Про цю підготовку
Самостійна робота з математики, 11 клас: задачі з параметрами. 10 завдань з відповідями та поясненнями. Теми: 1. Найпростіші задачі з параметрами, 2. Параметр у задачах, пов'язаних з коренями квадратного рівняння, 3. Розв'язування задач з параметрами аналітичними методами, 4. Графічні прийоми розв'язування задач з параметрами. Тривалість — 55 хв.
Завдання самостійної роботи
Нижче — повний перелік завдань із правильними відповідями та поясненнями. На занятті репетитор може приховати відповіді й відкривати їх після спроби учня.
1
При якому значенні параметра a рівняння (a - 2)x = 6 має розв'язок для будь-якого x?
a = 2
a = 6
a = 0
Такого значення a не існує
Пояснення: Щоб рівняння було істинним для будь-якого x, коефіцієнт при x має дорівнювати 0, а права частина — теж 0. Тут це неможливо, тому такого значення параметра немає.
2
Для яких значень параметра a квадратне рівняння x^2 - 4x + a = 0 має один корінь?
a = 4
a = -4
a = 8
a = 0
Пояснення: Рівняння має один корінь тоді й лише тоді, коли дискримінант дорівнює нулю: D = (-4)^2 - 4·1·a = 16 - 4a = 0. Звідси a = 4.
3
Знайдіть значення параметра a, при якому рівняння x^2 + ax + 9 = 0 має корені, що є протилежними числами.
a = 0
a = 9
a = -9
a = 3
Пояснення: Якщо корені протилежні, то їх сума дорівнює 0. Для рівняння x^2 + ax + 9 = 0 сума коренів дорівнює -a. Отже, -a = 0, тому a = 0.
4
Які з наведених тверджень є правильними для рівняння (a + 1)x = a - 1?
Якщо a = -1, то рівняння не має розв'язків
Якщо a = 1, то x = 0
Якщо a ≠ -1, то x = (a - 1)/(a + 1)
Для будь-якого a рівняння має безліч розв'язків
Пояснення: При a = -1 маємо 0·x = -2, що неможливо. Якщо a ≠ -1, то можна поділити на a + 1 і отримати x = (a - 1)/(a + 1). При a = 1 маємо 2x = 0, отже x = 0.
5
При яких значеннях параметра a рівняння x^2 - (a + 2)x + a = 0 має корені 1 і a?
a = 1
a = 2
a = -1
a = 0
Пояснення: За теоремою Вієта сума коренів дорівнює a + 2, а добуток — a. Якщо корені 1 і a, то їх сума 1 + a = a + 2, звідси 1 = 2, що неможливо. Але перевіримо добуток: 1·a = a, він виконується завжди. Отже, потрібно врахувати, що умова про суму не виконується ні для якого a. Серед варіантів немає правильного значення.
6
Розв'яжіть рівняння 2x + a = 5 щодо x. Яке з наведених виразів є правильним?
x = (5 - a)/2
x = (a - 5)/2
x = 2/(5 - a)
x = 5/(2 - a)
Пояснення: Переносимо a вправо: 2x = 5 - a. Ділимо на 2: x = (5 - a)/2.
7
При яких значеннях параметра a система рівнянь { x + y = 4, x - y = a } має розв'язок x = 3, y = 1?
a = 2
a = 4
a = 1
a = 0
Пояснення: Підставимо x = 3 і y = 1 у друге рівняння: 3 - 1 = a. Отже, a = 2. Перше рівняння також виконується: 3 + 1 = 4.
8
Які з наведених рівнянь мають розв'язок лише за певних значень параметра a?
ax = 3
(a - 1)x = a - 1
x + 2 = 5
0·x = a
Пояснення: Рівняння ax = 3 залежить від a, бо при a = 0 розв'язків немає. У (a - 1)x = a - 1 при a = 1 маємо безліч розв'язків, а при a ≠ 1 — один розв'язок. У 0·x = a розв'язок існує лише при a = 0. Рівняння x + 2 = 5 не містить параметра.
9
Графічно розв'язати рівняння x^2 = a означає знайти кількість точок перетину графіків яких функцій?
y = x^2 і y = a
y = x і y = a^2
y = x^2 і y = ax
y = x + a і y = x^2
Пояснення: Рівняння x^2 = a можна розглядати як перетин параболи y = x^2 з горизонтальною прямою y = a.
10
При яких значеннях параметра a система { y = x^2, y = a - 1 } має два розв'язки?
a > 1
a = 1
a < 1
Для всіх a
Пояснення: Кількість розв'язків дорівнює кількості перетинів параболи y = x^2 і прямої y = a - 1. Два розв'язки є тоді, коли a - 1 > 0, тобто a > 1.
