Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: повторення курсу алгебри. 12 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Функції, Квадратні рівняння, Іраціональні рівняння, Спростити вираз, Задачі на відсотки, Спростування тригонометричних виразів, Похідна. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з наведених функцій є парною?
f(x) = x^3 - x
f(x) = x^2 + 1
f(x) = x + 2
f(x) = 2^x
Пояснення: Парна функція задовольняє умову f(-x) = f(x). Для f(x) = x^2 + 1 маємо f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1.
2
Розв’яжіть рівняння x^2 - 5x + 6 = 0.
x = 2 і x = 3
x = -2 і x = -3
x = 1 і x = 6
x = 0 і x = 5
Пояснення: Розкладемо на множники: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Звідси x = 2 або x = 3.
3
Розв’яжіть іраціональне рівняння √(x + 1) = 3.
x = 8
x = 9
x = 2
x = -8
Пояснення: Піднесемо обидві частини до квадрата: x + 1 = 9, звідси x = 8. Перевірка: √9 = 3.
4
Спростіть вираз (a^2b) / (ab^2), якщо a ≠ 0 і b ≠ 0.
a / b
b / a
a^2 / b^2
ab
Пояснення: Скорочуємо степені з однаковими основами: a^2 / a = a, b / b^2 = 1 / b. Отже, маємо a / b.
5
Ціну товару спочатку підвищили на 20%, а потім знизили на 20%. Що можна сказати про кінцеву ціну порівняно з початковою?
Вона стала такою самою
Вона збільшилася на 4%
Вона зменшилася на 4%
Вона зменшилася на 20%
Пояснення: Нехай початкова ціна дорівнює 100. Після підвищення маємо 120, після зниження на 20% від 120 — 96. Це на 4% менше за початкову ціну.
6
Спростіть тригонометричний вираз sin^2 x + cos^2 x.
0
1
sin x
cos x
Пояснення: Використовуємо основну тригонометричну тотожність: sin^2 x + cos^2 x = 1.
7
Знайдіть похідну функції f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7.
f'(x) = 12x^3 - 4x
f'(x) = 3x^3 - 2x + 7
f'(x) = 12x^4 - 4x^2
f'(x) = 4x^3 - 2x
Пояснення: Застосовуємо правило похідної степеневої функції: (x^n)' = nx^(n-1). Отже, (3x^4)' = 12x^3, (-2x^2)' = -4x, (7)' = 0.
8
Розв’яжіть рівняння √(2x - 1) = x - 1.
x = 1
x = 2
x = 3
x = 4
Пояснення: Область допустимих значень: x - 1 ≥ 0, тобто x ≥ 1. Піднесемо до квадрата: 2x - 1 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1. Маємо x^2 - 4x + 2 = 0. Із запропонованих варіантів підходить x = 2: √3 = 1, а це не так, тому перевіримо уважніше. Для x = 2: √(3) ≠ 1, отже не підходить. Правильного кореня серед варіантів немає.
9
Знайдіть значення виразу (x^2 - 9) / (x - 3) при x ≠ 3.
x - 3
x + 3
x^2 + 3
3x
Пояснення: Розкладемо чисельник: x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3). Після скорочення з x - 3 отримуємо x + 3.
10
Похідна якої з наведених функцій дорівнює 0?
f(x) = 5
f(x) = x^2
f(x) = 1/x
f(x) = sin x
Пояснення: Похідна сталої функції дорівнює 0. Для f(x) = 5 маємо f'(x) = 0.
11
Спростіть вираз 2sin x cos x.
sin 2x
cos 2x
1
2sin^2 x
Пояснення: Використовуємо формулу sin 2x = 2sin x cos x.
12
Після знижки 15% ціна товару стала 510 грн. Якою була початкова ціна?
585 грн
600 грн
525 грн
450 грн
Пояснення: Після знижки залишається 85% початкової ціни. Тому початкова ціна: 510 / 0.85 = 600? Перевіримо: 600 · 0.85 = 510. Отже, правильна відповідь — 600 грн.
