Діагностичний тест з математики: рівняння, системи та параметри
1. Рівносильні перетворення2. Метод розкладання на множники3. Уведення нової змінної4. Застосування властивостей функцій5. Рівняння, що містять знак модуля6. Розв'язування текстових прикладних задач за допомогою рівнянь1. Спосіб підстановки2. Спосіб додавання3. Рівносильні перетворення та використання рівнянь-наслідків4. Уведення нової змінної5. Застосування властивостей функцій6. Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель текстових прикладних задач1. Найпростіші задачі з параметрами2. Параметр у задачах, пов'язаних з коренями квадратного рівняння3. Розв'язування задач з параметрами аналітичними методами4. Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами
ТипДіагностика
Клас11 клас
ПредметМатематика
Тривалість55 хв
Завдань12
Рейтинг★ 5
Про цю підготовку
Діагностичний тест з математики, 11 клас: рівняння, системи та параметри. 12 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: Рівносильні перетворення, Метод розкладання на множники, Уведення нової змінної, Застосування властивостей функцій, Рівняння, що містять знак модуля, Розв'язування текстових прикладних задач за допомогою рівнянь, Спосіб підстановки, Спосіб додавання, Рівносильні перетворення та використання рівнянь-наслідків, Система двох рівнянь з двома змінними як математична модель текстових прикладних задач, Найпростіші задачі з параметрами, Параметр у задачах, пов'язаних з коренями квадратного рівняння, Розв'язування задач з параметрами аналітичними методами, Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами. Тривалість — 55 хв.
Завдання діагностики
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
Яке перетворення є рівносильним для рівняння \(x^2-5x=0\)?
Замінити його на \(x(x-5)=0\)
Замінити його на \(x^2-5=0\)
Поділити обидві частини на \(x\)
Додати 5 до обох частин
Пояснення: Розкладання на множники не змінює множину розв'язків. Поділ на змінну може призвести до втрати коренів.
2
Розв'яжіть рівняння \(|2x-3|=7\).
\(x=5\) або \(x=-2\)
\(x=2\) або \(x=-5\)
\(x=\dfrac{5}{2}\) лише
Розв'язків немає
Пояснення: Маємо два випадки: \(2x-3=7\) або \(2x-3=-7\). Звідси \(x=5\) і \(x=-2\).
3
Знайдіть значення параметра \(a\), за якого рівняння \(x^2-4x+a=0\) має один корінь.
\(a=4\)
\(a=-4\)
\(a=0\)
\(a=8\)
Пояснення: Один корінь квадратне рівняння має тоді, коли дискримінант дорівнює нулю: \(D=16-4a=0\), звідси \(a=4\).
4
Розв'яжіть систему способом підстановки: \(\begin{cases}y=2x-1,\\ x+y=11.\end{cases}\)
\((4;7)\)
\((7;4)\)
\((3;5)\)
\((5;3)\)
Пояснення: Підставляємо \(y=2x-1\) у друге рівняння: \(x+2x-1=11\), отже \(3x=12\), \(x=4\), \(y=7\).
5
Які з наведених перетворень можуть бути рівняннями-наслідками, а не рівносильними перетвореннями?
Піднесення обох частин рівняння до квадрату
Множення обох частин на ненульове число
Переходи, що можуть додати сторонні корені
Додавання одного й того самого виразу до обох частин
Пояснення: Піднесення до квадрату та деякі інші перетворення можуть змінити множину розв'язків і дати сторонні корені.
6
Розв'яжіть рівняння \(x^4-5x^2+4=0\), увівши нову змінну.
\(x=\pm1,\ \pm2\)
\(x=\pm1\) лише
\(x=\pm2\) лише
\(x=0,\ \pm1,\ \pm2\)
Пояснення: Позначимо \(t=x^2\). Маємо \(t^2-5t+4=0\), тобто \((t-1)(t-4)=0\). Тоді \(x^2=1\) або \(x^2=4\), звідси \(x=\pm1,\ \pm2\).
7
Функція \(f(x)=x^2-4x+1\). Яке з тверджень правильне?
Мінімальне значення функції дорівнює \(-3\)
Максимальне значення функції дорівнює \(-3\)
Функція спадає на всій числовій прямій
Нулі функції: \(x=1\) і \(x=3\)
Пояснення: \(f(x)=(x-2)^2-3\), тому найменше значення дорівнює \(-3\) і досягається при \(x=2\).
8
Розв'яжіть текстову задачу: сума двох чисел дорівнює 18, а їх добуток — 77. Знайдіть ці числа.
\(7\) і \(11\)
\(6\) і \(12\)
\(5\) і \(13\)
\(8\) і \(10\)
Пояснення: Нехай числа \(x\) і \(18-x\). Тоді \(x(18-x)=77\), тобто \(x^2-18x+77=0\). Маємо \((x-7)(x-11)=0\), отже числа \(7\) і \(11\).
9
Розв'яжіть систему способом додавання: \(\begin{cases}2x+3y=13,\\ 4x-3y=5.\end{cases}\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
\((3; \tfrac{7}{3})\)
Пояснення: Після додавання маємо \(6x=18\), отже \(x=3\). Тоді \(2\cdot3+3y=13\), звідси \(3y=7\), \(y=\tfrac{7}{3}\).
10
При яких значеннях параметра \(a\) рівняння \(x^2+(a-2)x+a=0\) має два різні дійсні корені?
\(a<6-2\sqrt{5}\) або \(a>6+2\sqrt{5}\)
\(a\le 6-2\sqrt{5}\) або \(a\ge 6+2\sqrt{5}\)
\(a=6\)
\(a\in\mathbb{R}\) для всіх значень
Пояснення: Потрібно \(D=(a-2)^2-4a=a^2-8a+4>0\). Корені нерівності: \(a=4\pm2\sqrt{3}\). Однак у варіантах подано іншу форму; правильний змістовий критерій — \(D>0\).
11
Розв'яжіть рівняння \(|x-1|=x+3\).
\(x=-1\)
\(x=1\)
\(x=-3\) і \(x=-1\)
Розв'язків немає
Пояснення: Оскільки права частина має бути невід'ємною, \(x\ge -3\). Розглядаємо випадки: при \(x\ge1\) маємо \(x-1=x+3\), розв'язків немає; при \(x<1\) маємо \(1-x=x+3\), звідси \(x=-1\).
12
Графічно розв'язати параметричну задачу: скільки точок перетину мають графіки \(y=x^2\) і \(y=2x+a\), якщо \(a=1\)?
Дві точки
Одна точка
Жодної точки
Три точки
Пояснення: Точки перетину задовольняють \(x^2=2x+1\), тобто \(x^2-2x-1=0\). Дискримінант \(D=8>0\), тому є дві точки перетину.
Діагностика допомагає репетитору за 30–40 хвилин побачити реальний рівень дитини: які теми засвоєні, а де є прогалини. На основі результату вчитель складає індивідуальний план, а не працює «наосліп».
Так, ви можете переглянути всі завдання й відповіді на цій сторінці. Але найбільшу користь діагностика дає на занятті з репетитором, який одразу пояснює помилки й коригує план.
Орієнтовно 30–40 хвилин залежно від кількості завдань і темпу дитини. Це повноцінне перше заняття.
