Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: нерівності, метод інтервалів і властивості функцій. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Застосування властивостей функцій, Рівносильні перетворення нерівностей та систем нерівностей, Метод інтервалів, Функціональна залежність. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з нерівностей рівносильна нерівності $3x-7>5$?
$x>4$
$x<4$
$x>\dfrac{2}{3}$
$x<\dfrac{2}{3}$
Пояснення: Розв’язуємо: $3x-7>5 \Rightarrow 3x>12 \Rightarrow x>4$.
2
Розв’яжіть нерівність $5^{x-1}>25$.
$x>3$
$x>2$
$x<3$
$x<2$
Пояснення: Оскільки $25=5^2$, маємо $5^{x-1}>5^2$. За основи $5>1$ порівнюємо показники: $x-1>2$, звідси $x>3$.
3
Розв’яжіть нерівність $\log_2(x-1)\le 3$.
$x\le 9$
$1<x\le 9$
$x\ge 9$
$x>1$
Пояснення: Область визначення: $x-1>0$, тобто $x>1$. Оскільки основа $2>1$, маємо $x-1\le 2^3=8$, звідси $x\le 9$. Разом: $1<x\le 9$.
4
Розв’яжіть систему нерівностей $\begin{cases}x\ge -2,\\ x<3.\end{cases}$
$(-2;3)$
$[-2;3)$
$(-\infty;3)$
$[-2;+\infty)$
Пояснення: Потрібно взяти перетин двох проміжків: $x\ge -2$ і $x<3$. Отже, розв’язок — $[-2;3)$.
5
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: $(x-4)(x+1)<0$.
$x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty)$
$x\in(-1;4)$
$x\in(-\infty;4)$
$x\in(-1;+\infty)$
Пояснення: Нулі виразу: $x=-1$ і $x=4$. Добуток двох лінійних множників від’ємний між нулями, тому розв’язок: $(-1;4)$.
6
Розв’яжіть нерівність методом інтервалів: $\dfrac{x-2}{x+3}\ge 0$.
$(-\infty;-3)\cup[2;+\infty)$
$(-3;2]$
$(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)$
$[-3;2]$
Пояснення: Критичні точки: $x=-3$ (знаменник нуль) і $x=2$ (чисельник нуль). Перевірка знаків дає: вираз невід’ємний на $(-\infty;-3)$ та на $[2;+\infty)$. Точку $-3$ виключаємо.
7
Яке значення функції $y=2x^2-3x+1$ при $x=2$?
1
3
5
7
Пояснення: Підставляємо $x=2$: $y=2\cdot 2^2-3\cdot 2+1=8-6+1=3$.
8
Функція $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ є:
зростаючою
спадною
сталою
парною
Пояснення: Показникова функція $a^x$ зі основою $0<a<1$ є спадною на всій області визначення.
9
Розв’яжіть нерівність $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}<8$.
$x>-4$
$x<-4$
$x>4$
$x<-2$
Пояснення: Запишемо $8=2^3=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$. Маємо $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$. Оскільки основа менша за 1, знак нерівності для показників змінюється: $x+1>-3$, тобто $x>-4$? Ні, для основи $\frac12<1$ менший степінь дає більший результат. Тому з $\left(\frac12\right)^{x+1}<\left(\frac12\right)^{-3}$ випливає $x+1>-3$, отже $x>-4$.
10
Які з наведених тверджень правильні для функції $y=f(x)$, якщо вона зростає на проміжку $[a;b]$?
Якщо $x_1<x_2$, то $f(x_1)<f(x_2)$
Якщо $x_1<x_2$, то $f(x_1)>f(x_2)$
Більшим значенням аргументу відповідають більші значення функції
Функція обов’язково є парною
Пояснення: Для зростаючої функції зі збільшенням аргументу значення функції теж збільшуються. Тому правильні твердження a і c.
