Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: первісна та основна властивість первісних. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Поняття первісної, Основна властивість первісних. Тривалість — 30 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = 3x^2?
F(x) = x^3
F(x) = 3x^3
F(x) = x^2
F(x) = 3x
Пояснення: Потрібно перевірити похідну: (x^3)' = 3x^2, отже F(x) = x^3 є первісною для f(x) = 3x^2.
2
Відомо, що F(x) = x^4 + C є первісною для деякої функції f(x). Яка ця функція?
f(x) = 4x^3
f(x) = x^3
f(x) = 4x^4
f(x) = x^5
Пояснення: Похідна від x^4 + C дорівнює 4x^3, тому саме ця функція є підінтегральною.
3
Які з наведених функцій є первісними для функції f(x) = 2x?
F(x) = x^2
F(x) = x^2 + 5
F(x) = 2x^2
F(x) = x^2 - 7
Пояснення: Усі функції вигляду x^2 + C мають похідну 2x, тому вони є первісними для f(x) = 2x.
4
Знайдіть одну первісну для функції f(x) = 6x^5.
F(x) = x^6
F(x) = 6x^6
F(x) = x^5
F(x) = 5x^6
Пояснення: Оскільки (x^6)' = 6x^5, то F(x) = x^6 є первісною для даної функції.
5
Яка з наведених рівностей правильна?
Якщо F(x) — первісна для f(x), то F'(x) = f(x)
Якщо F(x) — первісна для f(x), то f'(x) = F(x)
Якщо F(x) — первісна для f(x), то F(x) = f(x)
Якщо F(x) — первісна для f(x), то F(x) = 0
Пояснення: За означенням первісної похідна функції F(x) дорівнює f(x).
6
Функція F(x) = x^3 - 2x + 1 є первісною для якої функції?
f(x) = 3x^2 - 2
f(x) = 3x^2 + 2
f(x) = x^2 - 2
f(x) = 3x - 2
Пояснення: Знаходимо похідну: (x^3 - 2x + 1)' = 3x^2 - 2.
7
Які з наведених тверджень правильні?
Якщо F(x) — первісна для f(x), то F(x) + 7 теж є первісною для f(x)
Якщо F(x) — первісна для f(x), то 2F(x) теж обов’язково є первісною для f(x)
Усі первісні однієї й тієї самої функції відрізняються на сталу
Якщо F(x) — первісна для f(x), то F(x) - 3 теж не є первісною
Пояснення: До первісної можна додати сталу, і це не змінить похідну. Усі первісні однієї функції відрізняються на сталу.
8
Скільки первісних має функція f(x) = 4x^3 на проміжку (-∞; +∞)?
Одна
Дві
Нескінченно багато
Жодної
Пояснення: Якщо F(x) — одна первісна, то F(x) + C також є первісною для будь-якого C. Тому первісних нескінченно багато.
9
Чи є функція F(x) = sin x первісною для f(x) = cos x?
Так
Ні
Лише на деяких проміжках
Недостатньо даних
Пояснення: Похідна від sin x дорівнює cos x, отже sin x є первісною для cos x.
10
Яка з наведених функцій є первісною для f(x) = 1/x на проміжку (0; +∞)?
F(x) = ln x
F(x) = 1/x
F(x) = x ln x
F(x) = e^x
Пояснення: На проміжку (0; +∞) похідна ln x дорівнює 1/x, тому ln x є первісною.
