Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: первісна та інтеграл. 12 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Первісна, Невизначений інтеграл, Визначений інтеграл, Властивості визначеного інтеграла, Площа плоских фігур, Застосування інтеграла у фізиці. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=3x^2?
F(x)=x^3
F(x)=3x
F(x)=x^2
F(x)=3x^3
Пояснення: Оскільки (x^3)'=3x^2, то F(x)=x^3 є первісною для f(x)=3x^2.
2
Знайдіть загальний вигляд первісної для функції f(x)=\cos x.
F(x)=\sin x + C
F(x)=-\sin x + C
F(x)=\cos x + C
F(x)=-\cos x + C
Пояснення: Оскільки похідна від \sin x дорівнює \cos x, то загальний вигляд первісної: \sin x + C.
3
Які з наведених властивостей визначеного інтеграла є правильними?
\(\int_a^a f(x)\,dx=0\)
\(\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx\)
\(\int_a^b (f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx\)
\(\int_a^b c\,f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx\) для будь-якого числа c
Пояснення: Перші три твердження є стандартними властивостями визначеного інтеграла. У четвертому має бути множник c: \(\int_a^b c f(x)dx=c\int_a^b f(x)dx\).
4
Обчисліть визначений інтеграл \(\int_0^2 x\,dx\).
1
2
4
\(\dfrac{1}{2}\)
Пояснення: За формулою Ньютона-Лейбніца: \(\int_0^2 x\,dx=\left.\dfrac{x^2}{2}\right|_0^2=\dfrac{4}{2}-0=2\).
5
Обчисліть \(\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx\).
0
1
e-1
\(\ln e^2\)
Пояснення: \(\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\), тому \(\int_1^e \frac{1}{x}dx=\ln e-\ln 1=1-0=1\).
6
Обчисліть \(\int_0^{\pi/2} \sin x\,dx\).
0
1
\(\dfrac{\pi}{2}\)
-1
Пояснення: \(\int \sin x\,dx=-\cos x + C\), отже \(\left.-\cos x\right|_0^{\pi/2}=0-(-1)=1\).
7
Вкажіть правильні твердження про визначений інтеграл.
Якщо \(f(x)\ge 0\) на \([a;b]\), то \(\int_a^b f(x)\,dx\ge 0\).
Якщо \(f(x)\le g(x)\) на \([a;b]\), то \(\int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx\).
\(\int_a^b f(x)\,dx\) завжди дорівнює площі фігури під графіком \(f(x)\), навіть якщо \(f(x)<0\).
Якщо \(f(x)\) неперервна на \([a;b]\), то вона інтегровна на цьому проміжку.
Пояснення: Правильні твердження відображають основні властивості визначеного інтеграла та зв’язок із неперервністю. Площа і інтеграл збігаються лише для невід’ємної функції.
8
Знайдіть площу фігури, обмеженої графіком \(y=x^2\), віссю Ox та прямими \(x=0\) і \(x=1\).
\(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3}\)
1
2
Пояснення: Площа дорівнює \(\int_0^1 x^2\,dx=\left.\dfrac{x^3}{3}\right|_0^1=\dfrac{1}{3}\).
9
Обчисліть \(\int_0^1 (2x+1)\,dx\).
1
2
3
\(\dfrac{3}{2}\)
Пояснення: \(\int_0^1 (2x+1)dx=\left.(x^2+x)\right|_0^1=1+1=2\).
10
Тіло рухається зі швидкістю \(v(t)=4t\) м/с. Яке переміщення за час від \(t=0\) до \(t=2\) с?
4 м
8 м
16 м
2 м
Пояснення: Переміщення дорівнює \(\int_0^2 4t\,dt=\left.2t^2\right|_0^2=8\) м.
11
Які з наведених виразів є невизначеними інтегралами правильно?
\(\int x^3\,dx=\dfrac{x^4}{4}+C\)
\(\int 5\,dx=5x+C\)
\(\int \sin x\,dx=\cos x+C\)
\(\int \dfrac{1}{x^2}\,dx=-\dfrac{1}{x}+C\)
Пояснення: Перший, другий і четвертий записи правильні. Для \(\sin x\) первісна дорівнює \(-\cos x + C\), а не \(\cos x + C\).
12
Обчисліть \(\int_{-1}^{1} x^3\,dx\).
0
1
\(\dfrac{1}{2}\)
-1
Пояснення: Функція \(x^3\) непарна, а проміжок симетричний відносно нуля, тому інтеграл дорівнює 0.
