Калькулятор интегралов онлайн
Калькулятор интегралов и первообразных: введите функцию — он найдет первообразную или определенный интеграл и покажет как: по таблице, заменой переменной, по частям или разложением дроби на простейшие. Каждый ответ проверен дифференцированием.
Пишите, как в тетради: x^2 или x², sqrt(x) или √x, e^x, ln x, sin(2x), 1/(x^2+4). Знак умножения можно не ставить: 2x, x·e^x.
Первообразная функции x·e^x: x·e^x − e^x + C. Производная этого ответа равна подынтегральной функции — калькулятор это проверил.
Решение шаг за шагом
Интегрируем по частям по формуле ∫u dv = uv − ∫v du:
u = x, dv = e^x dxdu = dx, v = e^x∫x·e^x dx = x·e^x − ∫e^x dx= x·e^x − e^x + C
Формула
Здесь основной метод, которым калькулятор решил ваш интеграл: таблица, замена переменной, интегрирование по частям, разложение на простейшие дроби или формула Ньютона — Лейбница. C — произвольная постоянная.
Как получился результат
Первообразную легко проверить: ее производная должна равняться подынтегральной функции. Калькулятор делает такую проверку для каждого ответа.
Как найти интеграл вручную
- Разбейте на слагаемые
∫(3x² − 2x + 5) dx = 3∫x² dx − 2∫x dx + 5∫dx = x³ − x² + 5x + C.
- Ищите функцию рядом с ее производной
В ∫2x·e^(x²) dx множитель 2x — производная x². Замена t = x² дает ∫eᵗ dt = eᵗ + C = e^(x²) + C.
- Многочлен на eˣ, sin x или ln x — по частям
∫x·eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx, тогда du = dx, v = eˣ, и ∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C.
- В определенный интеграл подставьте пределы
∫₀¹ x² dx = x³/3 |₀¹ = 1/3 − 0 = 1/3 — это формула Ньютона — Лейбница F(b) − F(a).
Интегралы не поддаются? Найдите репетитора по математике для 11 класса
Частые вопросы
Впишите подынтегральную функцию, например x*e^x. Для определенного интеграла выберите «Определенный» и укажите пределы. Калькулятор покажет первообразную или число и каждый шаг решения.
Неопределенный — это все первообразные F(x) + C. Определенный — число F(b) − F(a): площадь под графиком между x = a и x = b, где части под осью Ox берутся со знаком «минус».
Таблицей интегралов и свойствами линейности, подстановкой линейного аргумента f(kx + b), заменой переменной, интегрированием по частям (в том числе дважды, как для eˣ·sin x), разложением рациональной дроби на простейшие и формулами понижения степени для sin²x и cos²x.
Некоторые интегралы, например ∫e^(x²) dx или ∫sin x/x dx, через элементарные функции не выражаются вообще. Другим нужны методы, которых калькулятор пока не знает. Неправильного ответа он не показывает, а определенный интеграл тогда считает приближенно, по формуле Симпсона.
Производная постоянной равна нулю, поэтому первообразных бесконечно много: x³/3, x³/3 + 1, x³/3 − 7 — у всех производная x². Постоянную C дописывают, чтобы описать их все.
Числами или выражениями: 0, 1/2, −3, π, π/2, e, ln 2. Верхний предел может быть меньше нижнего — тогда интеграл сменит знак.
Интегралы не получаются?
Запишитесь на урок-знакомство с репетитором Mathema. 30 минут онлайн, без обязательств — найдем пробел и составим план, как его закрыть.
Курс математики онлайн →НМТ по математике: формат, формулы и пробный тест → Преподаёте математику? Работа репетитором по математике на Mathema.me →