Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: координатний і векторний методи. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Координатний і векторний методи розв'язування задач, Рівняння з дробами, Відстань між точками, Середина відрізка, Скалярний добуток векторів, Кут між векторами. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Знайдіть координати середини відрізка, кінці якого мають координати A(2; -4) і B(6; 8).
(4; 2)
(8; 4)
(3; 6)
(2; 4)
Пояснення: Координати середини відрізка знаходять як середні арифметичні відповідних координат: ((2+6)/2; (-4+8)/2) = (4; 2).
2
Знайдіть довжину вектора \(\overrightarrow{AB}\), якщо A(-1; 3) і B(5; 6).
3
6
√45
√18
Пояснення: Координати вектора \(\overrightarrow{AB} = (5-(-1); 6-3) = (6; 3)\). Його довжина дорівнює \(\sqrt{6^2+3^2} = \sqrt{45}\).
3
Яке рівняння є рівносильним рівнянню \(\frac{x}{3} + \frac{x}{2} = 5\)?
5x = 30
5x = 10
x = 10
x = 30
Пояснення: Множимо обидві частини на 6: \(2x + 3x = 30\), тобто \(5x = 30\). Далі це дає \(x = 6\), але серед варіантів потрібно вибрати рівносильне після зведення до спільного знаменника: правильний запис — \(5x = 30\).
4
Знайдіть координати вектора \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\), якщо \(\overrightarrow{a} = (1; -2)\), \(\overrightarrow{b} = (3; 4)\).
(-1; -8)
(-1; -4)
(5; 0)
(1; -10)
Пояснення: Спочатку знаходимо \(2\overrightarrow{a} = (2; -4)\). Тоді \((2; -4) - (3; 4) = (-1; -8)\).
5
Точка M — середина відрізка AB. Відомо, що A(-2; 5), M(1; 2). Знайдіть координати точки B.
(4; -1)
(-4; 1)
(2; 3)
(0; -1)
Пояснення: Якщо M — середина, то \(x_B = 2x_M - x_A\), \(y_B = 2y_M - y_A\). Маємо \(x_B = 2\cdot1 - (-2) = 4\), \(y_B = 2\cdot2 - 5 = -1\).
6
Знайдіть скалярний добуток векторів \(\overrightarrow{a} = (2; -1)\) і \(\overrightarrow{b} = (3; 4)\).
2
10
-10
14
Пояснення: Скалярний добуток: \(2\cdot3 + (-1)\cdot4 = 6 - 4 = 2\).
7
У задачі про персонажа з гри: він пройшов від точки A(1; 2) до точки B(7; 5). Яка відстань між цими точками?
√34
√13
6
5
Пояснення: Відстань між точками: \(AB = \sqrt{(7-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45}\).
8
Знайдіть кут між векторами \(\overrightarrow{a} = (1; 0)\) і \(\overrightarrow{b} = (0; 1)\).
0°
45°
90°
180°
Пояснення: Вектори \((1;0)\) і \((0;1)\) перпендикулярні, тому кут між ними дорівнює 90°.
9
Розв'яжіть рівняння з дробами: \(\frac{x-1}{4} = \frac{x+5}{2}\).
-11
11
-7
7
Пояснення: Множимо на 4: \(x - 1 = 2(x + 5)\). Маємо \(x - 1 = 2x + 10\), звідси \(-11 = x\).
10
Знайдіть координати точки C, якщо A(0; 0), B(6; 2), а точка C — середина відрізка AB.
(3; 1)
(2; 3)
(6; 2)
(1; 3)
Пояснення: Координати середини: \(((0+6)/2; (0+2)/2) = (3; 1)\).
