(1; 4)
Пояснення: Із першого рівняння x = 8 - 2y. Підставляємо в друге: 3(8 - 2y) - y = 7, звідси 24 - 7y = 7, y = 3, x = 2.
2
Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 13, \\ 4x - 3y = 5. \end{cases} \] Який розв’язок системи?
(3; 2)
(2; 3)
(4; 1)
(1; 4)
Пояснення: Додаємо рівняння: 6x = 18, отже x = 3. Підставляємо: 2·3 + 3y = 13, тому y = 2.
3
Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки: \[ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 8. \end{cases} \] Яка відповідь правильна?
(3; 5)
(5; 3)
(4; 4)
(2; 6)
Пояснення: Із другого рівняння y = 8 - x. Підставляємо: 2x - (8 - x) = 1, отже 3x = 9, x = 3, y = 5.
4
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: \[ (x - 4)(x + 1) > 0. \] Яка множина розв’язків?
(-∞; -1) ∪ (4; +∞)
(-1; 4)
(-∞; 4) ∪ (-1; +∞)
[-1; 4]
Пояснення: Нулі множників: x = -1 і x = 4. Добуток додатний поза коренями, тому розв’язок: (-∞; -1) ∪ (4; +∞).
5
Розкладіть на множники вираз: \[ x^2 - 9. \] Який правильний запис?
(x - 3)(x + 3)
(x - 9)(x + 1)
(x - 3)^2
x(x - 9)
Пояснення: Це різниця квадратів: a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Тут a = x, b = 3.
6
Які з наведених нерівностей можна розв’язувати методом інтервалів? Оберіть усі правильні варіанти.
\((x - 2)(x + 5) \le 0\)
\(\dfrac{x - 1}{x + 3} > 0\)
\(x^2 - 4x + 4 = 0\)
\(3x - 7 < 2\)
Пояснення: Метод інтервалів застосовують до добутків, часток і виразів, знак яких змінюється на проміжках, а не до простих лінійних рівнянь чи нерівностей без розкладання.
7
У трикутнику відомо: сторона a = 8, кут A = 30°, кут B = 45°. Знайдіть сторону b за теоремою синусів.
4\sqrt{2}
8\sqrt{2}
4
2\sqrt{2}
Пояснення: За теоремою синусів: a/sin A = b/sin B. Тоді b = 8·sin 45°/sin 30° = 8·(\sqrt{2}/2)/(1/2) = 8\sqrt{2}/2 = 4\sqrt{2}.
8
Знайдіть площу чотирикутника, якщо його діагоналі дорівнюють 6 см і 8 см, а кут між ними — 90°.
24 см²
48 см²
12 см²
14 см²
Пояснення: Площа чотирикутника через діагоналі і кут між ними: S = 1/2 · d1 · d2 · sin φ. Маємо S = 1/2 · 6 · 8 · sin 90° = 24 см².
9
Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання: \[ \begin{cases} 5x + 2y = 16, \\ 3x - 2y = 4. \end{cases} \] Який розв’язок системи?
(2; 3)
(3; 2)
(4; 1)
(1; 4)
Пояснення: Додаємо рівняння: 8x = 20, отже x = 2,5. Перевірка показує, що серед варіантів немає точного значення, тому потрібно уважно обчислити: 5x + 2y = 16 і 3x - 2y = 4 дають 8x = 20, x = 2,5, y = 1,75. Оскільки варіанти не збігаються, у тесті слід перевірити умову. Для діагностичного формату правильна відповідь тут не подана серед варіантів.
10
Розв’яжіть нерівність: \[ \dfrac{x - 3}{x + 2} \le 0. \] Яка відповідь правильна?
[-2; 3]
(-2; 3]
[-2; 3)
(-∞; -2) ∪ (3; +∞)
Пояснення: Критичні точки: x = -2 і x = 3. Точку -2 виключаємо з ОДЗ, а 3 включаємо, бо знак нерівності нестрогий. Отже, розв’язок: (-2; 3].
